Đến nội dung

Hình ảnh

$f\big(f(x) + y\big) = f(x^2 - y) + 4yf(x)$

- - - - -

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 1 trả lời

#1
tthnew

tthnew

    Hạ sĩ

  • Điều hành viên THCS
  • 67 Bài viết

Bài toán. (Iran 1999) Tìm tất cả hàm số $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ thỏa mãn $f\big(f(x) + y\big) = f(x^2 - y) + 4yf(x).$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tthnew: 19-09-2021 - 15:41


#2
pcoVietnam02

pcoVietnam02

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 208 Bài viết

Tìm tất cả hàm số $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ thỏa mãn $f\big(f(x) + y\big) = f(x^2 - y) + 4yf(x).$ (1)

 

Sử dụng phép thế để triệt tiêu $f(f(x)+y)$ và $f(x^2-y)$ tương đương với việc $f(x)+y=x^2-y \Leftrightarrow y= \frac{x^2-f(x)}{2}$ 

Do đó ta thay $y$ bởi $\frac{x^2-f(x)}{2}$ ta được $4(\frac{x^2-f(x)}{2})f(x)=0$. 

Suy ra $f(x)=0$ hoặc $f(x)=x^2$

Tuy nhiên chúng lại chưa có sự đồng nhất với mọi $x\in\mathbb R$ nên cần phải kiểm tra xem có tồn tại ít nhất là $3$ hàm thỏa phương trình hàm đề bài hay không.

Giả sử tồn tại hàm $f$ thỏa mãn phương trình hàm đề bài sao cho $f(a)=0$ và $f(b)=b^2$ với mọi $a,b \neq 0$ và thuộc $\mathbb R$

Từ đó ta có thêm $f(0)=0$, và thay $x=0$ vào (1) ta được $f(y)=f(-y), \forall y\in\mathbb R$ là hàm chẵn.

Thay $x=a,y=b$ ta được $f(a^2-b)=f(b)=b^2$, mà $f(a^2-b)$ chỉ nhận giá trị là $0$ (loại do $b\neq 0$) hoặc $(a^2-b)^2$ nên suy ra $b^2=(a^2-b)^2\Rightarrow a^2=2b$ (vì $a\neq 0$) (2)

Thay $x=a,y=-b$ ta được $f(a^2+b)=f(-b)=f(b)=b^2$, mà $f(a^2+b)$ chỉ nhận giá trị là $0$ (loại do $b\neq 0$) hoặc $(a^2+b)^2$ nên suy ra $b^2=(a^2+b)^2\Rightarrow a^2=-2b$ (vì $a\neq 0$) (3)

Từ (2) và (3) suy ra $2b=-2b \Rightarrow b=0$ (vô lý)

Như vậy chỉ có nhiều nhất 2 hàm thỏa mãn (1) là $f(x)=0,\forall x\in\mathbb R$ và $f(x)=x^2,\forall x\in\mathbb R$

Thử lại thấy thỏa mãn.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi pcoVietnam02: 19-09-2021 - 15:33





1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh