LÂM ĐỒNG 2022
#1
Đã gửi 22-09-2021 - 13:03
- hoangvipmessi97, DaiphongLT, pcoVietnam02 và 1 người khác yêu thích
#2
Đã gửi 22-09-2021 - 18:07
khỏi hỏi, em 90% rớt
Khỏi cần nhắc, ai cũng đoán được
#3
Đã gửi 22-09-2021 - 20:02
Điều kiện (ii) của bài 6 là sao nhỉ? "Di chuyển đường bay" tức là xóa đi hay đổi đích hay sao?
$$\text{LOVE}\left( x \right)|_{x = \alpha}^\Omega = + \infty $$
I'm still there everywhere.
#4
Đã gửi 22-09-2021 - 20:38
Khỏi cần nhắc, ai cũng đoán được
biet ngu mah
Điều kiện (ii) của bài 6 là sao nhỉ? "Di chuyển đường bay" tức là xóa đi hay đổi đích hay sao?
Dạ đề gốc là:
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Serine: 22-09-2021 - 20:43
#5
Đã gửi 22-09-2021 - 21:53
Bài 5: Trích lại cmt mình trên fb
- perfectstrong và LTBN thích
#6
Đã gửi 17-10-2021 - 22:59
KỲ THI CHỌN HỌC SINH VÀO ĐỘI TUYỀN BỒI DƯỠNG THI HSG QG NĂM 2022Câu 1. (3.0 điểm) Giải phương trình sau trên tập số thực:$$2x^3-x^2+\sqrt[3]{2x^3-3x+1}=3x+1+\sqrt[3]{x^2+2}$$Câu 2. (4.0 điểm) Đặt $f(n)=(n^2+n+1)^2+1$. Cho $a_n=\frac{f(1).f(3)...f(2n-1)}{f(2).f(4)...f(2n)}$ với $n$ là số nguyên dương. Chứng minh rằng $\lim n\sqrt{a_n}=\frac{1}{\sqrt{2}}$
Câu 1: Đặt $u=\sqrt[3]{2x^3-3x+1}$ và $v=\sqrt[3]{x^2+2}$ thì phương trình trên trở thành $u^3-v^3+u-v=0$
hay $(u-v)(u^2+uv+v^2+1)=0$ , vì $u^2+uv+v^2+1=(u+\frac{v}{2})^2+\frac{3v^2}{4}+1>0$
nên $u=v$ hay $2x^3-3x+1=u^3=v^3=x^2+2 \Rightarrow 2x^3-x^2-3x-1=0 \Rightarrow (2x+1)(x^2-x-1)=0$
Phương trình này cho ta 3 nghiệm $x_1=-\frac{1}{2}\,\,,\,\,x_2=\frac{1+\sqrt{5}}{2}\,\,,\,\,x_3=\frac{1-\sqrt{5}}{2}$
Câu 2: Ta có $f(n)=(n^2+n+1)^2+1=(n^2+1)^2+2n(n^2+1)+n^2+1=(n^2+1)((n+1)^2+1)$
Khi đó $a_n=\frac{f(1).f(3)...f(2n-1)}{f(2).f(4)...f(2n)}$
$=\frac{(1^2+1)(2^2+1)(3^2+1)...((2n-1)^2+1)((2n)^2+1)}{(2^2+1)(3^2+1)(4^2+1)(5^2+1)...((2n)^2+1)((2n+1)^2+1)}$
$=\frac{2}{(2n+1)^2+1}$
Suy ra $\lim_{n \to \infty } n\sqrt{a_n}=\lim_{n \to \infty }\sqrt{\frac{2n^2}{(2n+1)^2+1}}=\frac{1}{\sqrt{2}}$
- perfectstrong, Serine và LTBN thích
#7
Đã gửi 23-10-2021 - 14:05
Câu 3. (3.0 điểm) Cho $a, b, c$ là các số thực dương thỏa mãn $2abc=2a+4b+7c$Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P =a+b+c$.
Hi vọng là giải đúng
Từ điều kiện bài toán, ta suy ra: $ 2a(bc-1) = 4b+7c$. Nên dễ thấy là $bc >1$ và $ a= \frac{4b+7c}{2(bc-1)}$.
Suy ra : $ a+b +c = \frac{4b+7c}{2(bc-1)} + b + c$ $(1)$
Do $ bc > 1$ , suy ra ta phải có: $ b > \frac{1}{c}$. Ta sẽ cố định $c$, đồng thời đi khảo sát hàm số: $ f(x) = \frac{4x+7c}{2(xc-1)} + x + c$ trên $ \left( \frac{1}{c}; \ + \infty \right)$.
Lấy đạo hàm $ f^{'} (x) = \frac{ 4 \cdot 2(xc-1) - (4x+7c) \cdot 2c}{ 4(xc-1)^2} +1 = 1 + \frac{ -4 - 7c^2}{2(xc-1)^2}$
Do đó $ f^{'} (x) = 0 \Leftrightarrow 2(xc-1)^2 = 4+ 7c^2 \Leftrightarrow \sqrt{2} (xc-1) = \sqrt{4+7c^2}$ $( \bigstar)$
(Do trên miền giá trị $x$ đang xét thì hiển nhiên là : $ xc-1 >0$)
Tức là : $ f^{'} (x) = 0 \Leftrightarrow x = x_0 = \frac{1}{c} + \sqrt{ \frac{4+7c^2}{2c^2}}$
Từ dáng điệu của hàm số, ta dễ dàng thấy rằng $f(x)$ là hàm giảm trên $ \left( \frac{1}{c}; \ x_0 \right]$ và là hàm tăng trên $ \left[ x_0; \ + \infty \right)$.
Nên từ đây, ta suy ra $ f(b) \geq f(x_0 ) = \frac{4 x_0 +7c}{2(x_0 \cdot c-1)} + x_0 + c$ $(2)$
Bằng tính toán cụ thể, ta ra được kết quả $ f(x _0 ) = c + \frac{3}{c} + \frac{ \sqrt{8 + 14c^2}}{c} = g(c)$ $(3)$
Lưu ý là trong tính toán thì phải sử dụng đến đẳng thức $( \bigstar)$ thì khai triển sẽ đỡ cồng kềnh.
Do đó, giờ công việc của ta thực chất chỉ là đi khảo sát hàm $ g(c) = c + \frac{3}{c} + \frac{ \sqrt{8 + 14c^2}}{c}$ trên $(0 ; + \infty)$.
Đây là bài toán khảo sát hàm một biến, có lẽ không khó. Ta tạm dừng nghỉ ngơi. Hẹn các bạn trong giây lát.
Tiếp tục công việc:
Ta tính đạo hàm $ g^{'} (c) = 1 - \frac{3}{c^2} - \frac{8}{ c^2 \sqrt{8+14c^2}}$
Ta đi giải phương trình $ g^{'} (c) = 0$. Thật vậy, đặt ẩn phụ $ t = c^2 ( t>0) $ thì dễ thấy là phương trình ta cần giải tương đương với:
$ t - 3 = \frac{8}{ \sqrt{8+14t}}$
Tức là : $ t> 3$ và $ (t-3)^2 (8+14t) =8^2$ $ ( \bigstar \bigstar)$
Phương trình $( \bigstar \bigstar)$ chỉ có $1$ nghiệm duy nhất lớn hơn $3$ là $ t_0 = 4$ ; Giá trị $ t_0 = 4$ sẽ tương ứng với $ c =2$.
Suy ra : $ g^{'} (c) = 0 \Leftrightarrow c = 2$.
Mặt khác, dễ thấy $ g^{'}(c)$ là hàm đơn điệu tăng trên $ (0; + \infty )$ và $ g^{'}(2) =0$. Suy ra $ g^{'}(c) \leq 0$ với mọi $ c \in \left( 0; \ 2 \right]$ và $ g^{'}(c) \geq 0$ với mọi $ c \in \left[2; \ + \infty \right)$. Nên hiển nhiên hàm $g(c)$ là hàm số liên tục trên $\mathbb{R}^{+}$, đơn điệu giảm trên $ \left( 0; \ 2 \right]$ và đơn điệu tăng trên $ \left[2; \ + \infty \right)$. Từ đây suy ra: $ g(c) \geq g(2) = \frac{15}{2}$ $(4)$ .
Từ $ (1); \ (2); \ (3) ; \ (4)$ Ta suy ra: $ a + b + c \geq \frac{15}{2}$
Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $ a = 3; \ b = \frac{5}{2} ;\ c= 2$.
Bài toán theo đó được giải quyết hoàn toàn . Bài Toán Hay. Lâu Lâu mới có $1$ bài bất đẳng thức hay và sáng tạo thế này :)
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi supermember: 23-10-2021 - 19:01
- perfectstrong, Hoang72, 12DecMath và 2 người khác yêu thích
#8
Đã gửi 26-06-2023 - 11:00
Câu 3. (3.0 điểm) Cho $a, b, c$ là các số thực dương thỏa mãn $2abc=2a+4b+7c$Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P =a+b+c$.
Ta có: $c=\dfrac{2a+4b}{2ab-7}$ nên $P = a + b + \frac{2a+4b}{2ab-7}$.
Áp dụng bất đẳng thức AM-GM, ta có:
$$ P = a + \dfrac{{11}}{{2a}} + \left( {b - \dfrac{7}{{2a}}} \right) + \left( {\dfrac{{2a + 4b}}{{2ab - 7}} - \dfrac{2}{a}} \right) $$
$$ \Leftrightarrow P = a + \dfrac{{11}}{{2a}} + \dfrac{{2ab - 7}}{{2a}} + \dfrac{{2{a^2} + 7}}{{2ab - 7}} $$
$$ \Leftrightarrow P \geqslant a + \dfrac{{11}}{{2a}} + \dfrac{{2\sqrt {{a^2} + 7} }}{a} $$
Đến đây đã dồn biểu thức về 1 biến và có thể giải bằng nhiều cách
Đáp án: $ {P_{\min }} = \dfrac{{15}}{2} \Leftrightarrow a= 3,b = \dfrac{5}{2},c = 2 $
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi huytran08: 26-06-2023 - 11:01
- perfectstrong, ThienDuc1101, thanhdinhcao và 2 người khác yêu thích
How far are you from me,Fruit?
I am hidden in your heart,Flower.
(Rabindranath Tagore)
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh