Đến nội dung

Hình ảnh

Tìm a;b để tồn tại k nguyên dương thỏa $a_{0}>a_{1}>a_{2}>...>a_{k-1}>a_{k}=1$

- - - - -

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 8 trả lời

#1
Lemonjuice

Lemonjuice

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 118 Bài viết

Cho dãy số $a_{n}$ xác định như sau: $a_{0}=a;a_{1}=b$ và $a_{n+2}=5a_{n+1}-a_{n}$ biết a là các số nguyên dương. Tìm tất cả điều kiện của a;b để tồn tại một chỉ số k ( k nguyên dương) sao cho $a_{0}>a_{1}>a_{2}>...>a_{k-1}>a_{k}=1$

P/S: Bài này em có dùng thử dùng phương trình đặc trưng nhưng số xấu quá nên nhờ mọi người xem giúp.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Lemonjuice: 17-09-2021 - 19:13


#2
phuc_90

phuc_90

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 438 Bài viết

Cho dãy số $a_{n}$ xác định như sau: $a_{0}=a;a_{1}=b$ và $a_{n+2}=5a_{n+1}-a_{n}$ biết a là các số nguyên dương. Tìm điều kiện của a;b để tồn tại một chỉ số k ( k nguyên dương) sao cho $a_{0}>a_{1}>a_{2}>...>a_{k-1}>a_{k}=1$

 

$a=9$ ,  $b=2$  thì $k=2$



#3
Lemonjuice

Lemonjuice

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 118 Bài viết

$a=9$ ,  $b=2$  thì $k=2$

Tất cả điều kiện luôn anh.



#4
perfectstrong

perfectstrong

    $LOVE(x)|_{x =\alpha}^\Omega=+\infty$

  • Quản lý Toán Ứng dụng
  • 4991 Bài viết

Đã có phương trình truy hồi thì có phương trình đặc trưng: $X^2=5X-1 \, (1)$. Giải ra công thức tổng quát $u_n=Ax_1^n + Bx_2^n$ với $x_1,x_2$ là 2 nghiệm của (1). Từ $a,b$, tìm ra $A,B$.

Giờ giải phương trình $Ax_1^k + Bx_2^k=1$. Đáng tiếc là phương trình dạng này thì khó mà tìm closed form (nhất là khi $k \ge 5$).

=====

Giờ mới đọc được dòng nhắn bạn sửa sau. Có vẻ bạn muốn tìm một đơn biến? Nếu thế thì nên dùng các yếu tố tổ hợp để giải thì hay hơn.


Luôn yêu để sống, luôn sống để học toán, luôn học toán để yêu!!! :D
$$\text{LOVE}\left( x \right)|_{x = \alpha}^\Omega = + \infty $$
I'm still there everywhere.

#5
Lemonjuice

Lemonjuice

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 118 Bài viết

Đã có phương trình truy hồi thì có phương trình đặc trưng: $X^2=5X-1 \, (1)$. Giải ra công thức tổng quát $u_n=Ax_1^n + Bx_2^n$ với $x_1,x_2$ là 2 nghiệm của (1). Từ $a,b$, tìm ra $A,B$.

Giờ giải phương trình $Ax_1^k + Bx_2^k=1$. Đáng tiếc là phương trình dạng này thì khó mà tìm closed form (nhất là khi $k \ge 5$).

=====

Giờ mới đọc được dòng nhắn bạn sửa sau. Có vẻ bạn muốn tìm một đơn biến? Nếu thế thì nên dùng các yếu tố tổ hợp để giải thì hay hơn.

Bài này trong đề gốc nó còn có thêm điều kiện là a>4b và 5b>a nhưng đăng lên đây em bỏ đi điều kiện này cho tổng quát hơn. Còn bài gốc thì em vẫn giải không được không được do em không có kiến thức về dãy số nhưng chắc với mọi người có lẽ là một bài dễ. Còn số A;B khi em tính ra số rất xấu ; có giải ra công thức tổng quát thì vẫn không biết là nó là dãy tăng hay giảm. 

Anh giải thích giúp em "closed form" ; " đơn biến" là gì được không ạ còn về yếu tố tổ hợp thì em không có kiến thức về tổ hợp nên thua đành nhờ mọi người giúp vậy!


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Lemonjuice: 18-09-2021 - 12:53


#6
phuc_90

phuc_90

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 438 Bài viết

Cho dãy số $a_{n}$ xác định như sau: $a_{0}=a;a_{1}=b$ và $a_{n+2}=5a_{n+1}-a_{n}$ biết a là các số nguyên dương. Tìm tất cả điều kiện của a;b để tồn tại một chỉ số k ( k nguyên dương) sao cho $a_{0}>a_{1}>a_{2}>...>a_{k-1}>a_{k}=1$

P/S: Bài này em có dùng thử dùng phương trình đặc trưng nhưng số xấu quá nên nhờ mọi người xem giúp.

 

Post bài toán gốc lên đi em trai (đọc bài toán này cũng không hiểu em muốn hỏi cái gì)
 



#7
Lemonjuice

Lemonjuice

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 118 Bài viết

Post bài toán gốc lên đi em trai (đọc bài toán này cũng không hiểu em muốn hỏi cái gì)
 

Cho dãy số $a_{n}$ xác định như sau: $a_{0}=a;a_{1}=b$ và $a_{n+2}=5a_{n+1}-a_{n}$ biết a;b là các số nguyên dương và a>4b và 5b>a. Tìm tất cả các số nguyên dương a;b như thế để tồn tại một chỉ số k ( k nguyên dương) sao cho $a_{0}>a_{1}>a_{2}>...>a_{k-1}>a_{k}=1$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Lemonjuice: 18-09-2021 - 12:53


#8
perfectstrong

perfectstrong

    $LOVE(x)|_{x =\alpha}^\Omega=+\infty$

  • Quản lý Toán Ứng dụng
  • 4991 Bài viết

Hai điều kiện đó có gì khó hiểu?

$a_3 > 0 \Rightarrow 5b > a$

$a_3 < a_2 \Rightarrow 5b - a < b \Rightarrow a > 4b$


Luôn yêu để sống, luôn sống để học toán, luôn học toán để yêu!!! :D
$$\text{LOVE}\left( x \right)|_{x = \alpha}^\Omega = + \infty $$
I'm still there everywhere.

#9
phuc_90

phuc_90

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 438 Bài viết

Cho dãy số $x_{n}$ xác định như sau: $x_{0}=a;x_{1}=b$ và $x_{n+2}=5x_{n+1}-x_{n}$ biết a;b là các số nguyên dương và a>4b và 5b>a. Tìm tất cả các số nguyên dương a;b như thế để tồn tại một chỉ số k ( k nguyên dương) sao cho $x_{0}>x_{1}>x_{2}>...>x_{k-1}>x_{k}=1$

 

Cho $a_0\,\,,\,\, b_0$ là các số nguyên dương thỏa $$\left\{\begin{matrix}a_0>5\\ a_0>4b_0\\ 5b_0>a_0\\ a_{0}^{2}-5a_0b_0+b_{0}^{2}=1\end{matrix}\right.$$

 

Với mọi số nguyên dương $n$ ta đặt  $$\left\{\begin{matrix}a_n=a_0+nb_0\\ b_n=(5n+1)b_0-na_0\end{matrix}\right.$$

 

Khi đó các giá trị $(a_0,b_0),(a_1,b_1),...,(a_n,b_n),...$ là các giá trị $(a,b)$ phải tìm.

 

Ví dụ:

 

Ta xét các trường hợp riêng

 

-   Với $a_0=24 \,,\, b_0=5$ thì các bộ số $(24,5)\,,\, (29,6)\,,\, (34,7)\,,\,...$ sẽ chính là bộ số $(a,b)$ ta cần tìm, lúc này $k=2$

 

Bây giờ thử bộ đầu tiên $(a,b)=(24,5)$ thì $x_0=24>x_1=5>x_2=1$

 

-   Với $a_0=551\,,\, b_0=115$ thì các bộ số $(551,115)\,,\, (666,139)\,,\, (781,163)\,,...$ chính là bộ số $(a,b)$ ta cần tìm, lúc này $k=4$

 

Bây giờ thử bộ thứ 2 là $(a,b)=(666,139)$ thì $x_0=666>x_1=139>x_2=29>x_3=6>x_4=1$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi phuc_90: 19-09-2021 - 15:31





1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh