Đến nội dung


Hình ảnh

Đề chọn đội tuyển VMO Hà Tĩnh 2021-2022

tst olympiad vmo 2021

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 7 trả lời

#1 pcoVietnam02

pcoVietnam02

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 190 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT chuyên Lê Quý Đôn - Khánh Hòa
  • Sở thích:Thích phương trình hàm và ghéc những thằng đòi học sớm 5p

Đã gửi 22-09-2021 - 22:36

Kỳ thi chọn đội tuyển dự thi học sinh giỏi quốc gia THPT năm học 2021-2022

22/09/2021

Bài 1. (5 điểm) 

Cho $a\geq 2$ và $x_1,x_2$ là hai nghiệm của phương trình $x^2-ax+1=0$. Đặt $S_n=x_1^n+x_2^n,n=1,2,...$

a) Chứng minh dãy $\begin{Bmatrix} \frac{S_n}{S_{n+1}} \end{Bmatrix}_{n+1}^{+\infty}$ là dãy giảm.

b) Tìm tất cả các giá trị $a$ sao cho $\frac{S_1}{S_2}+\frac{S_2}{S_3}+...+\frac{S_n}{S_{n+1}}>n-1$. với mọi $n=1,2,...$

 

Bài 2. (5 điểm) 

Cho đa thức $P(x)$ có các hệ số nguyên, giả sử các phương trình $P(x)=1, P(x)=2$ và $P(x)=3$ theo thứ tự mỗi phương trình có ít nhất một nghiệm nguyên theo lần lượt $x_1,x_2,x_3$.

a) Chứng minh rằng: $x_1,x_2,x_3$ là các nghiệm nguyên duy nhất của các phương trình trên.

b) Chứng minh rằng: phương trình $P(x)=5$ không có hơn một nghiệm nguyên. 

 

Bài 3. (5 điểm) 

Cho tam giác $ABC$ nhọn, trực tâm $H$, tâm ngoại tiếp $O$. Các điểm $K,L$ lần lượt đối xứng với $O$ qua $AC,AB$. Đường thẳng $CK$ cắt đường tròn $(AHK)$ tại $M$ khác $K$. Đường thẳng $BL$ cắt đường tròn $(AHL)$ tại $N$ khác $L$. $HM$ cắt $AC$ tại $E$ và $HN$ cắt $AB$ tại $F$. Đường thẳng $EF$ cắt $BC$ tại $D$.

a) Chứng minh rằng tam giác $ABN$ đồng dạng với tam giác $CAM$.

b) Chứng minh rằng đường thẳng $HD$ vuông góc với đường thẳng $OA$.

 

Bài 4. (5 điểm)

An và Bình cùng chơi trò chơi với ba đống sỏi, mỗi đống có một số viên sỏi, Mục tiêu của hai người chơi là chiếm lấy viên sỏi cuối cùng và giành chiến thắng. Hai người chơi lần lượt, An là người chơi trước. Mỗi lượt chơi, người chơi có quyền chọn ra một đống sỏi bất kỳ và lấy đi một số viên sỏi từ đống đó (lấy ít nhất một viên và có thể lấy hết số sỏi của đống). Hỏi ai là người có chiến thuật để giành chiến thắng nếu:

a) Ba đống sỏi có số viên lần lượt là $1,2,3$ viên.

b) Ba đống sỏi có số viên lần lượt là $2020,2021,2022$ viên.

 

               -----------------------Hết---------------------- 



#2 underdog

underdog

    Lính mới

  • Thành viên mới
  • 1 Bài viết

Đã gửi 22-09-2021 - 22:55

 

Kỳ thi chọn đội tuyển dự thi học sinh giỏi quốc gia THPT năm học 2021-2022

22/09/2021

Bài 1. (5 điểm) 

Cho $a\geq 2$ và $x_1,x_2$ là hai nghiệm của phương trình $x^2-ax+1=0$. Đặt $S_n=x_1^n+x_2^n,n=1,2,...$

a) Chứng minh dãy $\begin{Bmatrix} \frac{S_n}{S_{n+1}} \end{Bmatrix}_{n+1}^{+\infty}$ là dãy giảm.

b) Tìm tất cả các giá trị $a$ sao cho $\frac{S_1}{S_2}+\frac{S_2}{S_3}+...+\frac{S_n}{S_{n+1}}>n-1$. với mọi $n=1,2,...$

 

Bài 2. (5 điểm) 

Cho đa thức $P(x)$ có các hệ số nguyên, giả sử các phương trình $P(x)=1, P(x)=2$ và $P(x)=3$ theo thứ tự mỗi phương trình có ít nhất một nghiệm nguyên theo lần lượt $x_1,x_2,x_3$.

a) Chứng minh rằng: $x_1,x_2,x_3$ là các nghiệm nguyên duy nhất của các phương trình trên.

b) Chứng minh rằng: phương trình $P(x)=5$ không có hơn một nghiệm nguyên. 

 

Bài 3. (5 điểm) 

Cho tam giác $ABC$ nhọn, trực tâm $H$, tâm ngoại tiếp $O$. Các điểm $K,L$ lần lượt đối xứng với $O$ qua $AC,AB$. Đường thẳng $CK$ cắt đường tròn $(AHK)$ tại $M$ khác $K$. Đường thẳng $BL$ cắt đường tròn $(AHL)$ tại $N$ khác $L$. $HM$ cắt $AC$ tại $E$ và $HN$ cắt $AB$ tại $F$. Đường thẳng $EF$ cắt $BC$ tại $D$.

a) Chứng minh rằng tam giác $ABN$ đồng dạng với tam giác $CAM$.

b) Chứng minh rằng đường thẳng $HD$ vuông góc với đường thẳng $OA$.

 

Bài 4. (5 điểm)

An và Bình cùng chơi trò chơi với ba đống sỏi, mỗi đống có một số viên sỏi, Mục tiêu của hai người chơi là chiếm lấy viên sỏi cuối cùng và giành chiến thắng. Hai người chơi lần lượt, An là người chơi trước. Mỗi lượt chơi, người chơi có quyền chọn ra một đống sỏi bất kỳ và lấy đi một số viên sỏi từ đống đó (lấy ít nhất một viên và có thể lấy hết số sỏi của đống). Hỏi ai là người có chiến thuật để giành chiến thắng nếu:

a) Ba đống sỏi có số viên lần lượt là $1,2,3$ viên.

b) Ba đống sỏi có số viên lần lượt là $2020,2021,2022$ viên.

 

               -----------------------Hết---------------------- 

 

Thầy chủ nhiệm em đi ra đề đó anh  :D



#3 perfectstrong

perfectstrong

    $LOVE(x)|_{x =\alpha}^\Omega=+\infty$

  • Quản trị
  • 4386 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Sở thích:Đàn guitar, ngắm người mình yêu, học toán

Đã gửi 23-09-2021 - 04:39

Bài 4 là trò chơi Nim kinh điển luôn :D https://en.wikipedia.org/wiki/Nim


Luôn yêu để sống, luôn sống để học toán, luôn học toán để yêu!!! :D

$$\text{LOVE}\left( x \right)|_{x = \alpha}^\Omega = + \infty $$




I'm still there everywhere.

#4 pcoVietnam02

pcoVietnam02

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 190 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT chuyên Lê Quý Đôn - Khánh Hòa
  • Sở thích:Thích phương trình hàm và ghéc những thằng đòi học sớm 5p

Đã gửi 23-09-2021 - 11:22

Thầy chủ nhiệm em đi ra đề đó anh  :D

 

Thế làm đc không em? :') 



#5 phuc_90

phuc_90

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 430 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Lỗ đen vũ trụ

Đã gửi 24-09-2021 - 10:05

 

Kỳ thi chọn đội tuyển dự thi học sinh giỏi quốc gia THPT năm học 2021-2022

22/09/2021

Bài 1. (5 điểm) 

Cho $a\geq 2$ và $x_1,x_2$ là hai nghiệm của phương trình $x^2-ax+1=0$. Đặt $S_n=x_1^n+x_2^n,n=1,2,...$

a) Chứng minh dãy $\begin{Bmatrix} \frac{S_n}{S_{n+1}} \end{Bmatrix}_{n+1}^{+\infty}$ là dãy giảm.

b) Tìm tất cả các giá trị $a$ sao cho $\frac{S_1}{S_2}+\frac{S_2}{S_3}+...+\frac{S_n}{S_{n+1}}>n-1$. với mọi $n=1,2,...$

 

 

Do $x_1,x_2$ là 2 nghiệm của phương trình $x^2-ax+1=0$  nên $x_1+x_2=a$ và $x_1x_2=1$

 

Khi đó $S_{n+2}=x_1^{n+2}+x_2^{n+2}=(x_1+x_2)(x_1^{n+1}+x_2^{n+1})-x_1x_2(x_1^{n}+x_2^{n})=aS_{n+1}-S_n$

 

Ta có $S_2=x_1^2+x_2^2=a^2-2 \geq a=x_1+x_2=S_1$  giả sử $S_{n+1}\geq S_n\,\,,\,\, \forall n\leq k$

 

Suy ra $S_{k+2}=aS_{k+1}-S_k\geq aS_{k+1}-S_{k+1}=(a-1)S_{k+1}\geq S_{k+1}$

 

Theo nguyên lý qui nạp ta chứng minh được $S_{n+1}\geq S_n\,\,,\,\,\forall n\geq 1$

 

a)   Ta có $S^2_{n+1}-S_nS_{n+2}=(x_1^{n+1}+x_2^{n+1})^2-(x_1^{n}+x_2^{n})(x_1^{n+2}+x_2^{n+2})=2-(x_1^{2}+x_2^{2})=4-a^2\leq 0$

 

nên $\frac{S_{n+1}}{S_{n+2}} \leq \frac{S_n}{S_{n+1}}$  mà điều này đúng với mọi $n\geq 1$

 

Suy ra $\begin{Bmatrix} \frac{S_n}{S_{n+1}} \end{Bmatrix}_{n=1}^{+\infty}$  là dãy giảm

 

b)   Do $S_{n+1}\geq S_n\,\,,\,\,\forall n\geq 1$  nên $0<\frac{S_n}{S_{n+1}}\leq 1\,\,,\,\, \forall n\geq 1$

 

Ta có $S_{n+2}=aS_{n+1}-S_n$      suy ra       $\frac{S_{n+1}}{S_{n+2}}=\frac{1}{a-\frac{S_n}{S_{n+1}}}$

 

Mà dãy   $\begin{Bmatrix} \frac{S_n}{S_{n+1}} \end{Bmatrix}_{n=1}^{+\infty}$        là dãy giảm và bị chặn dưới nên hội tụ, đặt $\lim_{n \to \infty }\frac{S_n}{S_{n+1}}=b$  suy ra $0\leq b\leq 1$

 

Phương trình giới hạn $b=\frac{1}{a-b}$  có nghiệm $b=\frac{a-\sqrt{a^2-4}}{2}$ là thỏa điều kiện

 

Khi đó $\frac{S_1}{S_2}+\frac{S_2}{S_3}+...+\frac{S_n}{S_{n+1}}>nb=\frac{n(a-\sqrt{a^2-4})}{2}$

 

Do đó ta chỉ cần tìm $a$ sao cho $\frac{n(a-\sqrt{a^2-4})}{2}\geq n-1\,\,,\,\, \forall n\geq 1$

 

hay  $(2-a+\sqrt{a^2-4})n<2\,\,,\,\, \forall n\geq 1$

 

điều này chỉ xảy ra khi      $2-a+\sqrt{a^2-4}\leq 0$  hay $a=2$



#6 supermember

supermember

    Đại úy

  • Hiệp sỹ
  • 1560 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:ĐH Ngoại Thương tp Hồ Chí Minh
  • Sở thích:bên em

Đã gửi 25-09-2021 - 17:32

 

Bài 2. (5 điểm) 

Cho đa thức $P(x)$ có các hệ số nguyên, giả sử các phương trình $P(x)=1, P(x)=2$ và $P(x)=3$ theo thứ tự mỗi phương trình có ít nhất một nghiệm nguyên theo lần lượt $x_1,x_2,x_3$.

a) Chứng minh rằng: $x_1,x_2,x_3$ là các nghiệm nguyên duy nhất của các phương trình trên.

b) Chứng minh rằng: phương trình $P(x)=5$ không có hơn một nghiệm nguyên. 

 

 

Hi vọng là giải đúng: :D  :D  :D 

Câu a: Ta cần dùng đến tính chất cơ bản của đa thức hệ số nguyên: với $x;y$ là những số nguyên phân biệt thì ta có: $ x-y | P(x)-P(y)$

Sử dụng tính chất này, kèm theo chú ý: hiển nhiên $ x_1 ;\  x_2 ; \  x_3$ phải là những số nguyên đôi một phân biệt, ta có:

 

$ \begin{cases} x_2 - x_1 | P(x_2)- P(x_1) \\ x_3 -  x_2 | P(x_3) - P(x_2) \end{cases}  \Rightarrow \begin{cases} x_2 - x_1 | 1 \\ x_3 -  x_2 | 1 \end{cases}  $

 

$ \Rightarrow  x_2- x_1 ; x_3 - x_2 \in \{ \pm 1 \}$

 

Trường hợp 1:  $x_2 - x_1 =1$  thì ta phải có $ x_3 - x_2 = 1$ vì nếu $ x_3 - x_2 =  -1$ thì suy ra : $ (x_2 - x_1) + (x_3 - x_2 ) = 0 \Rightarrow x_3 = x_1 $

Điều này vô lý.

 

Trường hợp 2:  $x_2 - x_1 = -1$ thì  bằng chứng minh tương tự, ta phải có: $ x_3 - x_2 =  -1$ 

 

Tức là $x_1; \  x_2; \  x_3$ tạo thành cấp số cộng công sai  $1$ hoặc $-1$.

 

Trước tiên, ta đi chứng minh rằng giá trị $x_1$ nếu có tồn tại, thì là duy nhất:

 

Thật vậy, Giả sử ngoài $x_1$ thì phương trình $ P(x)=1$ còn có thêm nghiệm nguyên $ x_1^{'}$

 

* Nếu $ x_2 - x_1 = 1$ thì $ x_2 - x_1^{'} = -1$, mà $ x_3 - x_2 =1$, suy ra $ (x_3 - x_2) +  (x_2 - x_1^{'}) = 0 \Rightarrow  x_3 = x_1^{'}$ (Vô lý)

* Nếu  $x_2 - x_1 = -1$ thì $ x_2 - x_1^{'} = 1$, mà $ x_3 - x_2 =-1$, suy ra $ (x_3 - x_2) +  (x_2 - x_1^{'}) = 0 \Rightarrow  x_3 = x_1^{'}$ (Vô lý)

 

Nên giá trị $x_1$ nếu tồn tại theo giải thiết bài toán, thì là duy nhất.

 

Để chứng minh khẳng định bài toán, ta chỉ cần chứng minh: 

 

Không thể xảy ra trường hợp $2$ bộ số $ (x_1; x_1+1; x_1 +2); (x_1; x_1 - 1; x_1 -2)$ đều lần lượt là nghiệm của $3$ phương trình: $P(x)=1; \ P(x) =2 ; \ P(x) =3$

 

Nhưng may mắn là chứng minh điều này không khó vì nếu giả sử xảy ra trường hợp này thì ta có:

 

$ ( x_1+2) - (x_1 -1) | P( x_1+2) - P(x_1 -1) \Rightarrow  3| 3-2 \Rightarrow  3| 1$ (Vô lý)

 

Do đó, khẳng định bài toán được chứng minh hoàn toàn. Tức là $3$ phương trình: $P(x)=1; \ P(x) =2 ; \ P(x) =3$ chỉ có $1$ bộ nghiệm duy nhất $(x_1; x_2;x_3)$ có dạng $ (x_1; x_1+1; x_1 +2)$ hoặc $ (x_1; x_1 - 1; x_1 -2)$

 

Câu b: Ý tưởng cũng là hoàn toàn tương tự, ta giả sử $x_4$ là nghiệm nguyên của phương trình $ P(x)=5$

 

ta có $ \begin{cases} x_4 - x_3 |  2  \\ x_4 -  x_2 | 3 & (\bigstar)  \end{cases} $

 

Dễ thấy không thể xảy ra trường hợp: $ x_4 - x_3 = \pm 1$

 

Thật vậy, nếu $ x_4 -x_3 = -1 $ thì dễ thấy là không thể xảy ra trường hợp $ x_3 - x_2 =1$ vì nếu như vậy thì: $ (x_4 -x_3) +  (x_3 - x_2) =0 \Rightarrow x_4 = x_2$ (Vô lý). Còn nếu $  x_3 - x_2 = -1$ suy ra $x_4 - x_2 = -2$, nên theo $ (\bigstar) $ thì $ -2 |3$ (vô lý)

 

Ta chứng minh hoàn toàn tương tự để có: không thể xảy ra trường hợp: $ x_4 -x_3 =  1 $

 

Do đó, chỉ có thể xảy ra trường hợp: $ x_4 - x_3 = \pm 2$

 

Đến đây thì gần xong rồi, ta giả sử ngoài nghiệm nguyên $x_4$ thì phương trình $P(x) =5$ còn có thêm nghiệm nguyên $ x_4^{'}$

 

* Nếu $ x_4 - x_3 = 2$ thì suy ra $ x_4^{'} - x_3 = -2$

 

Trường hợp $ x_3 - x_1 = 2 $ thì : $ ( x_4^{'} - x_3 ) + (x_3 - x_1) = 0 \Rightarrow x_4^{'} = x_1$ (Vô lý)

Trường hợp $  x_3 - x_1 = -2 $ thì : $ ( x_4 - x_3 ) + (x_3 - x_1) = 0 \Rightarrow x_4= x_1$ (Vô lý)

 

Nên không thể xảy ra trường hợp này .

 

* Nếu $ x_4 - x_3 = - 2$ thì suy ra $ x_4^{'} - x_3 = 2$

 

Chứng minh tương tự, ta cũng chỉ ra được không thể xảy ra trường hợp này.

 

Mâu thuẫn này chứng tỏ điều giả sử ban đầu về sự tồn tại của $x_4^{'}$ là sai, và giá trị $x_4$ ( nếu có tồn tại)  thì sẽ là duy nhất.

Khẳng định bài toán theo đó được chứng minh hoàn toàn.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi supermember: 25-09-2021 - 18:51

Khi bạn là người yêu Toán, hãy chấp nhận rằng bạn sẽ buồn nhiều hơn vui :)

#7 nguen thai an

nguen thai an

    Lính mới

  • Thành viên mới
  • 4 Bài viết

Đã gửi 25-09-2021 - 22:41

Dạ các anh/chị cho em xin cách giải câu b) bài hình với ạ



#8 Hoang72

Hoang72

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 195 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Hà Tĩnh
  • Sở thích:$\boxed{518}$

Đã gửi 26-09-2021 - 09:00

Bài 3. (5 điểm) 

Cho tam giác $ABC$ nhọn, trực tâm $H$, tâm ngoại tiếp $O$. Các điểm $K,L$ lần lượt đối xứng với $O$ qua $AC,AB$. Đường thẳng $CK$ cắt đường tròn $(AHK)$ tại $M$ khác $K$. Đường thẳng $BL$ cắt đường tròn $(AHL)$ tại $N$ khác $L$. $HM$ cắt $AC$ tại $E$ và $HN$ cắt $AB$ tại $F$. Đường thẳng $EF$ cắt $BC$ tại $D$.

a) Chứng minh rằng tam giác $ABN$ đồng dạng với tam giác $CAM$.

b) Chứng minh rằng đường thẳng $HD$ vuông góc với đường thẳng $OA$.

Giả sử AC $\geq$ AB.

a) $\angle BAN=\angle NAH-\angle BAH-\angle BLH-\angle BAH=\angle BAH=\angle OAC=\angle MCA$. Tương tự, $\angle CAM=\angle ABN$.

Suy ra $\Delta ABN\sim\Delta CAM(g.g)$.

b) Nhận thấy AB là phân giác của góc $NAH$ (câu a) nên $\frac{HA}{HF}=\frac{NA}{NF}$.

Lại có $LA=LH$ nên NB là phân giác ngoài của $\angle HNA$, suy ra $\frac{NA}{NF}=\frac{BA}{BF}$.

Từ đó $\frac{HA}{HF}=\frac{BA}{BF}$.

Suy ra HB là phân giác ngoài góc AHF.

Tương tự $\frac{HA}{HE}=\frac{CA}{CE}$ nên HC là phân giác ngoài góc AHE.

Áp dụng định lý Menelaus cho tam giác AEF với cát tuyến E, F, D có $\frac{DE}{DF}=\frac{CE}{AC}.\frac{AB}{BF}=\frac{HE}{HF}$.

Do đó HD là phân giác ngoài của $\angle EHF$.

HD cắt AO tại X.

Khi đó $\angle AHD=\angle DHF+\angle AHF=\frac{180^o-\angle EHF}{2}+\angle AHF=\frac{180^o-\angle AHE+\angle AHF}{2}=\frac{180^o-2\angle AHC+2\angle AHB}{2}=90^o+\angle ABC-\angle ACB=90^o+\angle HAO$

Vậy $HD\perp AO$.







Được gắn nhãn với một hoặc nhiều trong số những từ khóa sau: tst, olympiad, vmo, 2021

0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh