Đến nội dung

Hình ảnh

Tìm tất cả hàm số $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$

- - - - - phương trình hàm

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 2 trả lời

#1
thh2

thh2

    Binh nhì

  • Thành viên mới
  • 14 Bài viết

Tìm tất cả hàm số $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ thỏa mãn:

$f(x)=max_{y\in \mathbb{R}}\left \{ xy-f(y) \right \}\forall x\in \mathbb{R}$



#2
hanguyen445

hanguyen445

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 240 Bài viết

Tìm tất cả hàm số $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ thỏa mãn:

$f(x)=max_{y\in \mathbb{R}}\left \{ xy-f(y) \right \}\forall x\in \mathbb{R}$

Với mỗi $x\in \mathbb(R)$, hàm số $g(y)=xy-f(y)$ đạt giá trị lớn nhất trên $\mathbb(R)$, nên tồn tại $y_0\in \mathbb(R)$ sao cho $Max g(y)=g(y_0)=xy_0-f(y_0)$.

Suy ra $f(x)=xy_0-f(y_0)$ hay $ f(x)=ax+b$ với $a, b$ là các hằng số cho trước.

Và thay trở lại hàm $g(y)$ ta có: $g(y)=xy-ay-b=y(x-a)-b$, thay x bởi a+1 thì ta có $g(y)=y-b$, hiển nhiên hàm số này không có giá trị

lớn nhất trên $R$.

Do vậy không tồn tại hàm số thỏa mãn yêu cầu bài toán. (bạn xem giúp không biết có đúng không).


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hanguyen445: 02-10-2021 - 10:04

Đề thi chọn đội tuyển  HSG:

http://diendantoanho...date-2016-2017/

Topic thảo luận bài toán thầy Hùng:

http://diendantoanho...topicfilter=all

Blog Thầy Trần Quang Hùng

http://analgeomatica.blogspot.com/

Hình học: Nguyễn Văn Linh

https://nguyenvanlin...ss.com/2016/09/

Toán học tuổi trẻ:

http://www.luyenthit...chi-thtt-online

Mathlink:http://artofproblemsolving.com

BẤT ĐẲNG THỨC:

http://diendantoanho...-đẳng-thức-vmf/

http://diendantoanho...i-toán-quốc-tế/

 


#3
poset

poset

    Trung sĩ

  • ĐHV Toán Cao cấp
  • 125 Bài viết

Với mỗi $x\in \mathbb(R)$, hàm số $g(y)=xy-f(y)$ đạt giá trị lớn nhất trên $\mathbb(R)$, nên tồn tại $y_0\in \mathbb(R)$ sao cho $Max g(y)=g(y_0)=xy_0-f(y_0)$.

Suy ra $f(x)=xy_0-f(y_0)$ hay $ f(x)=ax+b$ với $a, b$ là các hằng số cho trước.

Và thay trở lại hàm $g(y)$ ta có: $g(y)=xy-ay-b=y(x-a)-b$, thay x bởi a+1 thì ta có $g(y)=y-b$, hiển nhiên hàm số này không có giá trị

lớn nhất trên $R$.

Do vậy không tồn tại hàm số thỏa mãn yêu cầu bài toán. (bạn xem giúp không biết có đúng không).

Lưu ý rằng $g$ sẽ phụ thuộc vào $x$ (do vậy nên ghi là $g_x$) và do đó $y_0$ cũng phụ thuộc vào $x$ chứ nó không phải là một hằng số, không thể gán nó tùy tiện như vậy được.
Ta có: $f(x)=\max_{y\in \mathbb{R}}(xy-f(y))\geq x^2-f(x)\Rightarrow f(x)\geq \frac{x^2}{2},\forall x\in \mathbb{R}$.
Gọi $y_x$ là giá trị của $y$ để cho $xy-f(y)$ đạt giá trị lớn nhất. Khi đó: $f(x)=xy_x-f(y_x)\Rightarrow xy_x=f(x)+f(y_x)\geq \frac{x^2+y_x^2}{2}\geq xy_x$, điều này xảy ra chỉ khi $f(x)=\frac{x^2}{2}$. Thử lại ta có hàm số này (duy nhất) thỏa mãn.






0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh