Thực ra thì đường cong khép kín là ảnh liên tục của tập compact $[0;1]$ nên nó cũng compact và tất nhiên bị chặn.
Bông tuyết Von Koch bị chặn nhưng nó có chu vi vô hạn.
Lý do hình tròn có chu vi hữu hạn là do hình tròn là hình lồi. Một đa giác lồi nằm trong một đa giác lồi khác thì chu vi đa giác nằm trong nhỏ hơn, có thể chứng minh bằng cách thu nhỏ đa giác ngoài hết cỡ rồi dùng bđt tam giác, từ đó chứng minh được tổng các đoạn thẳng (với hình tròn) hữu hạn (cho hình tròn vô hình vuông chứa nó chẳng hạn).
Không hiểu bạn đang cố giải thích điều gì vì bạn giải thích tập bị chặn nhưng rồi lại lấy ví dụ tập bị chặn có “độ dài vô hạn”?!
Tất cả những kiến thức này có thể được học chẳng hạn như mình kỳ 2 năm nhất ở khtn Hà Nội. Do không phải tất cả mọi người học toán nên mình sẽ nói thêm ở đây. Mình nhận có một số kỹ năng cơ bản dường như mọi người không có. Chẳng hạn để chứng minh một đối tượng nào đó có một tính chất nhất định thì cái đầu tiên các bạn cần phải hiểu là định nghĩa.
“All the other vehicles of mathematical rigor are secondary [to definitions], even that of rigorous proof.”-Yuri Manin
Định nghĩa của bị chặn là nằm trong hình cầu, định nghĩa của độ dài như của poset là một tổng các số, giải thích cái kiểu gì để từ nằm trong hình cầu thì suy ra được độ dài hữu hạn, chưa kể tự bạn lấy ra một phản ví dụ? Ngoài ra bạn dùng một số từ không ai hiểu như “khép kín”?
Tiếp theo các bạn được học tích phân từ cấp 3, nhưng dường như vẫn không ai hiểu rõ vì tích phân lấy ý tưởng từ độ dài cũng như diện tích, và các bạn vẫn cứ thắc mắc và giải thích lăng nhăng cả lên những thứ đã được học. SGK giải tích lớp 12 đã viết rất “rõ” định nghĩa tích phân: nếu f là hàm trên đoạn [a,b] thì các bạn chia nhỏ [a,b] ra thành các đoạn $[x_i,x_{i+1}]$ và tổng $\sum f(x_i)(x_{i+1}-x_i)$ xấp xỉ diện tích của hình nằm dưới $y=f(x)$ và khi $max(x_{i+1}-x_i)$ đủ bé thì giới hạn mà nó tiến tới được gọi là tích phân của hàm $f$. Định nghĩa này có thể viết chặt chẽ hơn như sau:
$f:[a,b]\to \mathbb{R}$ được gọi là khả tích nếu tồn tại $S$ sao cho với mọi $\epsilon > 0,$ tồn tại $\delta$ sao cho với mọi bộ $a=t_0<t_1<\dots<t_n=b$ và với mọi $x_i\in [t_i,x_{i+1}],$ ta có $$|\sum f(x_i)(t_{i+1}-t_i)-S|<\epsilon.$$
Khi đó, $S$ được gọi là tích phân của $f$ trên đoạn $[a,b].$
Vậy nên khi các bạn được học công thức để tính độ dài đường cong từ lớp 12 bằng tích phân mà bây giờ biết bao các em các cháu đều thuộc lòng để đi thi đại học thì nó thực sự chính là “ĐỘ DÀI ĐƯỜNG CONG.” Làm ơn đừng có phức tạp hoá vấn đề và khơi lại cái Newton, Leibniz, và biết bao nhiêu nhà toán học đã giải quyết từ thế kỷ 19. Người ta chứng minh cho các bạn công thức độ dài $y=f(t)$ là:
$$\int_{a}^{b}\sqrt{1+|f’(t)|^2}$$ thì trong trường hợp này để giải thích được tại sao độ dài lại hữu hạn, các bạn sử dụng tính liên tục của đạo hàm. Thế các bạn có tách đường tròn ra làm hai phần khả vi liên tục hay không ạ? Còn nếu chứng minh công thức trong sách lớp 12 không làm các bạn thoả mãn? bởi vì:
“In fact, barring direct mistakes, the most crucial difficulty with checking a proof lies usually in the insufficiency of definitions”-Yuri Manin
Thế cái gì các bạn thiếu trong trường hợp này? Chính là định nghĩa tích phân, cái mà mình đã viết ra rồi. Khi đó các bạn hoàn toàn có thể viết lại một chứng minh chính xác, ý tưởng không khác gì sgk nâng cao lớp 12 (sách giáo khoa toán phổ thông được viết bởi những người có kiến thức cũng không tầm thường đâu ạ). Nếu không chứng minh được theo định nghĩa chính xác của tích phân, các bạn có thể google, còn nếu vẫn có chỗ không hiểu thì hãy đặt câu hỏi trên box toán giải tích của diễn đàn. Còn lời khuyên đối với Lemonjuice: sách vở bây giờ rất nhiều không cần hỏi ai trên diễn đàn cả, vì diễn đàn có nhiều thành phần và có khi toàn nhận được những câu trả lời linh tinh, cũng chả ai có trình độ như mấy ông viết sách. Bạn ra ngay hiệu sách phía bên tay trái đại học khoa học tự nhiên Hà Nội, mua giải tích 1, 2, 3 của Trần Đức Long về đọc trong đó có tất cả những gì bạn cần. Còn nếu quá đam mê thì đăng ký học toán ở đại học khoa học tự nhiên Hà Nội.
Nói thêm mình mong diễn đàn không phải nơi thảo luận những điều vô bổ. Các bạn viết linh tinh vào trong bài thi, người chấm cho bạn 0 điểm. Gửi bài lên tạp chí chỉ cần cách viết lủng củng? Dù cho bạn là thiên tài mà không chịu sửa thì cũng bị reject. Các bạn đi học thầy cô uốn nắn thế vứt rác lên diễn đàn lại không có hậu quả gì. Mình thấy thực sự khó hiểu.
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Nxb: 03-10-2021 - 23:47