Đến nội dung

Hình ảnh

$\left\{\begin{matrix}x+y+z=3\\ x+2y^2+3z^3=6\\xy+yz+zx=2+xyz\end{matrix}\right.$

- - - - -

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 2 trả lời

#1
phuc_90

phuc_90

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 438 Bài viết

Bài toán:   Giải hệ phương trình sau

 

$$\left\{\begin{matrix}x+y+z=3\\ x+2y^2+3z^3=6\\xy+yz+zx=2+xyz\end{matrix}\right.$$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi phuc_90: 19-09-2021 - 12:22


#2
supermember

supermember

    Đại úy

  • Hiệp sỹ
  • 1644 Bài viết

Hi vọng giải đúng. :D

 

Mấu chốt bài này là phép đặt ẩn phụ: $ a = 1-x; \ b = 1-y; \  c =1-z$

 

Với cách đặt ẩn phụ này thì hệ đã cho tương đương hệ sau:

 

$ \begin{cases} (1-a)+ (1-b)+(1-c) =3 \\ (1-a) +2(1-b)^2+ 3(1-c)^3 = 6 \\  (1-a)(1-b)+(1-b)(1-c)+ (1-c)(1-a) = (1-a)(1-b)(1-c) +2 \end{cases}$

 

$ \Leftrightarrow \begin{cases} 3 - (a+b+c) =3 \\  6 -a -4b+2b^2 -9c+9c^2- 3c^3 = 6 \\   3- 2(a+b+c) + (ab+bc+ca)  =  1 -(a+b+c) +(ab+bc+ca) -abc +2 \end{cases}$

 

$ \Leftrightarrow \begin{cases} a+b+c = 0 \\  3c^3 -9c^2 +9c -2b^2 +4b+ a = 0 \\   a+b+c =  abc \end{cases}$

 

$ \Leftrightarrow \begin{cases} a+b+c = 0 \\  3c^3 -9c^2 +9c -2b^2 +4b+ a = 0 & & (*) \\   abc = 0 \end{cases}$

 

Tới đây thì dễ rồi, do tích $abc=0$ ta chỉ cần xét $3$ trường hợp:

 

Trường hợp $1$: $ a= 0$

 

Thì khi đó hệ $(*)$ tương đương với:

 $ \begin{cases} a=0 \\  3c^3 -9c^2 +9c -2b^2 +4b= 0 \\   b+c = 0 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} a=0 \\  3c^3 -9c^2 +9c -2c^2 -4c= 0 \\   b = -c \end{cases}  \Leftrightarrow \begin{cases} a=0 \\  b = -c \\   3c^3 -11c^2 +5c = 0  \end{cases}$

 

$  \Leftrightarrow \begin{cases} a=0 \\  b = -c \\   c(3c^2 -11c +5) = 0  \end{cases}$

 

Phương trình $ 3c^2-11c+5=0 $ có 2 nghiệm: $c = \frac{11\pm \sqrt{61}}{6} $ nên suy ra trường hợp này ta thu được 3 bộ nghiệm $ \left( a; \ b; \ c \right)$:

 

$ \left( 0; \ 0; \ 0 \right); \left( 0; \  \frac{- 11-   \sqrt{61}}{6}; \  \frac{11+  \sqrt{61}}{6} \right) ; \left( 0; \  \frac{- 11+   \sqrt{61}}{6}; \  \frac{11-  \sqrt{61}}{6} \right)$

 

Trường hợp $2$: $ b= 0$

 

Thì khi đó hệ $(*)$ tương đương với:

 $ \begin{cases} b=0 \\  3c^3 -9c^2 +9c  +a= 0 \\   a+c = 0 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} b=0 \\  3c^3 -9c^2 +9c  -c= 0 \\   a = -c \end{cases}  \Leftrightarrow \begin{cases} b=0 \\  a = -c \\   3c^3 -9c^2 +8c = 0  \end{cases}$

 

$ \Leftrightarrow \begin{cases} b=0 \\  a = -c \\   c(3c^2 -9c +8) = 0  \end{cases}$

 

Do phương trình bậc $2$ :  $3c^2 -9c+8=0$ vô nhiệm nên trường hợp này chỉ có 1 bộ nghiệm  $ \left( a; \ b; \ c \right)$ là $ \left( 0; \ 0; \ 0 \right)$

 

(Lưu ý ở đây ta giải trên tập số thực, nếu chấp nhận giải trên tập số phức thì sẽ có thêm vài nghiệm, cụ thể là sẽ có thêm $2$ bộ nghiệm phức )

 

Trường hợp $3$: $ c= 0$

 

Thì khi đó hệ $(*)$ tương đương với:

 $ \begin{cases} c=0 \\  -2b^2 +4b+ a = 0 \\   a+b = 0 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} c=0 \\  -2b^2 +4b- b = 0 \\   a = -b \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} c=0 \\  a = -b \\   2b^2 -3b=0  \end{cases}$

 

Do phương trình bậc $2$ :  $2b^2 -3b=0$ có $2$ nghiệm :$ b=0 ; \ b = \frac{3}{2}$ nên trường hợp này ta thu được 2 bộ nghiệm  $ \left( a; \ b; \ c \right)$ là : $ \left( 0; \ 0; \ 0 \right) $và $ \left( \frac{-3}{2}; \ \frac{3}{2} ; \ 0 \right)$

 

Từ đây suy ra hệ đã cho có $4$ bộ nghiệm $ \left( x; \ y; \ z \right)$ là:

 

$ \left( 1; \ 1; \ 1 \right) ; \left( \frac{5}{2}; \ \frac{-1}{2} ; \ 1 \right) ; \left( 1; \  \frac{17+   \sqrt{61}}{6}; \  \frac{-5 - \sqrt{61}}{6} \right); \left( 1; \  \frac{17-   \sqrt{61}}{6}; \  \frac{-5+  \sqrt{61}}{6} \right)$

 

Bài toán theo đó được giải quyết hoàn toàn.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi supermember: 19-09-2021 - 07:59

Khi bạn là người yêu Toán, hãy chấp nhận rằng bạn sẽ buồn nhiều hơn vui :)

#3
phuc_90

phuc_90

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 438 Bài viết

Đúng rồi ông bạn già :lol:






0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh