Bài 2. (5 điểm)
Cho đa thức $P(x)$ có các hệ số nguyên, giả sử các phương trình $P(x)=1, P(x)=2$ và $P(x)=3$ theo thứ tự mỗi phương trình có ít nhất một nghiệm nguyên theo lần lượt $x_1,x_2,x_3$.
a) Chứng minh rằng: $x_1,x_2,x_3$ là các nghiệm nguyên duy nhất của các phương trình trên.
b) Chứng minh rằng: phương trình $P(x)=5$ không có hơn một nghiệm nguyên.
Hi vọng là giải đúng:
Câu a: Ta cần dùng đến tính chất cơ bản của đa thức hệ số nguyên: với $x;y$ là những số nguyên phân biệt thì ta có: $ x-y | P(x)-P(y)$
Sử dụng tính chất này, kèm theo chú ý: hiển nhiên $ x_1 ;\ x_2 ; \ x_3$ phải là những số nguyên đôi một phân biệt, ta có:
$ \begin{cases} x_2 - x_1 | P(x_2)- P(x_1) \\ x_3 - x_2 | P(x_3) - P(x_2) \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x_2 - x_1 | 1 \\ x_3 - x_2 | 1 \end{cases} $
$ \Rightarrow x_2- x_1 ; x_3 - x_2 \in \{ \pm 1 \}$
Trường hợp 1: $x_2 - x_1 =1$ thì ta phải có $ x_3 - x_2 = 1$ vì nếu $ x_3 - x_2 = -1$ thì suy ra : $ (x_2 - x_1) + (x_3 - x_2 ) = 0 \Rightarrow x_3 = x_1 $
Điều này vô lý.
Trường hợp 2: $x_2 - x_1 = -1$ thì bằng chứng minh tương tự, ta phải có: $ x_3 - x_2 = -1$
Tức là $x_1; \ x_2; \ x_3$ tạo thành cấp số cộng công sai $1$ hoặc $-1$.
Trước tiên, ta đi chứng minh rằng giá trị $x_1$ nếu có tồn tại, thì là duy nhất:
Thật vậy, Giả sử ngoài $x_1$ thì phương trình $ P(x)=1$ còn có thêm nghiệm nguyên $ x_1^{'}$
* Nếu $ x_2 - x_1 = 1$ thì $ x_2 - x_1^{'} = -1$, mà $ x_3 - x_2 =1$, suy ra $ (x_3 - x_2) + (x_2 - x_1^{'}) = 0 \Rightarrow x_3 = x_1^{'}$ (Vô lý)
* Nếu $x_2 - x_1 = -1$ thì $ x_2 - x_1^{'} = 1$, mà $ x_3 - x_2 =-1$, suy ra $ (x_3 - x_2) + (x_2 - x_1^{'}) = 0 \Rightarrow x_3 = x_1^{'}$ (Vô lý)
Nên giá trị $x_1$ nếu tồn tại theo giải thiết bài toán, thì là duy nhất.
Để chứng minh khẳng định bài toán, ta chỉ cần chứng minh:
Không thể xảy ra trường hợp $2$ bộ số $ (x_1; x_1+1; x_1 +2); (x_1; x_1 - 1; x_1 -2)$ đều lần lượt là nghiệm của $3$ phương trình: $P(x)=1; \ P(x) =2 ; \ P(x) =3$
Nhưng may mắn là chứng minh điều này không khó vì nếu giả sử xảy ra trường hợp này thì ta có:
$ ( x_1+2) - (x_1 -1) | P( x_1+2) - P(x_1 -1) \Rightarrow 3| 3-2 \Rightarrow 3| 1$ (Vô lý)
Do đó, khẳng định bài toán được chứng minh hoàn toàn. Tức là $3$ phương trình: $P(x)=1; \ P(x) =2 ; \ P(x) =3$ chỉ có $1$ bộ nghiệm duy nhất $(x_1; x_2;x_3)$ có dạng $ (x_1; x_1+1; x_1 +2)$ hoặc $ (x_1; x_1 - 1; x_1 -2)$
Câu b: Ý tưởng cũng là hoàn toàn tương tự, ta giả sử $x_4$ là nghiệm nguyên của phương trình $ P(x)=5$
ta có $ \begin{cases} x_4 - x_3 | 2 \\ x_4 - x_2 | 3 & (\bigstar) \end{cases} $
Dễ thấy không thể xảy ra trường hợp: $ x_4 - x_3 = \pm 1$
Thật vậy, nếu $ x_4 -x_3 = -1 $ thì dễ thấy là không thể xảy ra trường hợp $ x_3 - x_2 =1$ vì nếu như vậy thì: $ (x_4 -x_3) + (x_3 - x_2) =0 \Rightarrow x_4 = x_2$ (Vô lý). Còn nếu $ x_3 - x_2 = -1$ suy ra $x_4 - x_2 = -2$, nên theo $ (\bigstar) $ thì $ -2 |3$ (vô lý)
Ta chứng minh hoàn toàn tương tự để có: không thể xảy ra trường hợp: $ x_4 -x_3 = 1 $
Do đó, chỉ có thể xảy ra trường hợp: $ x_4 - x_3 = \pm 2$
Đến đây thì gần xong rồi, ta giả sử ngoài nghiệm nguyên $x_4$ thì phương trình $P(x) =5$ còn có thêm nghiệm nguyên $ x_4^{'}$
* Nếu $ x_4 - x_3 = 2$ thì suy ra $ x_4^{'} - x_3 = -2$
Trường hợp $ x_3 - x_1 = 2 $ thì : $ ( x_4^{'} - x_3 ) + (x_3 - x_1) = 0 \Rightarrow x_4^{'} = x_1$ (Vô lý)
Trường hợp $ x_3 - x_1 = -2 $ thì : $ ( x_4 - x_3 ) + (x_3 - x_1) = 0 \Rightarrow x_4= x_1$ (Vô lý)
Nên không thể xảy ra trường hợp này .
* Nếu $ x_4 - x_3 = - 2$ thì suy ra $ x_4^{'} - x_3 = 2$
Chứng minh tương tự, ta cũng chỉ ra được không thể xảy ra trường hợp này.
Mâu thuẫn này chứng tỏ điều giả sử ban đầu về sự tồn tại của $x_4^{'}$ là sai, và giá trị $x_4$ ( nếu có tồn tại) thì sẽ là duy nhất.
Khẳng định bài toán theo đó được chứng minh hoàn toàn.
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi supermember: 25-09-2021 - 18:51