Bài toán: Cho $(x_n)_n$ là dãy các số thực dương sao cho $(x_{n+1}-x_n)(x_{n+1}x_n-1)\leq 0\,\,,\,\, \forall n\geq 1$ và $\lim_{n\to \infty} \frac{x_{n+1}}{x_n}=1$
Chứng minh rằng $(x_n)_n$ là dãy hội tụ
Proposed by Mihai
Bài toán: Cho $(x_n)_n$ là dãy các số thực dương sao cho $(x_{n+1}-x_n)(x_{n+1}x_n-1)\leq 0\,\,,\,\, \forall n\geq 1$ và $\lim_{n\to \infty} \frac{x_{n+1}}{x_n}=1$
Chứng minh rằng $(x_n)_n$ là dãy hội tụ
Proposed by Mihai
Bài toán: Cho $(x_n)_n$ là dãy các số thực dương sao cho $(x_{n+1}-x_n)(x_{n+1}x_n-1)\leq 0\,\,,\,\, \forall n\geq 1$ và $\lim_{n\to \infty} \frac{x_{n+1}}{x_n}=1$
Chứng minh rằng $(x_n)_n$ là dãy hội tụ
Bài này giải quyết bằng "điểm tụ". Sau đây là định nghĩa và hai tính chất của điểm tụ để xử lí bài này.
Có thể tham khảo các tính chất và bài toán liên quan tới điểm tụ trong file điểm tụ - Nguyễn Song Minh.pdf 225.09K 45 Số lần tải.
Quay lại bài toán.
Từ giả thiết ta có $x_{n+1}+\frac{1}{x_{n+1}}\le x_n+\frac{1}{x_n}$ với mọi $n$. Khi đó dễ thấy với $y_n:=x_n+\frac{1}{x_n}$ thì dãy $(y_n)$ có giới hạn là số thực $L$ theo định lí Weierstrass.
Nếu $(x_n)$ không bị chặn trên thì sẽ tồn tại dãy con $(x_{n_k})$ sao cho $\lim x_{n_k}=\infty$, điều này mâu thuẫn vì
$$L=\lim y_{n_k}=\lim \left(x_{n_k}+\frac{1}{x_{n_k}}\right)\ge \lim x_{n_k}=\infty.$$
Vậy dãy $(x_n)$ bị chặn trên, giả sử $x_n\le M$ với mọi $n$.
$\bullet$ Chứng minh $\lim (x_{n+1}-x_n)=0$.
$\bullet$ Chứng minh dãy $(x_n)$ hội tụ.
Đừng khóc vì chuyện đã kết thúc hãy cười vì chuyện đã xảy ra
Thật kì lạ anh không thể nhớ đến tên mình mà chỉ nhớ đến tên em
Chúa tạo ra vũ trụ của con người còn em tạo ra vũ trụ của anh
0 thành viên, 2 khách, 0 thành viên ẩn danh