Đến nội dung

Hình ảnh

Bản chất của đạo hàm

* * * - - 5 Bình chọn derivative calculus đạo-hàm

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 12 trả lời

#1
Hoang Huynh

Hoang Huynh

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 64 Bài viết

**Lưu ý rằng đây là bài đạo hàm mở đầu, bạn nào đã hiểu bản chất; xin bỏ qua.

 

Tôi xin diễn giải nghịch lý mũi tên của Zeno:" Độ lớn vận tốc của một mũi tên là quãng đường đi được trong một khoảng thời gian tương ứng; nhưng khi ta xét thời gian tại một thời điểm thì độ biến thiên thời gian bằng 0, độ biến thiên quãng đường cũng bằng 0, suy ra tốc độ bằng $\frac{0}{0}$. Kết luận rằng mọi chuyển động chỉ là ảo giác.".

Phát biểu đầy đủ của Zeno còn bao hàm không gian, thời gian,v.v.. nhưng ở đây, ta chỉ bác bỏ quan điểm về "độ lớn vận tốc" cuả Zeno bằng lý thuyết đạo hàm.

 

Cho hàm đường thẳng $y = ax + b$; 

${x_1} = p \Rightarrow {y_1} = pa + b;$

${x_2} = p + n \Rightarrow {y_2} = pa + na + b;$

$ \Rightarrow \frac{{\Delta y}}{{\Delta x}} = a.$

Vậy y thay đổi giá trị nhanh hay chậm phụ thuộc vào hệ số góc a, từ nay gọi là "độ dốc".

 

$\to$ Tiến hành khảo sát độ dốc, tức là "tốc độ biến thiên" của các hàm có đồ thị là các đường cong.

Khảo sát độ dốc tại điểm $(x;f(x))$ .Cho điểm$(x + h;f(x + h))$; độ dốc của đường các tuyến qua hai điểm trên là độ dốc trung bình qua hai điểm. Khi $h$ $\to$ 0, điểm $(x + h;f(x + h))$ $ \to $ $(x;f(x))$ nên cát tuyến (đường cắt đường cong qua hai điểm) tiến tới gần đường tiếp tuyến (chỉ chạm đường cong tại $(x;f(x))$ ) .Đường tiếp tuyến không cắt hai điểm của đường cong nên độ dốc của đường không phải độ dốc trung bình mà chính là độ dốc tức thời tại $(x;f(x))$. ($\alpha$)

 

2021-09-27_180723.png

 

đỏ: đường cong của đồ thị hàm $f(x)$

xanh: đường cát tuyến

tím: một đường tiếp tuyến

 

Độ dốc đường cát tuyến ${a_c} = \frac{{f(x + h) - f(x)}}{h}$          ($\beta$)

Đặt $f'(x)$ là độ dốc của $f(x)$ tại $x$;

${\because (\alpha ) \wedge (\beta )\therefore f'(x) = \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{{f(x + h) - f(x)}}{h}.}$

 

$\to$ Đặt đường tiếp tuyến tại ${x_0}$ thuộc đồ thị hàm $f(x)$ :$(d): y = f'({x_0}).x + b$

(d) qua $(x;f(x))$ nên $(d): y= f'({x_0})(x - {x_0}) + f({x_0})$ (dễ dàng chứng minh).

 

Quay trở lại nghịch lý mũi tên, cho $f(x)$ là hàm quãng đường theo thời gian x, thì $f'(x)$ là "tốc độ biến thiên quãng đường tức thời", nếu thế $h=0$ thì giới hạn trên có dạng $\frac{0}{{0}}$ như ý tưởng Zeno.

 

(Định nghĩa đạo hàm: "tốc độ biến thiên", "độ dốc", "hệ số góc của đường tiếp tuyến".)


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Hoang Huynh: 28-09-2021 - 07:31


#2
perfectstrong

perfectstrong

    $LOVE(x)|_{x =\alpha}^\Omega=+\infty$

  • Quản lý Toán Ứng dụng
  • 4991 Bài viết
Quay trở lại nghịch lý mũi tên, cho $f(x)$ là hàm quãng đường theo thời gian x, thì $f'(x)$ là "tốc độ biến thiên quãng đường theo thời gian", nếu thế $h=0$ thì $f'(x)=\frac{0}{0}$ như Zeno.

 

Giải thích một hồi rồi lại viết câu này ra. Sao bạn lại tự mâu thuẫn với 2 dòng trước của bạn thế?


  • PDF yêu thích
Luôn yêu để sống, luôn sống để học toán, luôn học toán để yêu!!! :D
$$\text{LOVE}\left( x \right)|_{x = \alpha}^\Omega = + \infty $$
I'm still there everywhere.

#3
Hoang Huynh

Hoang Huynh

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 64 Bài viết

Giải thích một hồi rồi lại viết câu này ra. Sao bạn lại tự mâu thuẫn với 2 dòng trước của bạn thế?

Thì giới han định nghĩa $f'(x)$ là giới han thuộc dạng $\frac{0}{{0}}$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Hoang Huynh: 28-09-2021 - 07:54


#4
Nxb

Nxb

    Thiếu úy

  • ĐHV Toán học Hiện đại
  • 679 Bài viết

Giải thích một hồi rồi lại viết câu này ra. Sao bạn lại tự mâu thuẫn với 2 dòng trước của bạn thế?

Dạo này diễn đàn thu hút một số người bị tẩu hoả nhập ma, không hiểu là do đâu. Trên stackexchange vẫn áp dụng vote âm hoặc khoá topic. Anh nghĩ nên làm như vậy vì đối tượng của diễn đàn là học sinh, sinh viên, không phải người bị tâm thần. Anh sợ làm vậy sẽ khiến người tâm thần nghĩ rằng họ là người bình thường, giả sử có thêm những người tâm thần khác vào đọc được và tích cực vào viết bài, diễn đàn sẽ chuyển đổi mục đích sử dụng sang thành bệnh viện mất (tất nhiên anh nói hơi quá).


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Nxb: 27-09-2021 - 20:51


#5
perfectstrong

perfectstrong

    $LOVE(x)|_{x =\alpha}^\Omega=+\infty$

  • Quản lý Toán Ứng dụng
  • 4991 Bài viết

Dạo này diễn đàn thu hút một số người bị tẩu hoả nhập ma, không hiểu là do đâu. Trên stackexchange vẫn áp dụng vote âm hoặc khoá topic. Anh nghĩ nên làm như vậy vì đối tượng của diễn đàn là học sinh, sinh viên, không phải người bị tâm thần. Anh sợ làm vậy sẽ khiến người tâm thần nghĩ rằng họ là người bình thường, giả sử có thêm những người tâm thần khác vào đọc được và tích cực vào viết bài, diễn đàn sẽ chuyển đổi mục đích sử dụng sang thành bệnh viện mất (tất nhiên anh nói hơi quá).

Em thì em không muốn quá khắt khe giới hạn những gì mọi người thảo luận.

Nếu có hiện tượng ngoan cố thì em mới mạnh tay :D Còn bình thường thì chúng ta cứ dùng lý lẽ như người văn minh đã.

 

 

Thì giới han định nghĩa $f'(x)$ là giới han thuộc dạng $\frac{0}{{0}}$, chứ em đâu nói $f'(x)=\frac{0}{{0}}$. 

Mình lấy lại y như lời bạn viết, bạn còn cãi cùn kiểu gì vậy :) Mặt khác, tự dưng đâu đâu bạn lấy ví dụ về hàm tuyến tính, trong khi hàm $f(t)$ biểu diễn quãng đường theo thời gian $t$ thì vốn dĩ chả có gì áp đặt cả. Nếu mũi tên bay cùng phương với gia tốc trọng trường $\overrightarrow{g}$ thì $f(t)$ sẽ là hàm bậc 2 (bạn chưa học vật lý cơ học cổ điển chăng?)


Luôn yêu để sống, luôn sống để học toán, luôn học toán để yêu!!! :D
$$\text{LOVE}\left( x \right)|_{x = \alpha}^\Omega = + \infty $$
I'm still there everywhere.

#6
Hoang Huynh

Hoang Huynh

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 64 Bài viết

Lôi cơ học cổ điển vô làm gì. Em liên hệ dạng giới hạn $\frac{0}{{0}}$ với ý tưởng của Zeno, thôi để em sửa bài. (Các sư huynh lần sau có nói cái gì thì nói cho tốt đẹp giúp em, không thì đừng phát biểu nữa, cảm ơn)


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Hoang Huynh: 28-09-2021 - 09:47


#7
perfectstrong

perfectstrong

    $LOVE(x)|_{x =\alpha}^\Omega=+\infty$

  • Quản lý Toán Ứng dụng
  • 4991 Bài viết

Lôi cơ học cổ điển vô làm gì. Em liên hệ dạng giới hạn $\frac{0}{{0}}$ với ý tưởng của Zeno, thôi để em sửa bài. (Các sư huynh lần sau có nói cái gì thì nói cho tốt đẹp giúp em, không thì đừng phát biểu nữa, cảm ơn)

Bạn ăn nói cẩn thận nhé. Đây đều là người làm toán cả, phát biểu phải có cơ sở. Bạn viết sai thì sẽ có người chỉ ra lỗi sai. Nếu bạn không muốn nghe lỗi sai thì tốt nhất đừng viết gì cả.

Còn nếu bạn ngoan cố thì mình sẽ mạnh tay.


Luôn yêu để sống, luôn sống để học toán, luôn học toán để yêu!!! :D
$$\text{LOVE}\left( x \right)|_{x = \alpha}^\Omega = + \infty $$
I'm still there everywhere.

#8
Hoang Huynh

Hoang Huynh

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 64 Bài viết

vì đối tượng của diễn đàn là học sinh, sinh viên, không phải người bị tâm thần. Anh sợ làm vậy sẽ khiến người tâm thần nghĩ rằng họ là người bình thường, giả sử có thêm những người tâm thần khác vào đọc được và tích cực vào viết bài, diễn đàn sẽ chuyển đổi mục đích sử dụng sang thành bệnh viện mất (tất nhiên anh nói hơi quá).


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Hoang Huynh: 28-09-2021 - 14:19


#9
perfectstrong

perfectstrong

    $LOVE(x)|_{x =\alpha}^\Omega=+\infty$

  • Quản lý Toán Ứng dụng
  • 4991 Bài viết

 

vì đối tượng của diễn đàn là học sinh, sinh viên, không phải người bị tâm thần. Anh sợ làm vậy sẽ khiến người tâm thần nghĩ rằng họ là người bình thường, giả sử có thêm những người tâm thần khác vào đọc được và tích cực vào viết bài, diễn đàn sẽ chuyển đổi mục đích sử dụng sang thành bệnh viện mất (tất nhiên anh nói hơi quá).

 

Lời anh Nxb nặng nề thật nhưng mình thấy cần phải để đấy để cảnh tỉnh bạn.

Mình thấy chướng mắt với câu nói của bạn hơn:

 

(Các sư huynh lần sau có nói cái gì thì nói cho tốt đẹp giúp em, không thì đừng phát biểu nữa, cảm ơn)

Bạn chỉ muốn nhận lời đường mật thì nên về nhà đóng cửa mà tự nói tự nghe.

Đấy là chưa kể bài viết của bạn còn ngô nghê và lỏng lẻo. Mình lên tiếng bình luận về nội dung, bạn không hồi đáp mà còn giãy đùng ra giận dỗi hử?


Luôn yêu để sống, luôn sống để học toán, luôn học toán để yêu!!! :D
$$\text{LOVE}\left( x \right)|_{x = \alpha}^\Omega = + \infty $$
I'm still there everywhere.

#10
Hoang Huynh

Hoang Huynh

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 64 Bài viết

Hai bình luận đầu không có gì ồn ào cả, đùng, có một người từ trên trời rơi xuống tự nhận mình là "nói quá".


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Hoang Huynh: 29-09-2021 - 21:55


#11
poset

poset

    Trung sĩ

  • ĐHV Toán Cao cấp
  • 125 Bài viết

Lôi cơ học cổ điển vô làm gì. Em liên hệ dạng giới hạn $\frac{0}{{0}}$ với ý tưởng của Zeno, thôi để em sửa bài. (Các sư huynh lần sau có nói cái gì thì nói cho tốt đẹp giúp em, không thì đừng phát biểu nữa, cảm ơn)

Thực sự đưa ý tưởng của Zeno nó chả đóng góp gì vô bài viết của bạn cả, nó còn làm rối loạn mọi thứ thêm vì bạn đã đưa một thứ mơ hồ vào một thứ logic như toán
Ý tưởng của Zeno nếu rõ ra thì có lẽ ông hiểu nhầm rằng $\frac{0}{0}=\infty$ (mất một khoảng thời gian vô hạn để tới đích), chứ không phải mọi chuyển động là vô nghĩa vì $\frac{0}{0}$ là dạng vô định, nhưng biết rõ thì cũng chả liên quan gì tới đạo hàm cả
Mình khuyên bạn là trừ khi bạn rất am hiểu về Toán học, thì khi lấy ví dụ thì nên lấy mấy ví dụ được viết bởi những nhà toán học lớn và được công nhận , chứ lấy một ông thời Toán học và khoa học chưa được phát triển một cách thống nhất thì có thể vô tình làm bài viết của bạn trở nên mơ hồ, thiếu logic

 


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi poset: 28-09-2021 - 19:53


#12
PDF

PDF

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 197 Bài viết

**Lưu ý rằng đây là bài đạo hàm mở đầu, bạn nào đã hiểu bản chất; xin bỏ qua.

 

Tôi xin diễn giải nghịch lý mũi tên của Zeno:" Độ lớn vận tốc của một mũi tên là quãng đường đi được trong một khoảng thời gian tương ứng; nhưng khi ta xét thời gian tại một thời điểm thì độ biến thiên thời gian bằng 0, độ biến thiên quãng đường cũng bằng 0, suy ra tốc độ bằng $\frac{0}{0}$. Kết luận rằng mọi chuyển động chỉ là ảo giác.".

Phát biểu đầy đủ của Zeno còn bao hàm không gian, thời gian,v.v.. nhưng ở đây, ta chỉ bác bỏ quan điểm về "độ lớn vận tốc" cuả Zeno bằng lý thuyết đạo hàm.

 

Cho hàm đường thẳng $y = ax + b$; 

${x_1} = p \Rightarrow {y_1} = pa + b;$

${x_2} = p + n \Rightarrow {y_2} = pa + na + b;$

$ \Rightarrow \frac{{\Delta y}}{{\Delta x}} = a.$

Vậy y thay đổi giá trị nhanh hay chậm phụ thuộc vào hệ số góc a, từ nay gọi là "độ dốc".

 

$\to$ Tiến hành khảo sát độ dốc, tức là "tốc độ biến thiên" của các hàm có đồ thị là các đường cong.

Khảo sát độ dốc tại điểm $(x;f(x))$ .Cho điểm$(x + h;f(x + h))$; độ dốc của đường các tuyến qua hai điểm trên là độ dốc trung bình qua hai điểm. Khi $h$ $\to$ 0, điểm $(x + h;f(x + h))$ $ \to $ $(x;f(x))$ nên cát tuyến (đường cắt đường cong qua hai điểm) tiến tới gần đường tiếp tuyến (chỉ chạm đường cong tại $(x;f(x))$ ) .Đường tiếp tuyến không cắt hai điểm của đường cong nên độ dốc của đường không phải độ dốc trung bình mà chính là độ dốc tức thời tại $(x;f(x))$. ($\alpha$)

 

attachicon.gif 2021-09-27_180723.png

 

đỏ: đường cong của đồ thị hàm $f(x)$

xanh: đường cát tuyến

tím: một đường tiếp tuyến

 

Độ dốc đường cát tuyến ${a_c} = \frac{{f(x + h) - f(x)}}{h}$          ($\beta$)

Đặt $f'(x)$ là độ dốc của $f(x)$ tại $x$;

${\because (\alpha ) \wedge (\beta )\therefore f'(x) = \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{{f(x + h) - f(x)}}{h}.}$

 

$\to$ Đặt đường tiếp tuyến tại ${x_0}$ thuộc đồ thị hàm $f(x)$ :$(d): y = f'({x_0}).x + b$

(d) qua $(x;f(x))$ nên $(d): y= f'({x_0})(x - {x_0}) + f({x_0})$ (dễ dàng chứng minh).

 

Quay trở lại nghịch lý mũi tên, cho $f(x)$ là hàm quãng đường theo thời gian x, thì $f'(x)$ là "tốc độ biến thiên quãng đường tức thời", nếu thế $h=0$ thì giới hạn trên có dạng $\frac{0}{{0}}$ như ý tưởng Zeno.

 

(Định nghĩa đạo hàm: "tốc độ biến thiên", "độ dốc", "hệ số góc của đường tiếp tuyến".)

Theo tôi hiểu thì phần trên bạn lấy phản ví dụ cho ý tưởng của Zeno (như bạn trên nói, có lẽ là $\frac{0}{0}=+\infty$).

Nhưng bạn không thể lấy một ví dụ ra để nói về cả 1 lý thuyết (bạn gọi "độ dốc" trong VD trên chỉ nói về đường thẳng, không kiểm chứng được đại lượng này có tồn tại không).

PS: Nếu tôi hiểu nhầm gì thì mọi người hãy góp ý chỉnh sửa :) Xin cảm ơn mọi người.



#13
Nesbit

Nesbit

    ...let it be...

  • Quản lý Toán Ứng dụng
  • 2412 Bài viết

Thực sự không hiểu bài viết muốn nói gì. Khi $x\to 0$ thì $\frac{2x}{x}$ cũng có dạng $\frac{0}{0}$, vậy thì sao nào?


Không đọc tin nhắn nhờ giải toán.

 

Góp ý về cách điều hành của mod

 

 






Được gắn nhãn với một hoặc nhiều trong số những từ khóa sau: derivative, calculus, đạo-hàm

0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh