Đến nội dung


Hình ảnh

LÂM ĐỒNG 2022


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 6 trả lời

#1 Serine

Serine

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 81 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo

Đã gửi 22-09-2021 - 13:03

KỲ THI CHỌN HỌC SINH VÀO ĐỘI TUYỀN BỒI DƯỠNG THI HSG QG NĂM 2022
 
Câu 1. (3.0 điểm) Giải phương trình sau trên tập số thực:
$$2x^3-x^2+\sqrt[3]{2x^3-3x+1}=3x+1+\sqrt[3]{x^2+2}$$
 
Câu 2. (4.0 điểm) Đặt $f(n)=(n^2+n+1)^2+1$. Cho $a_n=\frac{f(1).f(3)...f(2n-1)}{f(2).f(4)...f(2n)}$ với $n$ là số nguyên dương. Chứng minh rằng $\lim n\sqrt{a_n}=\frac{1}{\sqrt{2}}$
 
Câu 3. (3.0 điểm) Cho $a, b, c$ là các số thực dương thỏa mãn $2abc=2a+4b+7c$
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P =a+b+c$.
 
Câu 4. (4.0 điểm)
a) Cho lục giác $ABCDEF$ nội tiếp đường tròn $(O;R)$ sao cho $AB = CD = EF = R$. Gọi $M, N, P$ lần lượt là trung điểm $BC, DE, FA$. Chứng minh rằng tam giác MNP đều.
b) Cho tam giác $ABC$ có phân giác trong $AD$ ($D$ thuộc $BC$) và thỏa mãn các điều kiện $AC+ AD = BC$ và $AB + AD = CD$. Hãy tỉnh các góc của tam giác $ABC$.
 
Câu 5. (3.0 điểm) Tìm tất cả các hàm số $f:\mathbb{Z}\to \mathbb{Z}$ thỏa mãn điều kiện:
$$3f(x) – 2f(f(x)) = x,\quad \forall x \in \mathbb{Z}$$.
 
Câu 6. (3.0 điểm) Trong một quốc gia có $n > 2$ thành phố. Giữa hai thành phố bất kỳcó đường bay trực tiếp theo hai chiều. Người ta muốn cấp phép khai thác cho cácđường bay cho một hãng hàng không với các điều kiện sau đây:
(i) Mỗi đường bay chỉ được cấp phép cho một hãng hàng không duy nhất.
(ii) Di chuyển bằng đường bay của một hãng hàng không tùy ý, người ta có thể đi từ thành phố bất kỳ tới các thành phố còn lại.
Hỏi có thể cấp phép cho tối đa bao nhiêu hãng hàng không?
 
khỏi hỏi, em 90% rớt


#2 pcoVietnam02

pcoVietnam02

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 203 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT chuyên Lê Quý Đôn - Khánh Hòa
  • Sở thích:Thích phương trình hàm và ghéc những thằng đòi học sớm 5p

Đã gửi 22-09-2021 - 18:07

 
khỏi hỏi, em 90% rớt

 

 

Khỏi cần nhắc, ai cũng đoán được  :wacko:



#3 perfectstrong

perfectstrong

    $LOVE(x)|_{x =\alpha}^\Omega=+\infty$

  • Quản trị
  • 4402 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Sở thích:Đàn guitar, ngắm người mình yêu, học toán

Đã gửi 22-09-2021 - 20:02

Điều kiện (ii) của bài 6 là sao nhỉ? "Di chuyển đường bay" tức là xóa đi hay đổi đích hay sao?


Luôn yêu để sống, luôn sống để học toán, luôn học toán để yêu!!! :D

$$\text{LOVE}\left( x \right)|_{x = \alpha}^\Omega = + \infty $$




I'm still there everywhere.

#4 Serine

Serine

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 81 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo

Đã gửi 22-09-2021 - 20:38

Khỏi cần nhắc, ai cũng đoán được  :wacko:

biet ngu mah

 

Điều kiện (ii) của bài 6 là sao nhỉ? "Di chuyển đường bay" tức là xóa đi hay đổi đích hay sao?

 

Dạ đề gốc là:

Trong một quốc gia có $n\ge 2$ thành phố. Giữa hai thành phố bất kỳ có đường bay trực tiếp theo hai chiều. Người ta muốn cấp phép khai thác cho các đường bay trên cho một số hãng hàng không với các điều kiện sau đây:
i) Mỗi đường bay chỉ được cấp phép cho một hãng duy nhất.
ii) Di chuyển bằng đường bay của 1 hãng hàng không tùy ý, người ta có thể đi từ 1 thành phố bất kỳ tới các thành phố còn lại.
Hỏi có thể cấp phép tối đa cho bao nhiêu hãng hàng không? (VNTST 2019)
 
Mấy ổng ghi vô đề thiếu vài chỗ làm em cũng ko hiểu đề. Copy gan y chang, buon  :( .

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Serine: 22-09-2021 - 20:43


#5 pcoVietnam02

pcoVietnam02

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 203 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT chuyên Lê Quý Đôn - Khánh Hòa
  • Sở thích:Thích phương trình hàm và ghéc những thằng đòi học sớm 5p

Đã gửi 22-09-2021 - 21:53

Bài 5: Trích lại cmt mình trên fb 

Coi $x$ cố định đặt $x_n+1=f(x_n)$ và $a_0=x$
Thay $x_n$ vào phương trình hàm đề bài thì ta có $2x_n+1-3x_n+x_n-1=0$
Xét phương trình đặc trưng $2a^2-3a+1=0$ được hai nghiệm $a$ phân biệt là $a=\frac 12$ và $a=1$
Suy ra $x_n=A(1/2)^n+B$
Dễ thấy nếu cho $A\neq 0$ thì nếu chọn $n$ đủ lớn thì $A(\frac 12)^n$ ko phải là số nguyên nên vô lý
Do đó $A=0$ thì $x_n=B$ là hằng số
Vì vậy $x_n=x_0=x$
Và ta có $x=a_1=f(a_0)=f(x)$ là hàm thoả.


#6 phuc_90

phuc_90

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 436 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Lỗ đen vũ trụ

Đã gửi 17-10-2021 - 22:59

 

KỲ THI CHỌN HỌC SINH VÀO ĐỘI TUYỀN BỒI DƯỠNG THI HSG QG NĂM 2022
 
Câu 1. (3.0 điểm) Giải phương trình sau trên tập số thực:
$$2x^3-x^2+\sqrt[3]{2x^3-3x+1}=3x+1+\sqrt[3]{x^2+2}$$
 
Câu 2. (4.0 điểm) Đặt $f(n)=(n^2+n+1)^2+1$. Cho $a_n=\frac{f(1).f(3)...f(2n-1)}{f(2).f(4)...f(2n)}$ với $n$ là số nguyên dương. Chứng minh rằng $\lim n\sqrt{a_n}=\frac{1}{\sqrt{2}}$

 

 

Câu 1:   Đặt $u=\sqrt[3]{2x^3-3x+1}$ và $v=\sqrt[3]{x^2+2}$ thì phương trình trên trở thành $u^3-v^3+u-v=0$

 

hay $(u-v)(u^2+uv+v^2+1)=0$ , vì $u^2+uv+v^2+1=(u+\frac{v}{2})^2+\frac{3v^2}{4}+1>0$

 

nên $u=v$ hay $2x^3-3x+1=u^3=v^3=x^2+2 \Rightarrow 2x^3-x^2-3x-1=0 \Rightarrow (2x+1)(x^2-x-1)=0$

 

Phương trình này cho ta 3 nghiệm $x_1=-\frac{1}{2}\,\,,\,\,x_2=\frac{1+\sqrt{5}}{2}\,\,,\,\,x_3=\frac{1-\sqrt{5}}{2}$

 

Câu 2:   Ta có $f(n)=(n^2+n+1)^2+1=(n^2+1)^2+2n(n^2+1)+n^2+1=(n^2+1)((n+1)^2+1)$

 

Khi đó  $a_n=\frac{f(1).f(3)...f(2n-1)}{f(2).f(4)...f(2n)}$

 

$=\frac{(1^2+1)(2^2+1)(3^2+1)...((2n-1)^2+1)((2n)^2+1)}{(2^2+1)(3^2+1)(4^2+1)(5^2+1)...((2n)^2+1)((2n+1)^2+1)}$

 

$=\frac{2}{(2n+1)^2+1}$

 

Suy ra  $\lim_{n \to \infty } n\sqrt{a_n}=\lim_{n \to \infty }\sqrt{\frac{2n^2}{(2n+1)^2+1}}=\frac{1}{\sqrt{2}}$
 



#7 supermember

supermember

    Đại úy

  • Hiệp sỹ
  • 1563 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Quận 7, TP HCM
  • Sở thích:bên em

Đã gửi 23-10-2021 - 14:05

 

 
Câu 3. (3.0 điểm) Cho $a, b, c$ là các số thực dương thỏa mãn $2abc=2a+4b+7c$
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P =a+b+c$.
 
 

 

Hi vọng là giải đúng  :closedeyes:

 

Từ điều kiện bài toán, ta suy ra: $ 2a(bc-1) = 4b+7c$. Nên dễ thấy là $bc >1$ và $ a= \frac{4b+7c}{2(bc-1)}$.

 

Suy ra : $ a+b +c =  \frac{4b+7c}{2(bc-1)} + b + c$  $(1)$

 

Do $ bc > 1$ , suy ra ta phải có: $ b > \frac{1}{c}$. Ta sẽ cố định $c$, đồng thời đi khảo sát hàm số: $ f(x) = \frac{4x+7c}{2(xc-1)} + x + c$ trên $ \left( \frac{1}{c}; \ + \infty \right)$.

 

Lấy đạo hàm $ f^{'} (x) = \frac{ 4 \cdot 2(xc-1) - (4x+7c) \cdot 2c}{ 4(xc-1)^2} +1 = 1 + \frac{ -4 - 7c^2}{2(xc-1)^2}$
 

Do đó $ f^{'} (x) = 0 \Leftrightarrow 2(xc-1)^2 = 4+ 7c^2  \Leftrightarrow \sqrt{2} (xc-1) =  \sqrt{4+7c^2}$ $( \bigstar)$

(Do trên miền giá trị $x$ đang xét thì hiển nhiên là : $ xc-1 >0$)

 

Tức là : $ f^{'} (x) = 0 \Leftrightarrow x = x_0 = \frac{1}{c} + \sqrt{ \frac{4+7c^2}{2c^2}}$

 

Từ dáng điệu của hàm số, ta dễ dàng thấy rằng $f(x)$ là hàm giảm trên $ \left( \frac{1}{c}; \  x_0 \right]$ và là hàm tăng trên $ \left[ x_0; \ + \infty \right)$.

 

Nên từ đây, ta suy ra $ f(b) \geq f(x_0 ) = \frac{4 x_0 +7c}{2(x_0 \cdot c-1)} + x_0 + c$   $(2)$

 

Bằng tính toán cụ thể, ta ra được kết quả $ f(x _0 ) = c + \frac{3}{c} + \frac{ \sqrt{8 + 14c^2}}{c} = g(c)$  $(3)$

 

Lưu ý là trong tính toán thì phải sử dụng đến đẳng thức $( \bigstar)$ thì khai triển sẽ đỡ cồng kềnh.

 

Do đó, giờ công việc của ta thực chất chỉ là đi khảo sát hàm $ g(c) = c + \frac{3}{c} + \frac{ \sqrt{8 + 14c^2}}{c}$ trên $(0 ; + \infty)$.

 

Đây là bài toán khảo sát hàm một biến, có lẽ không khó. Ta tạm dừng nghỉ ngơi. Hẹn các bạn trong giây lát.

 

Tiếp tục công việc:

 

Ta tính đạo hàm $ g^{'} (c) = 1 - \frac{3}{c^2} - \frac{8}{ c^2 \sqrt{8+14c^2}}$

 

Ta đi giải phương trình $  g^{'} (c) = 0$. Thật vậy, đặt ẩn phụ $ t = c^2 ( t>0)  $ thì dễ thấy là phương trình ta cần giải tương đương với:

 

$ t - 3 = \frac{8}{ \sqrt{8+14t}}$

 

Tức là : $ t> 3$ và $ (t-3)^2 (8+14t) =8^2$  $ ( \bigstar \bigstar)$

 

Phương trình $( \bigstar \bigstar)$ chỉ có $1$ nghiệm duy nhất lớn hơn $3$ là $ t_0 = 4$ ; Giá trị  $ t_0 = 4$ sẽ tương ứng với $ c =2$.

 

Suy ra : $ g^{'} (c) = 0  \Leftrightarrow c = 2$.

 

Mặt khác, dễ thấy $ g^{'}(c)$ là hàm đơn điệu tăng trên $ (0; + \infty )$ và $ g^{'}(2) =0$.  Suy ra $ g^{'}(c) \leq 0$ với mọi $ c \in  \left( 0; \  2 \right]$ và $ g^{'}(c) \geq 0$ với mọi $ c \in \left[2; \ + \infty \right)$. Nên hiển nhiên hàm $g(c)$ là hàm số liên tục trên $\mathbb{R}^{+}$, đơn điệu giảm trên  $ \left( 0; \  2 \right]$ và đơn điệu tăng trên $ \left[2; \ + \infty \right)$. Từ đây suy ra: $ g(c) \geq g(2) = \frac{15}{2}$  $(4)$ .

 

Từ $ (1); \ (2); \ (3) ; \ (4)$ Ta suy ra: $ a + b + c \geq \frac{15}{2}$

 

Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $ a = 3; \ b = \frac{5}{2} ;\  c= 2$.

 

Bài toán theo đó được giải quyết hoàn toàn  . Bài Toán Hay. Lâu Lâu mới có $1$ bài bất đẳng thức hay và sáng tạo thế này :)


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi supermember: 23-10-2021 - 19:01

Khi bạn là người yêu Toán, hãy chấp nhận rằng bạn sẽ buồn nhiều hơn vui :)




1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh