Đặt đa giác đều H ngoại tiếp (O;R),H có n cạnh
${C_{(O;R)}}:$
$a = \sqrt {{R^2} + {R^2} - 2{R^2}\cos \alpha } $
$ = \sqrt {{R^2}(2 - 2\cos \alpha )} $
$ = \sqrt {{R^2}(2 - 2\cos \alpha )} $
$ = R\sqrt {2 - 2\cos \frac{{360^\circ }}{n}} $
$ = 2R\sin \frac{{180^\circ }}{n}$
$\because n \to + \infty \Rightarrow {C_H} \to {C_{(O;R)}}$ *
$ \Rightarrow {C_{(O;R)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } 2Rn\sin \frac{{180^\circ }}{n}$
$\pi : = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } n\sin \frac{{180^\circ }}{n}$
$ \Rightarrow {C_{(O;R)}} = 2\pi R$
${S_{(O;R)}}:$
${S_{OAB}} = \frac{1}{2}{R^2}\sin \alpha $
$ = \frac{1}{2}{R^2}\sin \frac{{360^\circ }}{n}$
$ = {R^2}\sin (\frac{{180^\circ }}{n})\cos (\frac{{180^\circ }}{n})$
${S_H} = n{S_{OAB}}$
$n \to + \infty \Rightarrow {S_H} \to {S_{(O;R)}}$ **
$ \Rightarrow {S_{(O;R)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } n{R^2}\sin (\frac{{180^\circ }}{n})\cos (\frac{{180^\circ }}{n})$
$ \Rightarrow {S_{(O;R)}} = \pi {R^2}$
(*),(**):
Dễ dàng chứng minh khi n tăng, chu vi và diện tích của hình sau luôn lớn hơn hình trước (x).
Diện tích các hình viên phân luôn lớn hơn 0, nên nếu n là giá trị hữu hạn, diện tích và chu vi của H luôn nhỏ hơn (O;R).(z)
$\because$ (x);(z) $\therefore$ (*),(**).
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Hoang Huynh: 29-09-2021 - 08:29
