1.Từ 1 đến 2021, có bao nhiêu số là bội của ít nhất một trong các số 2; 3; 5; 7
2.Một giải bóng đá gồm năm đội, cứ hai đội bất kì đấu với nhau duy nhất một trận đấu. Mỗi
trận đấu chỉ có kết quả thắng-thua chứ không có hòa. Tính số khả năng có thể xảy ra mà trong đó,
không có đội nào thắng tất cả các trận đấu hoặc không có đội nào thua tất cả các trận đấu.
Mọi người giúp e câu 2 vs ạ còn câu 1 e làm đc rồi ạ. Em cảm ơn
2/ Giả sử đội thắng được 1đ, đội thua 0đ. Mỗi đội thi đấu 4 trận cho nên , theo đề bài, thì số điểm mỗi đội chỉ có thể là 1,2 hoặc 3 điểm. Từ đó, ta có hàm sinh :
$f\left ( x \right )=\left ( x+x^{2}+x^{3} \right )^{5}=x^{5}\left ( 1+x+x^{2} \right )^{5}=x^{5}\left ( \frac{1-x^{3}}{1-x} \right )^{5}=x^{5}\left ( 1-5x^{3}+10x^{6}-... \right )\left ( 1-x \right )^{-5}$.
Tổng số trận đấu là $\frac{5\cdot 4}{2}=10$ nên hệ số của $x^{10}$ trong khai triển của chuỗi trên là giá trị cần tìm :
$\left [ x^{10} \right ]f\left ( x \right )=\left [ x^{5} \right ]\left ( 1-5x^{3} \right )\sum_{k=0}^{\infty }\binom{k+4}{4}x^{k}=\left (\left [ x^{5} \right ] -5\left [ x^{2} \right ] \right )\sum_{k=0}^{\infty }\binom{k+4}{4}x^{k}$
$ \Rightarrow \binom{5+4}{4}-5\binom{2+4}{4}=\binom{9}{4}-5\binom{6}{4}=126-75= \boxed{ 51}$