Đến nội dung

Hình ảnh

$(x_{n+1}-x_n)(x_{n+1}x_n-1)\leq 0$

- - - - -

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 1 trả lời

#1
phuc_90

phuc_90

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 438 Bài viết

Bài toán:   Cho $(x_n)_n$  là dãy các số thực dương sao cho $(x_{n+1}-x_n)(x_{n+1}x_n-1)\leq 0\,\,,\,\, \forall n\geq 1$ và $\lim_{n\to \infty} \frac{x_{n+1}}{x_n}=1$

 

Chứng minh rằng   $(x_n)_n$  là dãy hội tụ

 

Proposed by Mihai



#2
nhungvienkimcuong

nhungvienkimcuong

    Thiếu úy

  • Hiệp sỹ
  • 669 Bài viết

Bài toán:   Cho $(x_n)_n$  là dãy các số thực dương sao cho $(x_{n+1}-x_n)(x_{n+1}x_n-1)\leq 0\,\,,\,\, \forall n\geq 1$ và $\lim_{n\to \infty} \frac{x_{n+1}}{x_n}=1$

 

Chứng minh rằng   $(x_n)_n$  là dãy hội tụ

Bài này giải quyết bằng "điểm tụ". Sau đây là định nghĩa và hai tính chất của điểm tụ để xử lí bài này.

  • Định nghĩa: Ta gọi $a$ là điểm tụ của dãy $(x_n)$ nếu tồn tại một dãy con của $(x_n)$ có giới hạn là $a$.
  • Tính chất 1: Với dãy số bị chặn $(x_n)$ có tính chất $\lim(x_{n+1}-x_n)=0$ thì nếu $a,b\ (a<b)$ là hai điểm tụ của dãy $(x_n)$ thì mọi $c\in (a,b)$ cũng là điểm tụ của dãy.
  • Tính chất 2: Dãy số bị chặn $(x_n)$ có duy nhất $a$ là điểm tụ thì $\lim x_n=a$.

Có thể tham khảo các tính chất và bài toán liên quan tới điểm tụ trong file File gửi kèm  điểm tụ - Nguyễn Song Minh.pdf   225.09K   45 Số lần tải.

 

Quay lại bài toán.

Từ giả thiết ta có $x_{n+1}+\frac{1}{x_{n+1}}\le x_n+\frac{1}{x_n}$ với mọi $n$. Khi đó dễ thấy với $y_n:=x_n+\frac{1}{x_n}$ thì dãy $(y_n)$ có giới hạn là số thực $L$ theo định lí Weierstrass.

Nếu $(x_n)$ không bị chặn trên thì sẽ tồn tại dãy con $(x_{n_k})$ sao cho $\lim x_{n_k}=\infty$, điều này mâu thuẫn vì

$$L=\lim y_{n_k}=\lim \left(x_{n_k}+\frac{1}{x_{n_k}}\right)\ge \lim x_{n_k}=\infty.$$

Vậy dãy $(x_n)$ bị chặn trên, giả sử $x_n\le M$ với mọi $n$.

$\bullet$ Chứng minh $\lim (x_{n+1}-x_n)=0$.

$\bullet$ Chứng minh dãy $(x_n)$ hội tụ.


Đừng khóc vì chuyện đã kết thúc hãy cười vì chuyện đã xảy ra ~O) 
Thật kì lạ anh không thể nhớ đến tên mình mà chỉ nhớ đến tên em :wub:
Chúa tạo ra vũ trụ của con người còn em tạo ra vũ trụ của anh :ukliam2:





2 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 2 khách, 0 thành viên ẩn danh