Đến nội dung


Chú ý

Hệ thống gửi email của diễn đàn đang gặp vấn đề với một số tài khoản Gmail do chính sách bảo mật tăng cường của Google. Nếu bạn không nhận được email từ diễn đàn, xin hãy tạm thời dùng một địa chỉ email khác ngoài Gmail (trước hết bạn nên kiểm tra thùng rác hoặc thư mục spam của hộp thư, hoặc dùng chức năng tìm kiếm trong hộp thư với từ khoá "diendantoanhoc.org" để chắc chắn là email không nhận được).

BQT đang cố gắng khắc phục, mong các bạn thông cảm.


Hình ảnh
* * * - - 2 Bình chọn

Chứng minh số pi tồn tại


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 24 trả lời

#1 Lemonjuice

Lemonjuice

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 99 Bài viết

Đã gửi 28-09-2021 - 20:01

Bấy lâu nay học toán nhưng em vẫn không biết cách chứng minh chặt chẽ câu hỏi: liệu số pi có tồn tại? Lỡ như trong 1 hình tròn này tỉ số giữa đường kính và chu vi là số pi nhưng trong một hình tròn khác tỉ số đó khác số pi thì sao? Em mong ai đó có thể chứng minh chặt chẽ giúp em bằng một cách sơ cấp để học sinh cấp 3 hiểu được và đồng thời ( nếu được) nói thêm một chút về phương pháp xấp xỉ số pi của Archimedes ( em xin cảm ơn).

 



#2 Nxb

Nxb

    Thiếu úy

  • ĐHV Toán học Hiện đại
  • 640 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 28-09-2021 - 20:31

Bấy lâu nay học toán nhưng em vẫn không biết cách chứng minh chặt chẽ câu hỏi: liệu số pi có tồn tại? Lỡ như trong 1 hình tròn này tỉ số giữa đường kính và chu vi là số pi nhưng trong một hình tròn khác tỉ số đó khác số pi thì sao? Em mong ai đó có thể chứng minh chặt chẽ giúp em bằng một cách sơ cấp để học sinh cấp 3 hiểu được và đồng thời ( nếu được) nói thêm một chút về phương pháp xấp xỉ số pi của Archimedes ( em xin cảm ơn).

Mình cho là nếu bạn học tới lớp 12 rồi chẳng hạn thì sẽ có đủ kiến thức để giải thích điều này. Đầu tiên, ta định nghĩa 2$\pi$ là chu vi của đường tròn đơn vị. Tiếp theo, độ dài đường cong được định nghĩa thông qua tích phân, nên bạn tính được ngay chu vi đường tròn bán kính R là 2$\pi$ R. 



#3 poset

poset

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 97 Bài viết
  • Giới tính:Nữ

Đã gửi 28-09-2021 - 21:09

Bấy lâu nay học toán nhưng em vẫn không biết cách chứng minh chặt chẽ câu hỏi: liệu số pi có tồn tại? Lỡ như trong 1 hình tròn này tỉ số giữa đường kính và chu vi là số pi nhưng trong một hình tròn khác tỉ số đó khác số pi thì sao? Em mong ai đó có thể chứng minh chặt chẽ giúp em bằng một cách sơ cấp để học sinh cấp 3 hiểu được và đồng thời ( nếu được) nói thêm một chút về phương pháp xấp xỉ số pi của Archimedes ( em xin cảm ơn).

Phép đồng dạng tỉ số $k$ sẽ biến đoạn thẳng có độ dài $x$ thành đoạn thẳng có độ dài $kx$. Lưu ý rằng "định nghĩa" chu vi (có vẻ chưa hẳn là định nghĩa đầy đủ nhưng thế này cho "sơ cấp") của một đường cong khép kín $C$: Ta lấy các điểm $A_1,A_2,...A_n$ theo chiều kim đồng hồ tùy ý trên đường cong, tính tổng độ dài các cạnh $A_kA_{k+1}$ (coi $n+1=1$), xét tập $S$ tất cả các tổng như vậy, khi đó chu vi đường cong $C$ là chặn trên của tập $S$: $P=sup(S)$. Xét đường cong mới $C'$ qua một phép đồng dạng tỉ số $k$. Theo tính chất của phép đồng dạng, ta có tập $S$ sẽ biến thành tập $kS=\left \{ ks|s\in S \right \}$, do đó chu vi mới sẽ là $P'=sup(kS)=ksup(S)=kP$.
Giả sử ta có hai đường tròn $(O_1,r_1);(O_2;r_2)$ có chu vi lần lượt là $P_1,P_2$, tồn tại phép đồng dạng tỉ số $\frac{r_2}{r_1}$ biến $(O_1)$ thành $(O_2)$ (tự tìm), từ trên ta có $P_2= \frac{r_2}{r_1}P_1\Rightarrow \frac{P_2}{r_2}= \frac{P_1}{r_1}$, vậy có thứ gọi là số pi.
(Có vẻ sự tồn tại của số pi là do sự tồn tại của phép đồng dạng trong không gian Euclide: biến mọi đoạn thẳng thành đoạn thẳng có độ dài gấp $k$ lần, tức là các norm space sẽ có "số pi" riêng của nó còn mặt cầu,hyperbolic,... thì không).
 


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi poset: 28-09-2021 - 21:41


#4 Lemonjuice

Lemonjuice

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 99 Bài viết

Đã gửi 28-09-2021 - 21:44

Thiết nghĩ khi xưa làm sao archimedes nhận ra sự tồn tại của số pi mà không có giải tích nhỉ, thậm chí ông còn đưa ra được công thức tính chu vi và diện tích hay tất cả chỉ là suy đoán nhỉ?

#5 poset

poset

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 97 Bài viết
  • Giới tính:Nữ

Đã gửi 28-09-2021 - 21:58

Thiết nghĩ khi xưa làm sao archimedes nhận ra sự tồn tại của số pi mà không có giải tích nhỉ, thậm chí ông còn đưa ra được công thức tính chu vi và diện tích hay tất cả chỉ là suy đoán nhỉ?

Hồi xưa không có chặt chẽ như bây giờ, người ta dùng trực giác rất nhiều



#6 Nxb

Nxb

    Thiếu úy

  • ĐHV Toán học Hiện đại
  • 640 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 28-09-2021 - 22:20

Thiết nghĩ khi xưa làm sao archimedes nhận ra sự tồn tại của số pi mà không có giải tích nhỉ, thậm chí ông còn đưa ra được công thức tính chu vi và diện tích hay tất cả chỉ là suy đoán nhỉ?

Bạn nói thừa thãi quá. Đâu có thứ gì cần phải thiết nghĩ ở đây. Tất nhiên ác si mét không dùng giải tích thì sẽ dùng phương pháp khác để tính. Không phải trong phần những điều lý thú hoặc sách nâng cao hồi cấp 2 đã dạy tính số pi cũng như công thức diện tích đường tròn? Người ta dạy bạn thế nào thì Ác Si Mét cũng làm như thế. Còn cái sự tồn tại của số pi nó không phải ác si mét mà cả thế giới người ta có nhu cầu tính toán diện tích và chu vi hình tròn thì người ta nghĩ ra, ngay cả Việt Nam cổ đại cũng biết tính và lấy pi xấp xỉ 3. Ác Si Mét tiên tài nhưng chả cần phải thiết nghĩ để mà biết tại sao có những công thức như vậy. 



#7 Hoang Huynh

Hoang Huynh

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 64 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo

Đã gửi 29-09-2021 - 06:51

chứng minh chặt chẽ giúp em bằng một cách sơ cấp để học sinh cấp 3 hiểu được và đồng thời ( nếu được) nói thêm một chút về phương pháp xấp xỉ số pi của Archimedes ( em xin cảm ơn).

 

Bạn tìm đọc nha "Quân bát, phát tam, tồn ngũ, quân nhị.", đây là cách xấp xỉ $\pi$ ở Việt Nam trước đây. Nhưng mình thấy chứng minh bằng giới hạn hay tích phân dễ và đơn giản hơn. Còn Archimedes dùng đa giác đều n cạnh khi n $\to$ $\infty$ để tính chu vi và n tam giác bằng nhau khi n $\to$ $\infty$ để tính diện tích (phương pháp vét cạn). Qua cách xấp xỉ của Archimedes, ta thấy lý thuyết giới hạn khi đó chưa hoàn chỉnh nhưng các mô tả sơ khởi của nó đã xuất hiện. 

$\to$ https://diendantoanh...u-vi-hình-tròn/

 

Còn mong muốn chứng minh $\pi$ tồn tại cũng như nghi nghờ về nó khi ta thấy đường tròn nhưng ta chỉ xấp xỉ tiến tới giá trị, chứ không bao giờ chạm vào nó bởi vì nó là một số vô tỷ và siêu việt. Nghi ngờ này cũng áp lên các số siêu việt $e$,$\gamma$ hay các số vô tỷ $\sqrt 2 ,\sqrt[5]{3}$.  Đây hẳn là một câu hỏi nan giải, một yêu cầu khó đáp ứng, chứ không hề "thừa thãi" như "ai đó" vừa bình luận...


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Hoang Huynh: 29-09-2021 - 08:53


#8 poset

poset

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 97 Bài viết
  • Giới tính:Nữ

Đã gửi 29-09-2021 - 08:02

Còn mong muốn chứng minh $\pi$ tồn tại cũng như nghi nghờ về nó khi ta thấy đường tròn nhưng ta chỉ xấp xỉ tiến tới giá trị, chứ không bao giờ chạm vào nó bởi vì nó là một số vô tỷ và siêu việt. Nghi ngờ này cũng áp lên các số siêu việt $e$,$\gamma$ hay các số vô tỷ $\sqrt 2 ,\sqrt[5]{3}$.  Đây hẳn là một câu hỏi nan giải, một yêu cầu khó đáp ứng, chứ không hề "thừa thãi" như "ai đó" đã nói...

Xin lỗi chứ số thực có tồn tại trong toán học bằng cách xây dựng nó, cũng như các đối tượng khác chứ không phải lôi thực tế ra mà kiếm. Câu hỏi "nan giải" của bạn đã được người mà bạn khịa giải quyết ở đây: https://diendantoanh...ợp/#entry730751
Có vẻ bạn lạm dụng trực giác quá mà không chịu tìm hiểu trước và sau khi phát biểu nhỉ?!


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi poset: 29-09-2021 - 08:02


#9 Hoang Huynh

Hoang Huynh

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 64 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo

Đã gửi 29-09-2021 - 08:14

Có vẻ bạn lạm dụng trực giác quá mà không chịu tìm hiểu trước và sau khi phát biểu nhỉ?!

Đấy chỉ là nghi ngờ mà?...

:)


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Hoang Huynh: 29-09-2021 - 08:37


#10 perfectstrong

perfectstrong

    $LOVE(x)|_{x =\alpha}^\Omega=+\infty$

  • Quản trị
  • 4630 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Sở thích:Đàn guitar, ngắm người mình yêu, học toán

Đã gửi 29-09-2021 - 13:45

Đấy chỉ là nghi ngờ mà?...

:)

Vậy bạn muốn nói gì? Các số thực tồn tại, cũng giống như sự tồn tại của "vô hạn". Có gì mà phải nghi ngờ? Hay bạn cho rằng vì bạn không thể hình dung nổi thì số đó không tồn tại?


Luôn yêu để sống, luôn sống để học toán, luôn học toán để yêu!!! :D

$$\text{LOVE}\left( x \right)|_{x = \alpha}^\Omega = + \infty $$




I'm still there everywhere.

#11 Lemonjuice

Lemonjuice

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 99 Bài viết

Đã gửi 30-09-2021 - 15:45

Phép đồng dạng tỉ số $k$ sẽ biến đoạn thẳng có độ dài $x$ thành đoạn thẳng có độ dài $kx$. Lưu ý rằng "định nghĩa" chu vi (có vẻ chưa hẳn là định nghĩa đầy đủ nhưng thế này cho "sơ cấp") của một đường cong khép kín $C$: Ta lấy các điểm $A_1,A_2,...A_n$ theo chiều kim đồng hồ tùy ý trên đường cong, tính tổng độ dài các cạnh $A_kA_{k+1}$ (coi $n+1=1$), xét tập $S$ tất cả các tổng như vậy, khi đó chu vi đường cong $C$ là chặn trên của tập $S$: $P=sup(S)$. Xét đường cong mới $C'$ qua một phép đồng dạng tỉ số $k$. Theo tính chất của phép đồng dạng, ta có tập $S$ sẽ biến thành tập $kS=\left \{ ks|s\in S \right \}$, do đó chu vi mới sẽ là $P'=sup(kS)=ksup(S)=kP$.
Giả sử ta có hai đường tròn $(O_1,r_1);(O_2;r_2)$ có chu vi lần lượt là $P_1,P_2$, tồn tại phép đồng dạng tỉ số $\frac{r_2}{r_1}$ biến $(O_1)$ thành $(O_2)$ (tự tìm), từ trên ta có $P_2= \frac{r_2}{r_1}P_1\Rightarrow \frac{P_2}{r_2}= \frac{P_1}{r_1}$, vậy có thứ gọi là số pi.
(Có vẻ sự tồn tại của số pi là do sự tồn tại của phép đồng dạng trong không gian Euclide: biến mọi đoạn thẳng thành đoạn thẳng có độ dài gấp $k$ lần, tức là các norm space sẽ có "số pi" riêng của nó còn mặt cầu,hyperbolic,... thì không).
 

Làm sao chứng minh tổng các đoạn thẳng có chặn trên hữu hạn vậy chị ?


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Lemonjuice: 30-09-2021 - 18:08


#12 perfectstrong

perfectstrong

    $LOVE(x)|_{x =\alpha}^\Omega=+\infty$

  • Quản trị
  • 4630 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Sở thích:Đàn guitar, ngắm người mình yêu, học toán

Đã gửi 30-09-2021 - 16:56

Làm sao chứng minh tổng các đoạn thẳng có chặn trên vậy chị ?

$\sup$ luôn tồn tại với mọi tập hợp. Có chăng là chứng minh $\sup$ hữu hạn.


Luôn yêu để sống, luôn sống để học toán, luôn học toán để yêu!!! :D

$$\text{LOVE}\left( x \right)|_{x = \alpha}^\Omega = + \infty $$




I'm still there everywhere.

#13 ngtien1255

ngtien1255

    Lính mới

  • Thành viên mới
  • 9 Bài viết

Đã gửi 03-10-2021 - 11:08

Làm sao chứng minh tổng các đoạn thẳng có chặn trên hữu hạn vậy chị ?

cái này nói chung khá là trực giác thôi. 

Thông thường thì khi tính chu vi của một đường cong khép kín là ta giả sử cái miền tạo bởi đường cong đó trong mặt phẳng là miền bị chặn.

Còn những trường hợp rắc rối hơn thì có lẽ là cần cách diễn giải chặt chẽ hơn.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi ngtien1255: 03-10-2021 - 11:09


#14 poset

poset

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 97 Bài viết
  • Giới tính:Nữ

Đã gửi 03-10-2021 - 14:37

cái này nói chung khá là trực giác thôi. 

Thông thường thì khi tính chu vi của một đường cong khép kín là ta giả sử cái miền tạo bởi đường cong đó trong mặt phẳng là miền bị chặn.

Còn những trường hợp rắc rối hơn thì có lẽ là cần cách diễn giải chặt chẽ hơn.

 

Làm sao chứng minh tổng các đoạn thẳng có chặn trên hữu hạn vậy chị ?

Thực ra thì đường cong khép kín là ảnh liên tục của tập compact $[0;1]$ nên nó cũng compact và tất nhiên bị chặn.
Bông tuyết Von Koch bị chặn nhưng nó có chu vi vô hạn. Trực giác không hoạt động trong trường hợp này.
Lý do hình tròn có chu vi hữu hạn là do hình tròn là hình lồi. Một đa giác lồi nằm trong một đa giác lồi khác thì chu vi đa giác nằm trong nhỏ hơn, có thể chứng minh bằng cách thu nhỏ đa giác ngoài hết cỡ rồi dùng bđt tam giác, từ đó chứng minh được tổng các đoạn thẳng (với hình tròn) hữu hạn (cho hình tròn vô hình vuông chứa nó chẳng hạn).


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi poset: 03-10-2021 - 19:47


#15 Nxb

Nxb

    Thiếu úy

  • ĐHV Toán học Hiện đại
  • 640 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 03-10-2021 - 20:41

Thực ra thì đường cong khép kín là ảnh liên tục của tập compact $[0;1]$ nên nó cũng compact và tất nhiên bị chặn.
Bông tuyết Von Koch bị chặn nhưng nó có chu vi vô hạn.
Lý do hình tròn có chu vi hữu hạn là do hình tròn là hình lồi. Một đa giác lồi nằm trong một đa giác lồi khác thì chu vi đa giác nằm trong nhỏ hơn, có thể chứng minh bằng cách thu nhỏ đa giác ngoài hết cỡ rồi dùng bđt tam giác, từ đó chứng minh được tổng các đoạn thẳng (với hình tròn) hữu hạn (cho hình tròn vô hình vuông chứa nó chẳng hạn).

Không hiểu bạn đang cố giải thích điều gì vì bạn giải thích tập bị chặn nhưng rồi lại lấy ví dụ tập bị chặn có “độ dài vô hạn”?!

 

Tất cả những kiến thức này có thể được học chẳng hạn như mình kỳ 2 năm nhất ở khtn Hà Nội. Do không phải tất cả mọi người học toán nên mình sẽ nói thêm ở đây. Mình nhận có một số kỹ năng cơ bản dường như mọi người không có. Chẳng hạn để chứng minh một đối tượng nào đó có một tính chất nhất định thì cái đầu tiên các bạn cần phải hiểu là định nghĩa.

 

“All the other vehicles of mathematical rigor are secondary [to definitions], even that of rigorous proof.”-Yuri Manin

 

Định nghĩa của bị chặn là nằm trong hình cầu, định nghĩa của độ dài như của poset là một tổng các số, giải thích cái kiểu gì để từ nằm trong hình cầu thì suy ra được độ dài hữu hạn, chưa kể tự bạn lấy ra một phản ví dụ? Ngoài ra bạn dùng một số từ không ai hiểu như “khép kín”?

 

Tiếp theo các bạn được học tích phân từ cấp 3, nhưng dường như vẫn không ai hiểu rõ vì tích phân lấy ý tưởng từ độ dài cũng như diện tích, và các bạn vẫn cứ thắc mắc và giải thích lăng nhăng cả lên những thứ đã được học. SGK giải tích lớp 12 đã viết rất “rõ” định nghĩa tích phân: nếu f là hàm trên đoạn [a,b] thì các bạn chia nhỏ [a,b] ra thành các đoạn $[x_i,x_{i+1}]$ và tổng $\sum f(x_i)(x_{i+1}-x_i)$ xấp xỉ diện tích của hình nằm dưới $y=f(x)$ và khi $max(x_{i+1}-x_i)$ đủ bé thì giới hạn mà nó tiến tới được gọi là tích phân của hàm $f$. Định nghĩa này có thể viết chặt chẽ hơn như sau:

$f:[a,b]\to \mathbb{R}$ được gọi là khả tích nếu tồn tại $S$ sao cho với mọi $\epsilon > 0,$ tồn tại $\delta$ sao cho với mọi bộ $a=t_0<t_1<\dots<t_n=b$ và với mọi $x_i\in [t_i,x_{i+1}],$ ta có $$|\sum f(x_i)(t_{i+1}-t_i)-S|<\epsilon.$$

Khi đó, $S$ được gọi là tích phân của $f$ trên đoạn $[a,b].$

 

Vậy nên khi các bạn được học công thức để tính độ dài đường cong từ lớp 12 bằng tích phân mà bây giờ biết bao các em các cháu đều thuộc lòng để đi thi đại học thì nó thực sự chính là “ĐỘ DÀI ĐƯỜNG CONG.” Làm ơn đừng có phức tạp hoá vấn đề và khơi lại cái Newton, Leibniz, và biết bao nhiêu nhà toán học đã giải quyết từ thế kỷ 19. Người ta chứng minh cho các bạn công thức độ dài $y=f(t)$ là:

$$\int_{a}^{b}\sqrt{1+|f’(t)|^2}$$ thì trong trường hợp này để giải thích được tại sao độ dài lại hữu hạn, các bạn sử dụng tính liên tục của đạo hàm. Thế các bạn có tách đường tròn ra làm hai phần khả vi liên tục hay không ạ? Còn nếu chứng minh công thức trong sách lớp 12 không làm các bạn thoả mãn? bởi vì:

 

“In fact, barring direct mistakes, the most crucial difficulty with checking a proof lies usually in the insufficiency of definitions”-Yuri Manin

 

Thế cái gì các bạn thiếu trong trường hợp này? Chính là định nghĩa tích phân, cái mà mình đã viết ra rồi. Khi đó các bạn hoàn toàn có thể viết lại một chứng minh chính xác, ý tưởng không khác gì sgk nâng cao lớp 12 (sách giáo khoa toán phổ thông được viết bởi những người có kiến thức cũng không tầm thường đâu ạ). Nếu không chứng minh được theo định nghĩa chính xác của tích phân, các bạn có thể google, còn nếu vẫn có chỗ không hiểu thì hãy đặt câu hỏi trên box toán giải tích của diễn đàn. Còn lời khuyên đối với Lemonjuice: sách vở bây giờ rất nhiều không cần hỏi ai trên diễn đàn cả, vì diễn đàn có nhiều thành phần và có khi toàn nhận được những câu trả lời linh tinh, cũng chả ai có trình độ như mấy ông viết sách. Bạn ra ngay hiệu sách phía bên tay trái đại học khoa học tự nhiên Hà Nội, mua giải tích 1, 2, 3 của Trần Đức Long về đọc trong đó có tất cả những gì bạn cần. Còn nếu quá đam mê thì đăng ký học toán ở đại học khoa học tự nhiên Hà Nội.

 

Nói thêm mình mong diễn đàn không phải nơi thảo luận những điều vô bổ. Các bạn viết linh tinh vào trong bài thi, người chấm cho bạn 0 điểm. Gửi bài lên tạp chí chỉ cần cách viết lủng củng? Dù cho bạn là thiên tài mà không chịu sửa thì cũng bị reject. Các bạn đi học thầy cô uốn nắn thế vứt rác lên diễn đàn lại không có hậu quả gì. Mình thấy thực sự khó hiểu.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Nxb: 03-10-2021 - 23:47


#16 poset

poset

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 97 Bài viết
  • Giới tính:Nữ

Đã gửi 04-10-2021 - 09:27

Không hiểu bạn đang cố giải thích điều gì vì bạn giải thích tập bị chặn nhưng rồi lại lấy ví dụ tập bị chặn có “độ dài vô hạn”?!

 

Tất cả những kiến thức này có thể được học chẳng hạn như mình kỳ 2 năm nhất ở khtn Hà Nội. Do không phải tất cả mọi người học toán nên mình sẽ nói thêm ở đây. Mình nhận có một số kỹ năng cơ bản dường như mọi người không có. Chẳng hạn để chứng minh một đối tượng nào đó có một tính chất nhất định thì cái đầu tiên các bạn cần phải hiểu là định nghĩa.

 

“All the other vehicles of mathematical rigor are secondary [to definitions], even that of rigorous proof.”-Yuri Manin

 

Định nghĩa của bị chặn là nằm trong hình cầu, định nghĩa của độ dài như của poset là một tổng các số, giải thích cái kiểu gì để từ nằm trong hình cầu thì suy ra được độ dài hữu hạn, chưa kể tự bạn lấy ra một phản ví dụ? Ngoài ra bạn dùng một số từ không ai hiểu như “khép kín”?

 

Tiếp theo các bạn được học tích phân từ cấp 3, nhưng dường như vẫn không ai hiểu rõ vì tích phân lấy ý tưởng từ độ dài cũng như diện tích, và các bạn vẫn cứ thắc mắc và giải thích lăng nhăng cả lên những thứ đã được học. SGK giải tích lớp 12 đã viết rất “rõ” định nghĩa tích phân: nếu f là hàm trên đoạn [a,b] thì các bạn chia nhỏ [a,b] ra thành các đoạn $[x_i,x_{i+1}]$ và tổng $\sum f(x_i)(x_{i+1}-x_i)$ xấp xỉ diện tích của hình nằm dưới $y=f(x)$ và khi $max(x_{i+1}-x_i)$ đủ bé thì giới hạn mà nó tiến tới được gọi là tích phân của hàm $f$. Định nghĩa này có thể viết chặt chẽ hơn như sau:

$f:[a,b]\to \mathbb{R}$ được gọi là khả tích nếu tồn tại $S$ sao cho với mọi $\epsilon > 0,$ tồn tại $\delta$ sao cho với mọi bộ $a=t_0<t_1<\dots<t_n=b$ và với mọi $x_i\in [t_i,x_{i+1}],$ ta có $$|\sum f(x_i)(t_{i+1}-t_i)-S|<\epsilon.$$

Khi đó, $S$ được gọi là tích phân của $f$ trên đoạn $[a,b].$

 

Vậy nên khi các bạn được học công thức để tính độ dài đường cong từ lớp 12 bằng tích phân mà bây giờ biết bao các em các cháu đều thuộc lòng để đi thi đại học thì nó thực sự chính là “ĐỘ DÀI ĐƯỜNG CONG.” Làm ơn đừng có phức tạp hoá vấn đề và khơi lại cái Newton, Leibniz, và biết bao nhiêu nhà toán học đã giải quyết từ thế kỷ 19. Người ta chứng minh cho các bạn công thức độ dài $y=f(t)$ là:

$$\int_{a}^{b}\sqrt{1+|f’(t)|^2}$$ thì trong trường hợp này để giải thích được tại sao độ dài lại hữu hạn, các bạn sử dụng tính liên tục của đạo hàm. Thế các bạn có tách đường tròn ra làm hai phần khả vi liên tục hay không ạ? Còn nếu chứng minh công thức trong sách lớp 12 không làm các bạn thoả mãn? bởi vì:

 

“In fact, barring direct mistakes, the most crucial difficulty with checking a proof lies usually in the insufficiency of definitions”-Yuri Manin

 

Thế cái gì các bạn thiếu trong trường hợp này? Chính là định nghĩa tích phân, cái mà mình đã viết ra rồi. Khi đó các bạn hoàn toàn có thể viết lại một chứng minh chính xác, ý tưởng không khác gì sgk nâng cao lớp 12 (sách giáo khoa toán phổ thông được viết bởi những người có kiến thức cũng không tầm thường đâu ạ). Nếu không chứng minh được theo định nghĩa chính xác của tích phân, các bạn có thể google, còn nếu vẫn có chỗ không hiểu thì hãy đặt câu hỏi trên box toán giải tích của diễn đàn. Còn lời khuyên đối với Lemonjuice: sách vở bây giờ rất nhiều không cần hỏi ai trên diễn đàn cả, vì diễn đàn có nhiều thành phần và có khi toàn nhận được những câu trả lời linh tinh, cũng chả ai có trình độ như mấy ông viết sách. Bạn ra ngay hiệu sách phía bên tay trái đại học khoa học tự nhiên Hà Nội, mua giải tích 1, 2, 3 của Trần Đức Long về đọc trong đó có tất cả những gì bạn cần. Còn nếu quá đam mê thì đăng ký học toán ở đại học khoa học tự nhiên Hà Nội.

 

Nói thêm mình mong diễn đàn không phải nơi thảo luận những điều vô bổ. Các bạn viết linh tinh vào trong bài thi, người chấm cho bạn 0 điểm. Gửi bài lên tạp chí chỉ cần cách viết lủng củng? Dù cho bạn là thiên tài mà không chịu sửa thì cũng bị reject. Các bạn đi học thầy cô uốn nắn thế vứt rác lên diễn đàn lại không có hậu quả gì. Mình thấy thực sự khó hiểu.

Đầu tiên, em không hề nói một hình bị chặn thì sẽ có chu vi hữu hạn, em chỉ nói mọi đường cong khép kín trên $\mathbb{R}^2$ đều bị chặn, tức bạn ngtien không cần giả sử nữa. Và bạn ngtien dường như giả định rằng đường cong bị chặn nên có có độ dài hữu hạn, nên em đưa phản ví dụ. Anh nên hiểu rõ ý của em trước khi phán xét loạn lên như vậy.
Và cho em hỏi làm sao để tính độ dài đường cong không khả vi tại mọi điểm?! Nhìn chung em xin lỗi vì làm phức tạp vấn đề, nhưng anh có thể chỉ ra được chuyện này có sai ở đâu hay không?!



#17 Nxb

Nxb

    Thiếu úy

  • ĐHV Toán học Hiện đại
  • 640 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 04-10-2021 - 14:46

Đầu tiên, em không hề nói một hình bị chặn thì sẽ có chu vi hữu hạn, em chỉ nói mọi đường cong khép kín trên $\mathbb{R}^2$ đều bị chặn, tức bạn ngtien không cần giả sử nữa. Và bạn ngtien dường như giả định rằng đường cong bị chặn nên có có độ dài hữu hạn, nên em đưa phản ví dụ. Anh nên hiểu rõ ý của em trước khi phán xét loạn lên như vậy.
Và cho em hỏi làm sao để tính độ dài đường cong không khả vi tại mọi điểm?! Nhìn chung em xin lỗi vì làm phức tạp vấn đề, nhưng anh có thể chỉ ra được chuyện này có sai ở đâu hay không?!

Xin lỗi bạn mình chưa đọc kỹ. Và mình cũng không phản đối định nghĩa độ dài đường cong ở chỗ nào cả. Mình còn trích dẫn sgk toán nâng cao lớp 12 mà :3.



#18 Nesbit

Nesbit

    ...let it be...

  • Quản trị
  • 2257 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 04-10-2021 - 16:15

Thực ra thì đường cong khép kín là ảnh liên tục của tập compact $[0;1]$ nên nó cũng compact và tất nhiên bị chặn.
Bông tuyết Von Koch bị chặn nhưng nó có chu vi vô hạn. Trực giác không hoạt động trong trường hợp này.
Lý do hình tròn có chu vi hữu hạn là do hình tròn là hình lồi. Một đa giác lồi nằm trong một đa giác lồi khác thì chu vi đa giác nằm trong nhỏ hơn, có thể chứng minh bằng cách thu nhỏ đa giác ngoài hết cỡ rồi dùng bđt tam giác, từ đó chứng minh được tổng các đoạn thẳng (với hình tròn) hữu hạn (cho hình tròn vô hình vuông chứa nó chẳng hạn).

 

Anh thấy poset đưa ra phản ví dụ quá hay. Trong Toán học nếu chỉ dựa vào trực giác thì nhiều khi sẽ sai hoàn toàn. Một ví dụ khác không liên quan tới câu hỏi của topic nhưng về trực giác: $0.999\dots = 1$ (hôm qua thấy Hân nhắc lại cho Hoang Huynh về ví dụ này, thấy hay nên anh mượn tạm). Hoàn toàn không hề trực quan đúng không?

 

Bài của Nxb tuy hiểu sai ý của poset nhưng cũng rất đáng để đọc (việc hiểu sai ý hay đọc nhầm rất dễ xảy ra, poset không nên quá bận tâm, hôm qua anh cũng mới đọc nhầm một bài trong box BĐT). Mình khuyên Lemonjuice và Hoang Huynh nên đọc kĩ bài của Nxb, và nếu thấy chỗ nào không rõ có thể hỏi thêm.

 

Ngoài ra nếu hai bạn có thể đọc được tiếng Anh thì có cuốn Analysis của Terence Tao (gồm hai tập), xây dựng giải tích hoàn toàn từ số 0 lên luôn, rất thích hợp cho những người đam mê muốn tìm tòi thêm như Lemonjuice và Hoang Huynh. Hãy xem trích đoạn trong phần mở đầu của tập 1:

 

tao_analysis_I.png

 

Cuốn này mình muốn đọc từ lâu nhưng tiếc là vẫn chưa có thời gian vì phải học những thứ khác trước cần hơn cho công việc.

 

Không biết tiếng Việt có cuốn nào tương tự như vậy không nhỉ, bạn nào biết xin chỉ giúp.


Không đọc tin nhắn nhờ giải toán.

 

Góp ý về cách điều hành của mod

 

 


#19 Nxb

Nxb

    Thiếu úy

  • ĐHV Toán học Hiện đại
  • 640 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 04-10-2021 - 17:16

Anh thấy poset đưa ra phản ví dụ quá hay. Trong Toán học nếu chỉ dựa vào trực giác thì nhiều khi sẽ sai hoàn toàn. Một ví dụ khác không liên quan tới câu hỏi của topic nhưng về trực giác: $0.999\dots = 1$ (hôm qua thấy Hân nhắc lại cho Hoang Huynh về ví dụ này, thấy hay nên anh mượn tạm). Hoàn toàn không hề trực quan đúng không?

 

Bài của Nxb tuy hiểu sai ý của poset nhưng cũng rất đáng để đọc (việc hiểu sai ý hay đọc nhầm rất dễ xảy ra, poset không nên quá bận tâm, hôm qua anh cũng mới đọc nhầm một bài trong box BĐT). Mình khuyên Lemonjuice và Hoang Huynh nên đọc kĩ bài của Nxb, và nếu thấy chỗ nào không rõ có thể hỏi thêm.

 

Ngoài ra nếu hai bạn có thể đọc được tiếng Anh thì có cuốn Analysis của Terence Tao (gồm hai tập), xây dựng giải tích hoàn toàn từ số 0 lên luôn, rất thích hợp cho những người đam mê muốn tìm tòi thêm như Lemonjuice và Hoang Huynh. Hãy xem trích đoạn trong phần mở đầu của tập 1:

 

attachicon.gif tao_analysis_I.png

 

Cuốn này mình muốn đọc từ lâu nhưng tiếc là vẫn chưa có thời gian vì phải học những thứ khác trước cần hơn cho công việc.

 

Không biết tiếng Việt có cuốn nào tương tự như vậy không nhỉ, bạn nào biết xin chỉ giúp.

Em thấy nội dung 2 tập sách của Tao cũng giống như giải tích 1,2,3 của Trần Đức Long. Em nghĩ nhập môn giải tích trên thế giới nơi nào cũng giống nhau, bởi vì giải tích là một nhánh đã phát triển từ lâu trong toán học. Sách nhập môn họ đều bắt đầu từ lý thuyết tập hợp rồi đưa ra một cách xây dựng của tập số thực, rồi các chủ đề sau đó cũng y hệt. 



#20 Hoang Huynh

Hoang Huynh

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 64 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo

Đã gửi 04-10-2021 - 18:08

$0,(9)=1$ do perfectstrong ví dụ trong "hàm chạm giới hạn" https://diendantoanh...m-vào-giới-hạn/






0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh