Đến nội dung


Hình ảnh
* * * * * 1 Bình chọn

Chứng minh công thức Euler mà học sinh 11 có thể hiểu được

euler congthuceuler eulersformula ơ-le

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 8 trả lời

#1 Hoang Huynh

Hoang Huynh

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 63 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo

Đã gửi 19-09-2021 - 08:39

Công thức Euler: $\cos \theta  + i\sin \theta  = {e^{i\theta }}{\text{  }}(\theta {\text{ }}rad,{\text{ }}\theta  \in \mathbb{R}).$ (*)

biết "số một bên" $i$:   ${i^2} =  - 1$ và hằng số Euler: $e=\mathop {\lim }\limits_{n \to  + \infty } {(1 + n)^n}$, e$\approx 2,71828$.

(+)${\rm{(}}({e^{ - i\theta }}(\cos \theta  + i\sin \theta ))' =  - i{e^{ - i\theta }}(\cos \theta  + i\sin \theta ) + {e^{ - i\theta }}( - \sin \theta  + i\cos \theta )$

                                             $ =  - i{e^{ - i\theta }}.\cos \theta {\text{ }} + {\text{ }}{e^{ - i\theta }}.\sin \theta {\text{ }} - {\text{ }}{e^{ - i\theta }}.\sin \theta {\text{ }} + {\text{ }}i{e^{ - i\theta }}.\cos \theta$

                                             $ = 0.$

$ \Rightarrow {e^{ - i\theta }}(\cos \theta  + i\sin \theta ) = const.{\text{     }}(a).$

(+) ${e^{ - i0}}(\cos 0 + i\sin 0) = 1$          (b)
$\because (a) \wedge (b)\therefore {e^{ - i\theta }}(\cos \theta  + i\sin \theta ) = 1.$
                              $ \Rightarrow \cos \theta  + i\sin \theta  = {e^{i\theta }}$ (Q.E.D.)
Ghi nhớ rằng: vì  ${e^{i\theta }}$ được định nghĩa theo hàm $cos(\theta)$ và $sin(\theta)$ nên $\theta$ tuần hoàn theo chu kỳ $2\pi$, tức là
${e^{i\theta }}={e^{i\theta +k2\pi}}$ $(k \in \mathbb{Z})$.
 
Nói thêm : $\theta : = \pi$ (*) $\Rightarrow {e^{i\pi }} + 1 = 0$ (Đồng nhất thức Euler)
Ví dụ: $\ln ( - 1) = i(\pi +k2\pi) (k \in \mathbb{Z})$ v.v..

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Hoang Huynh: 19-09-2021 - 20:04


#2 perfectstrong

perfectstrong

    $LOVE(x)|_{x =\alpha}^\Omega=+\infty$

  • Quản trị
  • 4386 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Sở thích:Đàn guitar, ngắm người mình yêu, học toán

Đã gửi 19-09-2021 - 13:10

Chứng minh này lướt qua hai phần quan trọng:

1. Thế nào là mũ phức?

2. Thế nào là đạo hàm của hàm số phức?

Một khi đã hiểu hai khái niệm này thì công thức Euler chỉ điều hiển nhiên.


Luôn yêu để sống, luôn sống để học toán, luôn học toán để yêu!!! :D

$$\text{LOVE}\left( x \right)|_{x = \alpha}^\Omega = + \infty $$




I'm still there everywhere.

#3 Hoang Huynh

Hoang Huynh

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 63 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo

Đã gửi 19-09-2021 - 16:12

Chứng minh này lướt qua hai phần quan trọng:

1. Thế nào là mũ phức?

2. Thế nào là đạo hàm của hàm số phức?

Một khi đã hiểu hai khái niệm này thì công thức Euler chỉ điều hiển nhiên.

Mong được anh giảng giải.



#4 perfectstrong

perfectstrong

    $LOVE(x)|_{x =\alpha}^\Omega=+\infty$

  • Quản trị
  • 4386 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Sở thích:Đàn guitar, ngắm người mình yêu, học toán

Đã gửi 19-09-2021 - 18:23

Mong được anh giảng giải.

Trước hết bạn phải mở rộng khái niệm cộng trừ nhân chia trên trường số thực sang số phức, tiếp theo hàm mũ và lũy thừa, và sau đó là đạo hàm (tích phân). Không phải khi nào cũng có thể làm được đâu.

Ví dụ $i^i$. Nếu chọn $i=e^{i \frac{\pi}{2}}$ thì \[{i^i} = {e^{i\frac{\pi }{2}i}} = {e^{ - \frac{\pi }{2}}}\]

Tuy nhiên $e^{i \frac{\pi}{2}}$ không phải là biểu diễn duy nhất của $i$, mà còn có ${e^{\left( {2k + 1} \right)i\frac{\pi }{2}}}$ với $k$ nguyên bất kỳ, vậy thì $i^i$ sẽ có vô hạn kết quả khác nhau là \[{e^{ - \left( {2k + 1} \right)\frac{\pi }{2}}}\]

Bạn ngẫm xem có hợp lý không?

Sách cấp 3 thường không đi quá sâu vào vấn đề này, vì cái đối tượng mà học sinh thường gặp nằm trong nhóm hàm sơ cấp, và hầu hết kết quả của chúng đều có thể mở rộng sang trường số phức.


Luôn yêu để sống, luôn sống để học toán, luôn học toán để yêu!!! :D

$$\text{LOVE}\left( x \right)|_{x = \alpha}^\Omega = + \infty $$




I'm still there everywhere.

#5 Hoang Huynh

Hoang Huynh

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 63 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo

Đã gửi 19-09-2021 - 18:46

em có viết câu cuối mà: " ví dụ : $\ln(-1) = i(\pi +k2\pi) (k \in \mathbb{Z})$"


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Hoang Huynh: 19-09-2021 - 18:47


#6 perfectstrong

perfectstrong

    $LOVE(x)|_{x =\alpha}^\Omega=+\infty$

  • Quản trị
  • 4386 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Sở thích:Đàn guitar, ngắm người mình yêu, học toán

Đã gửi 19-09-2021 - 23:11

https://en.wikipedia...mplex_logarithm

Lúc mình còn học chuyên toán thì log phức không được dạy mấy. Nếu bạn có nhã hứng thì tham khảo các tài liệu trong wiki.

Còn cách chứng minh cho học sinh lớp 11 hiểu được thì mình thấy không quan trọng mấy, vì cơ bản thì đã lướt qua những phần quan trọng và gai góc nhất rồi.


Luôn yêu để sống, luôn sống để học toán, luôn học toán để yêu!!! :D

$$\text{LOVE}\left( x \right)|_{x = \alpha}^\Omega = + \infty $$




I'm still there everywhere.

#7 ngtien1255

ngtien1255

    Lính mới

  • Thành viên mới
  • 7 Bài viết

Đã gửi 05-10-2021 - 12:00

Trước hết bạn phải mở rộng khái niệm cộng trừ nhân chia trên trường số thực sang số phức, tiếp theo hàm mũ và lũy thừa, và sau đó là đạo hàm (tích phân). Không phải khi nào cũng có thể làm được đâu.

Ví dụ $i^i$. Nếu chọn $i=e^{i \frac{\pi}{2}}$ thì \[{i^i} = {e^{i\frac{\pi }{2}i}} = {e^{ - \frac{\pi }{2}}}\]

Tuy nhiên $e^{i \frac{\pi}{2}}$ không phải là biểu diễn duy nhất của $i$, mà còn có ${e^{\left( {2k + 1} \right)i\frac{\pi }{2}}}$ với $k$ nguyên bất kỳ, vậy thì $i^i$ sẽ có vô hạn kết quả khác nhau là \[{e^{ - \left( {2k + 1} \right)\frac{\pi }{2}}}\]

Bạn ngẫm xem có hợp lý không?

Sách cấp 3 thường không đi quá sâu vào vấn đề này, vì cái đối tượng mà học sinh thường gặp nằm trong nhóm hàm sơ cấp, và hầu hết kết quả của chúng đều có thể mở rộng sang trường số phức.

Nói cách khác là hàm thực $e^x$ là một đơn ánh, nhưng hàm phức $e^z$ thì không.  :D 

Nói chung thì những câu hỏi ngây ngô như thế này thì không tệ, nhưng tốt nhất là chỉ nên dừng lại ở câu hỏi chứ đừng bắt tay vào làm với những kiến thức chắp vá lỗ chỗ.  :D 

Ý tưởng của việc định nghĩa hàm $e^z$ là xuất phát từ khai triển chuỗi luỹ thừa \[e^x=\sum_{n=0}^\infty \frac{x^n}{n!},\] ta cũng định nghĩa \[e^z=\sum_{n=0}^\infty \frac{z^n}{n!}.\] 
Tại sao định nghĩa này tốt, "well-defined"? Vì (1) định nghĩa này tương thích với trường hợp $z=x$ là một số thực, và (2) chuỗi số phức trên hội tụ tuyệt đối trên toàn bộ mặt phẳng phức $\mathbb{C}$. 

Cũng với cùng một ý tưởng như trên, người ta định nghĩa các hàm phức $\sin z, \cos z$ như một chuỗi luỹ thừa. Viết mấy cái chuỗi này ra là ta có cái gọi là "công thức Euler" thôi.  Khi bạn biết định nghĩa chính xác của những thứ này thì công thức Euler quá hiển nhiên. 

Nhưng câu hỏi đặt ra là có định nghĩa được các hàm khác, ví dụ như $a^z$ với $a$ là số thực bất kỳ, theo cách giống như vậy không? Thậm chí tổng quát hơn là có định nghĩa được $\omega^z$ với $\omega$ là số phức không? Dường như là không được, hoặc nếu muốn thì sẽ phải tìm một hướng khác hoàn toàn.

Mấy cái đạo hàm kia thì cũng không sai so với khái niệm đạo hàm phức (dù mình không nghĩ bạn biết cái này đâu). Nhưng vấn đề ở đây là đạo hàm của $e^z, \sin z, \cos z$ đều được tính qua cái chuỗi luỹ thừa kia; nếu chưa biết cái biểu diễn này thì sao tính nổi đạo hàm của $e^{i\theta}$? còn nếu biết rồi thì chẳng việc gì phải đi làm theo cái kiểu này.



#8 Hoang Huynh

Hoang Huynh

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 63 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo

Đã gửi 05-10-2021 - 12:10

Nói cách khác là hàm thực $e^x$ là một đơn ánh, nhưng hàm phức $e^z$ thì không.  :D 

Nói chung thì những câu hỏi ngây ngô như thế này thì không tệ, nhưng tốt nhất là chỉ nên dừng lại ở câu hỏi chứ đừng bắt tay vào làm với những kiến thức chắp vá lỗ chỗ.  :D 

Ý tưởng của việc định nghĩa hàm $e^z$ là xuất phát từ khai triển chuỗi luỹ thừa \[e^x=\sum_{n=0}^\infty \frac{x^n}{n!},\] ta cũng định nghĩa \[e^z=\sum_{n=0}^\infty \frac{z^n}{n!}.\] 
Tại sao định nghĩa này tốt, "well-defined"? Vì (1) định nghĩa này tương thích với trường hợp $z=x$ là một số thực, và (2) chuỗi số phức trên hội tụ tuyệt đối trên toàn bộ mặt phẳng phức $\mathbb{C}$. 

Cũng với cùng một ý tưởng như trên, người ta định nghĩa các hàm phức $\sin z, \cos z$ như một chuỗi luỹ thừa. Viết mấy cái chuỗi này ra là ta có cái gọi là "công thức Euler" thôi.  Khi bạn biết định nghĩa chính xác của những thứ này thì công thức Euler quá hiển nhiên. 

Nhưng câu hỏi đặt ra là có định nghĩa được các hàm khác, ví dụ như $a^z$ với $a$ là số thực bất kỳ, theo cách giống như vậy không? Thậm chí tổng quát hơn là có định nghĩa được $\omega^z$ với $\omega$ là số phức không? Dường như là không được, hoặc nếu muốn thì sẽ phải tìm một hướng khác hoàn toàn.

Mấy cái đạo hàm kia thì cũng không sai so với khái niệm đạo hàm phức (dù mình không nghĩ bạn biết cái này đâu). Nhưng vấn đề ở đây là đạo hàm của $e^z, \sin z, \cos z$ đều được tính qua cái chuỗi luỹ thừa kia; nếu chưa biết cái biểu diễn này thì sao tính nổi đạo hàm của $e^{i\theta}$? còn nếu biết rồi thì chẳng việc gì phải đi làm theo cái kiểu này.

Em biết chuỗi, nhưng em muốn tránh sử dụng Maclaurin cho exp, cosine, sine; bởi vì học sinh 11 có thể dùng đạo hàm. Bỏ ngỏ đạo hàm phức sẽ dễ chịu hơn thừa nhận Maclaurin.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Hoang Huynh: 05-10-2021 - 12:13


#9 ngtien1255

ngtien1255

    Lính mới

  • Thành viên mới
  • 7 Bài viết

Đã gửi 05-10-2021 - 19:18

Em biết chuỗi, nhưng em muốn tránh sử dụng Maclaurin cho exp, cosine, sine; bởi vì học sinh 11 có thể dùng đạo hàm. Bỏ ngỏ đạo hàm phức sẽ dễ chịu hơn thừa nhận Maclaurin.

Cái vấn đề ở đây là đạo hàm của $e^z$ với $z\in \mathbb{C}$ được tính thông qua cái chuỗi kia. Nếu như không biết cái này thì việc tính đạo hàm $e^{i\theta}$ giống như hàm thực là rất vớ vẩn.







1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh