Chủ đề này hot thật đấy, tiếc rằng vì tranh luận gay gắt quá mà nó bị khoá. Đúng là ngày xưa đi học được dạy tích phân xác định theo tích phân Riemann. Còn công thức Newton-Leibniz thì được học là một định lý!
Bây giờ sách giáo khoa dạy Công thức Newton-Leibniz là định nghĩa tích phân xác định thì cũng khó trách các bạn lại tranh luận gay gắt quá như vậy!
Xét trên khía cạnh hàm liên tục thì chắc chắn có nguyên hàm, điều này không sai. Nhưng không bắt buộc phải tìm nguyên hàm để tính tích phân. Hay không phải hàm không liên tục thì không tồn tại tích phân.
Có thể do tích phân ở cấp độ THPT phù hợp với định nghĩa như vậy. Dù cho hàm số có “loằng ngoằng” cỡ nào với các thuật toán tính tptp, đổi biến, đặt ẩn, truy hồi, v.v… thì bản chất cuối cùng vẫn là đi tìm nguyên hàm mà thôi!
Như vậy thì mấy cái hàm số và tích phân trong bài viết này https://diendantoanh...nx/#entry734010 và bài này https://diendantoanh...x…/#entry734047 của mình hoàn toàn không xác định?
Em không hiểu câu hỏi của anh Thanh lắm, không biết "không xác định" ý anh là gì ạ? Trong topic đầu tiên có vẻ như anh đưa ra một nghịch lý là một hàm liên tục lại có đạo hàm không liên tục, nhưng điều này không có gì sai cả, đạo hàm không nhất thiết liên tục (tuy nhiên nó "liên tục" theo một nghĩa khác, theo Định lý Darboux ở bên dưới). Còn trong topic thứ hai thì hàm đã cho liên tục nên có nguyên hàm $F(x) = \int_1^x f(t)dt$, đúng không ạ?
Nhân nói đến chủ đề này thì Nesbit xin đưa ra một số thông tin để thảo luận thêm và cũng là để chia sẻ với những bạn chưa biết (bạn nào biết rồi xin bổ sung hoặc đính chính giúp nếu Nesbit nói sai). Ở đây chúng ta có hai câu hỏi khác nhau:
1. Một hàm số khả tích (theo nghĩa Riemann) khi nào?
(Mấy hôm trước thấy Hân nhận định sai trong một topic khác của anh Thanh nói rằng tích phân trong đề bài không tồn lại, lúc đó đã định đăng phần này lên nhưng mới gõ được vài câu thì đã phải out gấp, sau đó lại quên mất.)
Câu hỏi này đã được giải quyết hoàn toàn vào đầu thế kỷ 20 bởi Lebesgue.
Cho hàm số $f$ bị chặn trên đoạn $[a,b]$, khi đó $f$ khả tích (theo nghĩa Riemann) trên $[a,b]$ khi và chỉ khi $f$ liên tục gần như mọi nơi trên $[a,b]$.
Khái niệm "gần như mọi nơi" có lẽ là mới đối với nhiều bạn. Sẽ cần giới thiệu một số khái niệm thì mới có thể đưa ra được định nghĩa chặt chẽ, nhưng ý của nó là: nếu xét tập hợp những điểm mà tại đó $f$ không liên tục, thì "độ dài" của tập này bằng $0$. Nói nôm na thì "độ dài" ở đây thể hiện cho kích thước của một tập hợp tương tự như độ dài của một đoạn hay một khoảng. Ví dụ độ dài của $[a,b]$ là $b-a$. Một ví dụ điển hình về những tập hợp có "độ dài" bằng $0$ là các tập hữu hạn (finite) và các tập đếm được (countable), ví dụ như $\mathbb{N}, \mathbb{Q}$. Cũng có những tập không đếm được (uncountable) mà có "độ dài" bằng $0$, ví dụ như tập Cantor.
Như vậy để biết một hàm số có khả tích hay không, trước hết ta tìm tập hợp những điểm mà ở đó hàm số không liên tục, rồi kiểm tra xem "độ dài" của tập đó có bằng $0$ hay không. Trong một số bài tích phân có liên quan đến phần nguyên mà anh Thanh đã đăng thì hàm số chỉ không liên tục tại các điểm nguyên, như vậy chắc chắn khả tích (trên đoạn đã cho).
2. Một hàm số có nguyên hàm khi nào?
Câu hỏi này thì khó hơn, theo như Nesbit được biết thì vẫn chưa có câu trả lời hoàn toàn. Tuy nhiên có một vài điều kiện cần hoặc đủ rất hữu ích để xác định xem một hàm số có nguyên hàm hay không.
Cho $f$ khả tích trên $[a,b]$ và đặt $F(x) = \int_a^x f(t)dt$. Khi đó $F$ liên tục trên $[a,b]$, và nếu $f$ liên tục tại $x_0\in[a,b]$ thì $F$ khả vi tại $x_0$ và $F'(x_0) = f(x_0)$.
Định lý trên cho ta một điều kiện đủ để $f$ có nguyên hàm, mà Nxb đã nhắc tới ở trên: $f$ liên tục.
Cho $f$ khả vi trên $[a,b]$, khi đó với mọi giá trị $\alpha$ nằm giữa $f'(a)$ và $f'(b)$, luôn tồn tại $x_0\in[a,b]$ sao cho $f'(x_0) = \alpha$.
Như vậy đạo hàm cũng có một tính chất rất giống với các hàm số liên tục: Để chạy từ $f'(a)$ đến $f'(b)$ thì phải chạy qua mọi giá trị trung gian (nhưng khác một chỗ là có thể vọt lên vọt xuống chứ không nhất thiết "liên tục"). Theorem còn được gọi là định lý về giá trị trung gian của đạo hàm, nó cho ta một điều kiện cần (rất dễ kiểm tra) để $f$ có nguyên hàm hay không: lúc đi từ $a$ đến $b$ thì $f$ cần chạy qua mọi giá trị nằm giữa $f(a)$ và $f(b)$, nếu không như vậy thì $f$ không có nguyên hàm (tốt hơn: nếu có một đoạn con $[c,d]$ nào đó của $[a,b]$ mà không thoả mãn điều kiện này thì $f$ không có nguyên hàm). Lưu ý: nếu điều kiện này thoả mãn thì cũng chưa chắc $f$ có nguyên hàm vì đây chỉ là điều kiện cần.
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Nesbit: 14-03-2023 - 07:03
Phân biệt giữa "hữu hạn" và "đếm được". Bổ sung thêm cách xét đoạn con để xác định có nguyên hàm hay không.
