Tìm tất cả hàm số $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ thỏa mãn:
$f(x)=max_{y\in \mathbb{R}}\left \{ xy-f(y) \right \}\forall x\in \mathbb{R}$
Tìm tất cả hàm số $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ thỏa mãn:
$f(x)=max_{y\in \mathbb{R}}\left \{ xy-f(y) \right \}\forall x\in \mathbb{R}$
Với mỗi $x\in \mathbb(R)$, hàm số $g(y)=xy-f(y)$ đạt giá trị lớn nhất trên $\mathbb(R)$, nên tồn tại $y_0\in \mathbb(R)$ sao cho $Max g(y)=g(y_0)=xy_0-f(y_0)$.
Suy ra $f(x)=xy_0-f(y_0)$ hay $ f(x)=ax+b$ với $a, b$ là các hằng số cho trước.
Và thay trở lại hàm $g(y)$ ta có: $g(y)=xy-ay-b=y(x-a)-b$, thay x bởi a+1 thì ta có $g(y)=y-b$, hiển nhiên hàm số này không có giá trị
lớn nhất trên $R$.
Do vậy không tồn tại hàm số thỏa mãn yêu cầu bài toán. (bạn xem giúp không biết có đúng không).
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hanguyen445: 02-10-2021 - 10:04
Đề thi chọn đội tuyển HSG:
http://diendantoanho...date-2016-2017/
Topic thảo luận bài toán thầy Hùng:
http://diendantoanho...topicfilter=all
Blog Thầy Trần Quang Hùng
http://analgeomatica.blogspot.com/
Hình học: Nguyễn Văn Linh
https://nguyenvanlin...ss.com/2016/09/
Toán học tuổi trẻ:
http://www.luyenthit...chi-thtt-online
Mathlink:http://artofproblemsolving.com
BẤT ĐẲNG THỨC:
http://diendantoanho...-đẳng-thức-vmf/
http://diendantoanho...i-toán-quốc-tế/
Với mỗi $x\in \mathbb(R)$, hàm số $g(y)=xy-f(y)$ đạt giá trị lớn nhất trên $\mathbb(R)$, nên tồn tại $y_0\in \mathbb(R)$ sao cho $Max g(y)=g(y_0)=xy_0-f(y_0)$.
Suy ra $f(x)=xy_0-f(y_0)$ hay $ f(x)=ax+b$ với $a, b$ là các hằng số cho trước.
Và thay trở lại hàm $g(y)$ ta có: $g(y)=xy-ay-b=y(x-a)-b$, thay x bởi a+1 thì ta có $g(y)=y-b$, hiển nhiên hàm số này không có giá trị
lớn nhất trên $R$.
Do vậy không tồn tại hàm số thỏa mãn yêu cầu bài toán. (bạn xem giúp không biết có đúng không).
Lưu ý rằng $g$ sẽ phụ thuộc vào $x$ (do vậy nên ghi là $g_x$) và do đó $y_0$ cũng phụ thuộc vào $x$ chứ nó không phải là một hằng số, không thể gán nó tùy tiện như vậy được.
Ta có: $f(x)=\max_{y\in \mathbb{R}}(xy-f(y))\geq x^2-f(x)\Rightarrow f(x)\geq \frac{x^2}{2},\forall x\in \mathbb{R}$.
Gọi $y_x$ là giá trị của $y$ để cho $xy-f(y)$ đạt giá trị lớn nhất. Khi đó: $f(x)=xy_x-f(y_x)\Rightarrow xy_x=f(x)+f(y_x)\geq \frac{x^2+y_x^2}{2}\geq xy_x$, điều này xảy ra chỉ khi $f(x)=\frac{x^2}{2}$. Thử lại ta có hàm số này (duy nhất) thỏa mãn.
0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh