Chủ đề này có 3 trả lời

[nguen thai an]

Cho tam giác ABC với các đường cao AD, BE, CF đồng quy tại H. Đường thẳng qua A vuông với EF cắt BE, CF tại I, G. L, K trung điểm EI, FG. J trung điểm AH. Chứng minh HJLK nội tiếp

[12DecMath]

Gọi $S$ là giao điểm của $(HIG)$ với $(AEF)$

Ta phát biểu bổ đề tỉ số phương tích: 

Cho hai đường tròn $(O)$ và $(O')$ cắt nhau tại 2 điểm $A,B$. Lấy điểm $C,D$ bất kì thỏa mãn $\frac{\mathbb{P}_{C/(O)}}{\mathbb{P}_{D/(O)}}=\frac{\mathbb{P}_{C/(O')}}{\mathbb{P}_{D/(O')}}$. Khi đó bốn điểm $A,B,C,D$ đồng viên. 

Quay trở về bài toán: 

$(1)$ Ta chứng minh $AH$ là tiếp tuyến của $(HIG)$ 

Đây chính là câu $(a)$ bài 5 trong đề thi tuyển sinh vào trường LQĐ Đà Nẵng 2020

$(2)$ Xét phương tích của điểm $J,K$ đối với $(HIG)$ và $(AEF)$

$\frac{\mathbb{P}_{J/(AEF)}}{\mathbb{P}_{J/(HIG)}}=\frac{IH.IA}{IH^2}=\frac{IH^2}{IH^2}=1$

$\frac{\mathbb{P}_{K/(AEF)}}{\mathbb{P}_{K/(HIG)}}=\frac{KH.KF}{KH.KG}=\frac{KH.KG}{KH.KG}=1$

Suy ra: $\frac{\mathbb{P}_{J/(AEF)}}{\mathbb{P}_{J/(HIG)}}=\frac{\mathbb{P}_{K/(AEF)}}{\mathbb{P}_{K/(HIG)}}$

Nên: $(KJH), (AEF), (HIG)$ đồng trục $\rightarrow K, J, H, S$ đồng viên

Làm tương tự với điểm $L$ thì $J, H, L, S$ đồng viên. Suy ra $HJLK$ nội tiếp. 

Hình gửi kèm

• 

[DaiphongLT]

Có thể đưa bài toán về dạng: Cho $ \Delta ABC$ nội tiếp $(O)$ đường kính $AD$. $BD$, $CD$ cắt đường cao kẻ từ $A$ của $\Delta ABC$ tại $E$, $F$. Gọi $G$, $H$ trung điểm $BE$, $CF$. Khi đó đpcm là $OGHD$ nội tiếp.
Gọi $K$, $I$ trung điểm $BD$, $CD$. Khi đó cần cm $\widehat{GOK}=\widehat{HOI}$ hay 2 tam giác này đồng dạng.
$\Delta ABE\sim \Delta ACD, \Delta ACF\sim \Delta ABD (g-g)$
Từ đó biến đổi tỉ số suy ra $\frac{BE}{BD}=\frac{CD}{CF}\Leftrightarrow \frac{GK}{HI}=\frac{BK}{CH}=\frac{BD}{CF}=\frac{AB}{AC}=\frac{OK}{OL}$
Đến đây đồng dạng suy ra ....

[nguen thai an]

Dạ em cảm ơn hai anh ạ