Đến nội dung

Hình ảnh

$$a_1=\frac{5}{3}\,\,,\,\,a_{n+1}=\frac{1}{4-3a_n}$$

* * * * * 1 Bình chọn

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 6 trả lời

#1
phuc_90

phuc_90

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 438 Bài viết

Bài toán:   Cho dãy số thực $(a_n)_n$  được xác định như sau

 

$$a_1=\frac{5}{3}\,\,,\,\,a_{n+1}=\frac{1}{4-3a_n}\,\,,\,\,\forall n\geq 1$$

 

Khẳng định hay phủ định $(a_n)_n$ là dãy hội tụ ? Chứng minh nhận định trên.



#2
pcoVietnam02

pcoVietnam02

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 208 Bài viết

Xét hàm $f(t)= \frac{1}{4-3t} \Rightarrow f'(t)=\frac{3}{(4-3t)^2}\geq 0, \forall t\in\mathbb R$

Suy ra $f$ đồng biến trên $\mathbb R$, từ đó quy nạp ta được $(a_n)$ là dãy tăng với mọi $n\geq 2$

Chứng minh quy nạp được $a_n\leq \frac 13$, $\forall n\geq 2$

Do đó $(a_n)$ là dãy hội tụ với mọi $n\geq 2$.

Đưa về bài toán tìm lim ta được $L=\frac 13$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi pcoVietnam02: 23-09-2021 - 14:35


#3
perfectstrong

perfectstrong

    $LOVE(x)|_{x =\alpha}^\Omega=+\infty$

  • Quản lý Toán Ứng dụng
  • 4991 Bài viết
Suy ra $f$ đồng biến trên $\mathbb R$, từ đó quy nạp ta được $(a_n)$ là dãy tăng với mọi $n\geq 2$

Chứng minh quy nạp được $a_n\leq \frac 13$, $\forall n\geq 2$

Dãy $(a_n)$ tăng thì sao mà $a_2 \le \frac{1}{3}$ trong khi $a_2 \ge a_1 = \frac{5}{3}$ ?


Luôn yêu để sống, luôn sống để học toán, luôn học toán để yêu!!! :D
$$\text{LOVE}\left( x \right)|_{x = \alpha}^\Omega = + \infty $$
I'm still there everywhere.

#4
pcoVietnam02

pcoVietnam02

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 208 Bài viết

Dãy $(a_n)$ tăng thì sao mà $a_2 \le \frac{1}{3}$ trong khi $a_2 \ge a_1 = \frac{5}{3}$ ?

Dạ em có ghi tăng với mọi $n\geq 2$ á anh.



#5
perfectstrong

perfectstrong

    $LOVE(x)|_{x =\alpha}^\Omega=+\infty$

  • Quản lý Toán Ứng dụng
  • 4991 Bài viết

Dạ em có ghi tăng với mọi $n\geq 2$ á anh.

Xin lỗi, anh quên đọc điều kiện. Nhưng kết luận của em là sai rồi. Định nghĩa của hội tụ không yêu cầu $n \ge 1$ gì cả. Chỉ cần là với mọi $\varepsilon > 0$, thì từ một chỉ số $N$ nào đó $|x_n - L| \le \varepsilon$.


Luôn yêu để sống, luôn sống để học toán, luôn học toán để yêu!!! :D
$$\text{LOVE}\left( x \right)|_{x = \alpha}^\Omega = + \infty $$
I'm still there everywhere.

#6
pcoVietnam02

pcoVietnam02

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 208 Bài viết

Xin lỗi, anh quên đọc điều kiện. Nhưng kết luận của em là sai rồi. Định nghĩa của hội tụ không yêu cầu $n \ge 1$ gì cả. Chỉ cần là với mọi $\varepsilon > 0$, thì từ một chỉ số $N$ nào đó $|x_n - L| \le \varepsilon$.

 

Dạ tại em chưa có quen trường hợp đó nên lúc đó thằng $a_1$ em chỉ nghĩ là nó lớn hơn lim nên em làm vậy chứ định nghĩa em chưa để ý  :ohmy:



#7
perfectstrong

perfectstrong

    $LOVE(x)|_{x =\alpha}^\Omega=+\infty$

  • Quản lý Toán Ứng dụng
  • 4991 Bài viết

Dạ tại em chưa có quen trường hợp đó nên lúc đó thằng $a_1$ em chỉ nghĩ là nó lớn hơn lim nên em làm vậy chứ định nghĩa em chưa để ý  :ohmy:

 

 

Tuy nhiên $a_1=\frac 53 >L$ nên dãy $(a_n)$ không hội tụ trên $n\geq 1$

Em bỏ dòng kết luận cuối này đi là đẹp, vì thực chất phần trên đã đúng.
 


Luôn yêu để sống, luôn sống để học toán, luôn học toán để yêu!!! :D
$$\text{LOVE}\left( x \right)|_{x = \alpha}^\Omega = + \infty $$
I'm still there everywhere.




2 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 2 khách, 0 thành viên ẩn danh