Đến nội dung


Hình ảnh
* * * * * 2 Bình chọn

Lý thuyết tập hợp


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 1 trả lời

#1 Nxb

Nxb

    Thiếu úy

  • ĐHV Toán học Hiện đại
  • 582 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 23-09-2021 - 01:45

QUAN HỆ

Định nghĩa. Cho $X$ là một tập hợp. Một quan hệ hai ngôi trên $X$ là một tập con $R\subseteq X\times X$. Ta ký hiệu sự kiện $(x,y)\in R$ bởi $xRy.$  

 

ÁNH XẠ

Định nghĩa.

(i) Một ánh xạ $f$ từ tập $X$ sang tập $Y$ là một tập con $f\subseteq X\times Y$ thoả mãn với mọi $x\in X,$ tồn tại duy     nhất $y\in Y$ sao cho $(x,y)\in f$. Ta cũng ký hiệu phần tử $y$ này là $f(x).$ 

(ii) Ký hiệu $Hom(X,Y)$ cho tập tất cả các ánh xạ từ $X$ sang $Y$.

 

Định nghĩa. Cho $f:X\to Y$ là một ánh xạ.

(i) Ánh xạ $f$ được gọi là đơn ánh nếu với mọi $x,y \in X$ $f(x)=f(y)$ thì $x=y$.

(ii) Cho $E\subseteq X$. Ảnh của $E$ qua ánh xạ $f$, ký hiệu bởi $f(E)$ là tập tất cả các phần tử $f(x)$ với $x\in E.$ Nếu $E=X,$ ta có thể dùng cách nói ảnh của ánh xạ $f.$

(iii) Nếu ảnh của $f$ bằng toàn bộ $Y$ thì ta nói ánh xạ $f$ là toàn ánh. 

(iv) Một ánh xạ là đơn ánh đồng thời toàn ánh thì được gọi là song ánh.

 

Định nghĩa. Một phép toán hai ngôi trên $X$ là một ánh xạ $X\times X\to X.$  

 

Ví dụ. Ta định nghĩa các phép toán hai ngôi $m$ và $+$ trên $\mathbb{R}\times \mathbb{R}$ như sau:

$$m((a,b),(c,d))=(ac-bd,ad+bc).$$ 

$$+((a,b),(c,d))=(a+c,b+d).$$Ta ký hiệu $+((a,b),(c,d))=(a,b)+(c,d).$

Ta cũng định nghĩa các phép nhân vô hướng:

$$.:\mathbb{R}\times (\mathbb{R}\times \mathbb{R})\to \mathbb{R}\times \mathbb{R},\ (x,(a,b))\mapsto (xa,xb).$$Ký hiệu $.(x,(a,b))=x(a,b).$

Đặt $i=(0,1),$ như vậy mọi $(a,b)\in \mathbb{R}\times \mathbb{R}$ thoả mãn $(a,b)=a(1,0)+ib$ và $i^2=m(i,i)=-1.$ Như vậy, $\mathbb{R}\times \mathbb{R}$ với các cấu trúc trên tạo thành tập số phức.

 

QUAN HỆ TƯƠNG ĐƯƠNG

Định nghĩa. Một quan hệ tương đương trên tập $X$ là một quan hệ trên $X$ thoả mãn ba tính chất sau:

(1) Phản xạ: Với mọi $x\in X$, ta có $xRx$;

(2) Đối xứng: Với mọi $x,y\in X$, nếu $xRy$ thì $yRx$;

(3) Bắc cầu: Với mọi $x,y\in X$, nếu $xRy$ và $yRz$ thì $xRz$.

Người ta hay ký hiệu quan hệ tương đương bởi $\sim.$

 

Định nghĩa. Nếu $\sim$ là một quan hệ tương đương trên $X$ thì ta có thể định nghĩa tập các lớp tương đương $X/\sim$ như sau. Với mỗi $x\in X,$ một lớp tương đương chứa $x$, ký hiệu bởi $[x]$ là tập hợp tất cả $y\in X$ thoả mãn $y\sim x.$ Từ đó, ta đặt

$$X/\sim=\{[x]\mid x\in X\}.$$ 

 

Ta có thể chứng minh được hai tính chất sau:

(1) $[x]\cap[y]\neq \emptyset$ nếu và chỉ nếu $x\sim y$; 

(2) $x\in [x].$

Do đó, ta có $X=\bigcup_{[x]\in X/\sim} [x].$ Nói cách khác, $X$ được phân hoạch thành họp rời của các lớp tương đương thoả mãn $x, y$ thuộc cùng một lớp tương đương nếu và chỉ nếu $x\sim y.$

 

Ta đưa ra một số ứng dụng của quan hệ tương đương:

 

(i) Xây dựng tập các số hữu tỉ $\mathbb{Q}$.

Ta định nghĩa một quan hệ $R$ trên $\mathbb{Z}\times (\mathbb{Z}-\{0\})$ như sau:

$$(a,b)\sim(c,d) \text{ nếu và chỉ nếu } ad-bc=0.$$

Từ đó, ta định nghĩa $\mathbb{Q}=(\mathbb{Z}\times(\mathbb{Z}-\{0\}))/\sim.$

 

(ii) Xây dựng tập số thực $\mathbb{R}$.

Một dãy các số hữu tỷ $(x_n)$ với $x_n\in \mathbb{Q}$ được gọi là dãy Cauchy nếu với mọi số hữu tỷ $\epsilon>0,$ tồn tại $N$ sao cho nếu $n, m>N$ thì $|x_n-x_m|<\epsilon.$ Ký hiệu $C$ là tập hợp các dãy Cauchy. Định nghĩa một quan hệ tương đương trên $C$ như sau:

$$(x_n)\sim (y_n) \text{ nếu và chỉ nếu với mọi số hửu tỷ }\epsilon>0,\text{ tồn tại }N \text{ sao cho với mọi }n>N, |x_n-y_n|<\epsilon.$$ 

Từ đó, ta định nghĩa $\mathbb{R}=C/\sim.$ Chẳng hạn số vô tỷ $0.123\dots=[(0,0.1,0.12,0.123,\dots)].$ Hoặc $0.(9)=1$ vì dãy $(1-0,1-0.9,1-0.99,1-0.999,\dots)=(1,0.1,0.01,\dots)=(1/10^n\dots)_n$ nên với mọi $\epsilon>0,$ và với mọi $n>N$ với $N$ được chọn sao $10^N>1/\epsilon,$ ta có $1/10^n<\epsilon.$

 

(iii) Tập các lớp thặng dư mod $N$.

Trên tập số nguyên $\mathbb{Z},$ định nghĩa quan hệ tương đương như sau:

$$a\sim b \text{ nếu và chỉ nếu }N|a-b.$$

Từ đó, định nghĩa $\mathbb{Z}/n=\mathbb{Z}/\sim.$ Ta ký hiệu $[k]$ trong $\mathbb{Z}/n$ bởi $\overline{k}.$ Như vậy $\mathbb{Z}/n$ bao gồm $n$ phần tử $\overline{0},\dots,\overline{n-1}.$

 

Theo tinh thần của $(ii),$ ta có thể xây dựng tập các số $p$-adic với mỗi số nguyên tố $p$, các số đóng vai trò quan trọng trong lý thuyết số (xem bài này https://diendantoanh...hữu-tỉ-lại-khó/

 

(iv) Các số hữu tỷ $p$-adic.

Cho $p$ là một số nguyên tố. Với mọi $x\in \mathbb{Q}-\{0\}$ ta có thể viết lại:

$$x=p^{n} \frac{a}{b},$$thoả mãn $a, b$ không có ước nguyên tố $p.$ Số nguyên $n$ được gọi là định giạ $p$-adic của $x,$ ký hiệu bởi $v_p(x).$ Một dãy Cauchy theo khoảng cách p-adic là một dãy các số hữu tỷ $(x_n)$ thoả mãn với mọi số nguyên dương $E,$ tồn tại $N$ sao cho với mọi $n>N,$ $v_p(x_n)>E.$ Ký hiệu $C$ cho tập tất cả các dãy Cauchy theo khoảng cách $p$-adic. Định nghĩa một quan hệ tương đương trên $C$ như sau:

$$(x_n)\sim (y_n) \text{ nếu và chỉ nếu với mọi số nguyên dương }E,\text{ tồn tại }N \text{ sao cho với mọi }n>N, v_p(x_n-y_n)>E$$ 

Từ đó, ta định nghĩa $\mathbb{Q}_p=C/\sim.$ Chẳng hạn với $p=2$, $(1,1+2,1+2^2,1+2^2+2^3,\dots)$ là một số $2$-adic.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Nxb: 29-09-2021 - 15:12


#2 Nxb

Nxb

    Thiếu úy

  • ĐHV Toán học Hiện đại
  • 582 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 28-09-2021 - 16:08

BÀI TẬP

Quan hệ tương đương

1. Chứng minh chi tiết các quan hệ trong xây dựng $\mathbb{Q}, \mathbb{R}, \mathbb{Z}/n$ là quan hệ tương đương.

2. Cho $X$ là một tập hợp với quan hệ tương đương $\sim.$ Chứng minh rằng:

    (i) Tồn tại một ánh xạ $q: X\to X/\sim$;

    (ii) Chứng minh rằng ánh xạ $f \mapsto f\circ q$ cho ta một đơn ánh $Hom(X/\sim,Y)\to Hom(X,Y)$ với ảnh là tập tất cả ánh xạ $f:X\to Y$ thoả mãn $x\sim y$ thì $f(x)=f(y).$

3. Tìm một quan hệ tương đương $\sim$ trên $\mathbb{R}$ sao cho tồn tại một song ánh $R/\sim\to S^1$, trong đó $S^1$ là đường tròn bán kinh đơn vị có tâm tại gốc toạ độ. 


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Nxb: 29-09-2021 - 15:11





0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh