Đến nội dung

Hình ảnh

[TOPIC] Các bài toán về phương trình nghiệm nguyên

- - - - - số học phương trình nghiệm nguyên toán olympic

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 44 trả lời

#41
Lemonjuice

Lemonjuice

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 118 Bài viết

Bài 45: Cho $\varphi (n)$ là hàm phi Euler và k là một số nguyên dương không chia hết cho 3 ( k cho trước và cố định). Chứng minh rằng với mỗi số nguyên dương m bất kì luôn tồn tại vô hạn các số nguyên dương n sao cho $\varphi (n)-\varphi (n+k)>m$ .

*Gợi ý: Chứng minh có vô hạn các số nguyên tố có dạng $3k+1$ và $3k+2$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Lemonjuice: 17-12-2021 - 16:04


#42
narutosasukevjppro

narutosasukevjppro

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 131 Bài viết

:)) cảm ơn bạn đã đăng bài, mình bận ôn thi nên để topic flop quá, cũng lười đăng bài luôn



#43
narutosasukevjppro

narutosasukevjppro

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 131 Bài viết
Bài 46. Chứng minh rằng không tồn tại các số hữu tỉ $\displaystyle x,y,z$ sao cho $\displaystyle x^{2} +y^{2} +z^{2} =7$
 
Bài 47. Tìm tất cả các bộ ba số nguyên $\displaystyle ( a,b,c)$ sao cho $\displaystyle \frac{( a-b)( b-c)( c-a)}{2} +2$ là một lũy thừa của $\displaystyle 2016^{2017}$
Comeback


#44
narutosasukevjppro

narutosasukevjppro

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 131 Bài viết

Bài 40. Giải phương trình sau trên tập số nguyên dương $\displaystyle 2^{n} +n=m!$

Xét phương trình $\displaystyle 2^{n} +n=m!$, bây giờ, ta sẽ thử từng trường hợp trước để dự đoán. Ta sẽ xét $\displaystyle v_{2}$ của cả hai vế. Kiểm tra trực tiếp một số trường hợp ta nhận thấy chỉ có $\displaystyle m=3,n=2$ duy nhất thỏa mãn. Trường hợp $\displaystyle n$ là lũy thừa của 2, ta đặt $\displaystyle n=2^{a}$. Khi đó $\displaystyle 2^{n} +n=2^{x} +2^{y}$. Xét $\displaystyle m\leqslant 7$ thì không có trường hợp nào thỏa trừ $\displaystyle m=3$. Vậy xét $\displaystyle m >7$ thì khi đó $\displaystyle 7|m!$. Xét modulo 7 thì $\displaystyle 2^{x} +2^{y} \equiv 7( mod\ 7)$ và điều này là vô lí do $\displaystyle 2^{x} \equiv 1,2,4(\bmod 7)$. Tiếp theo ta xét $\displaystyle n=2^{a} .k$ trong đó $\displaystyle k$ lẻ. Vậy $\displaystyle v_{2}\left( 2^{n} +n\right) =a$. Bây giờ, nếu $\displaystyle k\leqslant m$ thì ta có $\displaystyle m!\vdots k$ nên $\displaystyle 2^{n} \vdots k$, mâu thuẫn với tính lẻ của $\displaystyle k$. Tiếp theo, xét $\displaystyle m\leqslant k$ thì khi đó $\displaystyle \frac{m}{2} -1< v_{2}( m!) =\sum _{i\rightarrow \infty }\left\lfloor \frac{m}{2^{i}}\right\rfloor < \frac{m-1}{2-1} =m-1< m$ cho nên ta có $\displaystyle \left\lfloor \frac{m}{2}\right\rfloor \leqslant a< m$ dẫn tới $\displaystyle 2^{a} < 2^{m}$ và ta có $\displaystyle 2^{n} =2^{2^{a} .k} \geqslant 2^{\left\lfloor \frac{m}{2}\right\rfloor m} \geqslant m^{m}  >m!$ đúng vì $\displaystyle m\geqslant 7$. Vậy ta có tất cả các nghiệm của phương trình là $\displaystyle ( m,n) =( 3,2)$



#45
ThienDuc1101

ThienDuc1101

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 59 Bài viết

Cho em góp 1 bài với ạ :icon6:

Tìm các số nguyên dương a,b,c và số nguyên tố p thỏa mãn $73p^2+6=9a^2+17(b^2+c^2)$







Được gắn nhãn với một hoặc nhiều trong số những từ khóa sau: số học, phương trình nghiệm nguyên, toán olympic

1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh