Bài 40. Giải phương trình sau trên tập số nguyên dương $\displaystyle 2^{n} +n=m!$
Xét phương trình $\displaystyle 2^{n} +n=m!$, bây giờ, ta sẽ thử từng trường hợp trước để dự đoán. Ta sẽ xét $\displaystyle v_{2}$ của cả hai vế. Kiểm tra trực tiếp một số trường hợp ta nhận thấy chỉ có $\displaystyle m=3,n=2$ duy nhất thỏa mãn. Trường hợp $\displaystyle n$ là lũy thừa của 2, ta đặt $\displaystyle n=2^{a}$. Khi đó $\displaystyle 2^{n} +n=2^{x} +2^{y}$. Xét $\displaystyle m\leqslant 7$ thì không có trường hợp nào thỏa trừ $\displaystyle m=3$. Vậy xét $\displaystyle m >7$ thì khi đó $\displaystyle 7|m!$. Xét modulo 7 thì $\displaystyle 2^{x} +2^{y} \equiv 7( mod\ 7)$ và điều này là vô lí do $\displaystyle 2^{x} \equiv 1,2,4(\bmod 7)$. Tiếp theo ta xét $\displaystyle n=2^{a} .k$ trong đó $\displaystyle k$ lẻ. Vậy $\displaystyle v_{2}\left( 2^{n} +n\right) =a$. Bây giờ, nếu $\displaystyle k\leqslant m$ thì ta có $\displaystyle m!\vdots k$ nên $\displaystyle 2^{n} \vdots k$, mâu thuẫn với tính lẻ của $\displaystyle k$. Tiếp theo, xét $\displaystyle m\leqslant k$ thì khi đó $\displaystyle \frac{m}{2} -1< v_{2}( m!) =\sum _{i\rightarrow \infty }\left\lfloor \frac{m}{2^{i}}\right\rfloor < \frac{m-1}{2-1} =m-1< m$ cho nên ta có $\displaystyle \left\lfloor \frac{m}{2}\right\rfloor \leqslant a< m$ dẫn tới $\displaystyle 2^{a} < 2^{m}$ và ta có $\displaystyle 2^{n} =2^{2^{a} .k} \geqslant 2^{\left\lfloor \frac{m}{2}\right\rfloor m} \geqslant m^{m} >m!$ đúng vì $\displaystyle m\geqslant 7$. Vậy ta có tất cả các nghiệm của phương trình là $\displaystyle ( m,n) =( 3,2)$