Đến nội dung


Hình ảnh

[TOPIC] Các bài toán về phương trình nghiệm nguyên

số học phương trình nghiệm nguyên toán olympic

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 34 trả lời

#21 narutosasukevjppro

narutosasukevjppro

    Binh nhất

  • Thành viên mới
  • 31 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT Chuyên Lê Quý Đôn - Đà Nẵng
  • Sở thích:Số học

Đã gửi 08-10-2021 - 15:24

thanks anh ạ, e cũng có 1 hướng tựa tựa như này để tối e post lên thử ạ



#22 narutosasukevjppro

narutosasukevjppro

    Binh nhất

  • Thành viên mới
  • 31 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT Chuyên Lê Quý Đôn - Đà Nẵng
  • Sở thích:Số học

Đã gửi 09-10-2021 - 09:36

Bài 6. Xét $\displaystyle p=2$ thì $\displaystyle x^{4} +4=2y^{4}$. Nếu $\displaystyle x$ chẵn thì suy ra bên vế trái sẽ đồng dư với 4 theo modulo 16. Ngoài ra $\displaystyle y$ có thể rơi vào hai trường hợp, nếu $\displaystyle y$ chẵn thì sai ngay vì $\displaystyle 2y^{4}$ chia hết cho 16 trong khi vế trái lại không thỏa. Còn nếu $\displaystyle y$ lẻ thì $\displaystyle 2y^{4} \equiv 2(\bmod 16)$. Vậy $\displaystyle p$ chỉ có thể là số lẻ, suy ra $\displaystyle x,y$ phải cùng lẻ, vì nếu $\displaystyle x$ chẵn thì $\displaystyle y$ phải chẵn dẫn đến modulo 16 của 2 vế khác nhau. 

 
Phân tích 
 
$x^{4} +4=\left( x^{2} -2x+2\right)\left( x^{2} +2x+2\right) =py^{4}$
Ta gọi $\displaystyle d=\left( x^{2} -2x+2,x^{2} +2x+2\right)$. Ta có cả hai số này đều chẵn, nhưng mà $\displaystyle d$ phải lẻ vì vế phải là các số lẻ. Do đó $\displaystyle d|x$ vì $\displaystyle d|4x$ nhưng $\displaystyle d$ lẻ nên không thể là ước của $\displaystyle 4$. Mặt khác $\displaystyle d|x^{2} -2x+2$ nên $\displaystyle d|2$ dẫn tới $\displaystyle d=1$. Từ đây ta có thể đặt 
 
$\displaystyle x^{2} -2x+2=a^{4} ,x^{2} +2x+2=pb^{4}$
 
Ta có $\displaystyle ( x-1)^{2} +1=a^{4}$ và $\displaystyle ( x+1)^{2} +1=pb^{4}$. Ta sử dụng phương phép kẹp để suy ra nếu $\displaystyle x\geqslant 0$ thì $\displaystyle x^{2} \leqslant ( x-1)^{2} +1< ( x+1)^{2}$ và $\displaystyle ( x-1)^{2} +1$ là số chính phương nên chỉ có $\displaystyle x=1$ thỏa mãn. Nếu $\displaystyle x$ âm thì $\displaystyle x=-1$ thỏa, ta cũng lập luận tương tự. Vậy suy ra $\displaystyle p=5$ là trường hợp duy nhất để thỏa mãn yêu cầu đề bài.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi narutosasukevjppro: 09-10-2021 - 09:38


#23 LTBN

LTBN

    Binh nhất

  • Thành viên mới
  • 35 Bài viết
  • Giới tính:Nữ

Đã gửi 09-10-2021 - 12:01

Bài 13. Tìm các số nguyên tố $\displaystyle p,q$ thỏa mãn $\displaystyle ( p+q)^{p} =( q-p)^{2q-1}$

Nhận thấy $q-p>0$ và $p+q>q-p$ nên $p<2q-1$.

Do đó $(p+q)^p\vdots (q-p)^p\Rightarrow p+q\vdots q-p\Rightarrow 2q\vdots q-p$.

Mà $q-p<q$ nên $2\vdots q-p$.

Suy ra $q-p=1$ hoặc $q-p=2$.

+) $q-p=1\Rightarrow q=3;p=2$. Thử lại ta thấy không thoả mãn.

+) $q-p=2\Rightarrow (2p+2)^p=2^{2p+3}\Rightarrow 2^{p+3}=(p+1)^p$.

Từ đó $p+1=2^k(k\in\mathbb N^*)\Rightarrow p+3=pk\Rightarrow 3\vdots p\Rightarrow p=3\Rightarrow q=5$. (thoả mãn)

Vậy $p=3;q=5$.



#24 narutosasukevjppro

narutosasukevjppro

    Binh nhất

  • Thành viên mới
  • 31 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT Chuyên Lê Quý Đôn - Đà Nẵng
  • Sở thích:Số học

Đã gửi 12-10-2021 - 05:56

Bài 26. Ta sẽ sử dụng bất đẳng thức để kẹp, một số luôn lớn hơn hoặc bằng tích các chữ số của nó, dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi nó là số có 2 chữ số hoặc 1 chữ số.

Bài 38. Ta giới hạn miền, trước hết đặt $\displaystyle a=\left\lfloor \sqrt[4]{x}\right\rfloor ,b=\left\{\sqrt[4]{x}\right\} \in \{0,1\}$. Đưa về $\displaystyle 1\geqslant b=\sqrt[4]{8a+3} -a >0$, tới đây dễ dàng tìm được $a$



#25 narutosasukevjppro

narutosasukevjppro

    Binh nhất

  • Thành viên mới
  • 31 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT Chuyên Lê Quý Đôn - Đà Nẵng
  • Sở thích:Số học

Đã gửi 12-10-2021 - 05:57

Bài 16 mình xin phép gửi luôn link đề trên aops

https://artofproblem...h409108p2288476


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi narutosasukevjppro: 12-10-2021 - 06:07


#26 narutosasukevjppro

narutosasukevjppro

    Binh nhất

  • Thành viên mới
  • 31 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT Chuyên Lê Quý Đôn - Đà Nẵng
  • Sở thích:Số học

Đã gửi 12-10-2021 - 06:14

Bài 25.

Vì $\displaystyle b+1\vdots a$ nên ta đặt $\displaystyle b+1=ka$. Tương tự đặt $\displaystyle a^{3} -1=lb=l( ka-1) =lka-l$ và dẫn tới $\displaystyle a^{3} =lka-( l-1)$ tức là $ $$\displaystyle l-1\vdots a$. Đặt $\displaystyle l-1=ma\rightarrow l=ma+1$. Bây giờ với 

$a^{3} =( ma+1) ka-ma\\$
$\rightarrow a^{2} =k( ma+1) -m=0\\$
$\rightarrow a^{2} -mak+m-k=0$
Bây giờ coi phương trình trên là một phương trình bậc hai theo ẩn $\displaystyle a$ và các tham số $\displaystyle m,k$. Xét 
$\Delta =m^{2} k^{2} +4k-4m$
  • Nếu $\displaystyle m< k$ thì $\displaystyle 4m< 4k$ nên $\displaystyle \Delta  >m^{2} k^{2}$. Mặt khác, ta mong muốn $\displaystyle \Delta < ( mk+2)^{2}$. Khai triển ra ta có $\displaystyle m^{2} k^{2} +4mk+4 >m^{2} k^{2} +4k-4m$. Tức $\displaystyle 4mk+4-4k+4m >0\rightarrow mk-k+m-1 >-2$ hay $\displaystyle ( m-1)( k+1)  >-2$ .Vậy với $\displaystyle m\neq 0$ thì ta có $\displaystyle \Delta =( mk+1)^{2}$ dẫn tới $\displaystyle -4m+4k=2mk+1$ là một điều vô lí vì hai vế khác tính chẵn lẻ. \ Suy ra $\displaystyle m=0$ và ta có được $\displaystyle a=k^{2}$ và $\displaystyle b=ka-1=k^{3} -1$. Ta được một họ nghiệm đầu tiên là $\displaystyle \left( s ,s^{3} -1\right)$ với $\displaystyle s\geqslant 2$
  • Tiếp tục với $\displaystyle m >k$ thì ta lại có $\displaystyle \Delta < ( mk)^{2}$. Mặt khác ta mong muốn $\displaystyle \Delta  >( mk-2)^{2}$. Khai triển tương tự ta có $\displaystyle m^{2} k^{2} -4mk+4< m^{2} k^{2} +4k-4m\rightarrow 4k-4m-4+4mk >0$ hay $\displaystyle k-m-1+mk >0$ hay $\displaystyle ( k-1)( m+1)  >0$. \ Phụ thuộc vào dấu của $\displaystyle k-1$ nên nếu $\displaystyle k\neq 1$ thì ta có $\displaystyle \Delta =( mk-1)^{2}$ hay $\displaystyle -4m+4k=-2mk+1$ khác tính chẵn lẻ. Nên $\displaystyle k=1$. Thay vào ta có $\displaystyle a^{2} -ma+m-1=0$. Tính $\displaystyle a$ theo $\displaystyle m$ bằng công thức nghiệm cho ta $\displaystyle a=m-1$ và khi đó chỉ cần chọn $\displaystyle b=m-2$ là ổn. Một họ nghiệm khác của phương trình là $\displaystyle ( s,s-1)$ với $\displaystyle s\geqslant 3$
  • Với $\displaystyle m=k$ thì chọn họ nghiệm là $\displaystyle \left( s^{2} ,s^{3} -1\right)$ với $\displaystyle s\geqslant 2$ 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi narutosasukevjppro: 12-10-2021 - 06:14


#27 12DecMath

12DecMath

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 102 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Trường THPT chuyên Lê Quý Đôn Đà Nẵng
  • Sở thích:Số học
    Hình học

Đã gửi 12-10-2021 - 21:06

Bài 8.Tìm các số nguyên dương $\displaystyle a,b$ thỏa mãn $\displaystyle a!+b!=a^{b} +b^{a}$

UwU bài 8:

Xét các ước nguyên tố thì ta sẽ chứng minh được $a=b$

Đến đây bài toán dễ rồi. Ta sẽ có nghiệm là $a=b=1$



#28 narutosasukevjppro

narutosasukevjppro

    Binh nhất

  • Thành viên mới
  • 31 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT Chuyên Lê Quý Đôn - Đà Nẵng
  • Sở thích:Số học

Đã gửi 13-10-2021 - 06:22

Xét ảo zậy, nhưng vẫn thiếu 1 cặp nghiệm nữa nhé

UwU bài 8:

Xét các ước nguyên tố thì ta sẽ chứng minh được $a=b$

Đến đây bài toán dễ rồi. Ta sẽ có nghiệm là $a=b=1$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi narutosasukevjppro: 13-10-2021 - 06:39


#29 12DecMath

12DecMath

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 102 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Trường THPT chuyên Lê Quý Đôn Đà Nẵng
  • Sở thích:Số học
    Hình học

Đã gửi 13-10-2021 - 07:29

Xét ảo zậy, nhưng vẫn thiếu 1 cặp nghiệm nữa nhé

À soggi, mình quên xét trường hợp 1 số bằng 2, từ đó mình đẩy lên là được $a,b$ lẻ xong mình xét ước nguyên tố  :ukliam2: 
Còn bộ nghiệm là $(a,b)=(1,2)$ và $(2,1)$.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi 12DecMath: 13-10-2021 - 07:29


#30 12DecMath

12DecMath

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 102 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Trường THPT chuyên Lê Quý Đôn Đà Nẵng
  • Sở thích:Số học
    Hình học

Đã gửi 13-10-2021 - 07:51

Bài 10. Tìm tất cả các số nguyên dương $\displaystyle p,q,r,s >1$ thỏa mãn $\displaystyle p!+q!+r!=2^{s}$ (India Practice TST 2017)

Cho mình gửi link AoPS luôn nha  :wub: 
Lời giải: https://artofproblem...1557175p9502820



#31 12DecMath

12DecMath

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 102 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Trường THPT chuyên Lê Quý Đôn Đà Nẵng
  • Sở thích:Số học
    Hình học

Đã gửi 13-10-2021 - 08:47

Bài 12. Tìm tất cả các số nguyên dương $\displaystyle m$ và $\displaystyle p,q$ nguyên tố sao cho $\displaystyle 2^{m} p^{2} +1=q^{5}$

 

Bài 12.

Ta có: $2^mp^2+1=q^5 \Longleftrightarrow 2^mp^2=(q-1)(q^4+q^3+q^2+q+1)$

Xét $\text{gcd}(q-1,q^4+q^3+q^2+1)$

Ta có: $q^4+q^3+q^2+q+1=(q-1)(q^3+2q^2+3q+4)+5 \Longrightarrow \text{gcd}(q-1,q^4+q^3+q^2+q+1)\mid 5$

Xét trường hợp $q=2$: 

Suy ra: $\text{VP} \vdots 2 \Longrightarrow \text{VT} \vdots 2 \Longrightarrow 2^m=1 \Longrightarrow m=0$ (vô lí) 

Xét trường hợp $q > 2$ suy ra: $q-1$ chẵn và $q^4+q^3+q^2+q+1$ lẻ vì $\text{gcd}(q-1,q^4+q^3+q^2+q+1)\mid 5$

Nếu $\text{gcd}(q-1,q^4+q^3+q^2+q+1) = 5$ thì: $q-1=2^mp > q^4+q^3+q^2+q+1=p$ (vô lí) 

Suy ra: $\text{gcd}(q-1,q^4+q^3+q^2+q+1) = 1 \Longrightarrow q-1=2^m; q^4+q^3+q^2+q+1=p^2 (*)$ 

Xét $p=2 \Longrightarrow q=1$ (vô lí). Suy ra: $p>2$

$(*) \Longleftrightarrow q=2^m+1$. Xét $m$ lẻ: 

Suy ra: $\text{VP} \vdots 3 \Longrightarrow q=3 \Longrightarrow m=1, p=11$ (thỏa) 

Xét $m$ chẵn 
Nếu $m \geq 3$thì $q=2^m+1 \equiv 1 \pmod 8$
Suy ra: $p^2 \equiv 5 \pmod 8$ 
Không có $p$ thỏa mãn điều này. Vậy $m <3$

$m=2$ vô lí

Vậy ta có bộ nghiệm $(m,p,q)$ là $(1,11,3)$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi 12DecMath: 13-10-2021 - 09:31


#32 narutosasukevjppro

narutosasukevjppro

    Binh nhất

  • Thành viên mới
  • 31 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT Chuyên Lê Quý Đôn - Đà Nẵng
  • Sở thích:Số học

Đã gửi 13-10-2021 - 08:57

Bài 12.

Ta có: $2^mp^2+1=q^5 \Longleftrightarrow 2^mp^2=(q-1)(q^4+q^3+q^2+q+1)$

Xét $\text{gcd}(q-1,q^4+q^3+q^2+1)$

Ta có: $q^4+q^3+q^2+1=(q-1)(q^3+2q^2+3q+4)+5 \Longrightarrow \text{gcd}(q-1,q^4+q^3+q^2+1)\mid 5$

Xét trường hợp $q=2$: 

Suy ra: $\text{VP} \vdots 2 \Longrightarrow \text{VT} \vdots 2 \Longrightarrow 2^m=1 \Longrightarrow m=0$ (vô lí) 

Xét trường hợp $q > 2$ suy ra: $q-1$ chẵn và $q^4+q^3+q^2+1$ lẻ vì $\text{gcd}(q-1,q^4+q^3+q^2+1)\mid 5$

Nếu $\text{gcd}(q-1,q^4+q^3+q^2+1) = 5$ thì: $q-1=2^mp > q^4+q^3+q^2+1=p$ (vô lí) 

Suy ra: $\text{gcd}(q-1,q^4+q^3+q^2+1) = 1 \Longrightarrow q-1=2^m; q^4+q^3+q^2+1=p^2 (*)$ 

Xét $p=2 \Longrightarrow q=1$ (vô lí). Suy ra: $p >2 \Longrightarrow p-1,p+1$ chẵn

$(*) \Longleftrightarrow q^4+q^3+q^2=(p-1)(p+1) \Longrightarrow q=2$ (vô lí đã chứng minh ở trên) 

Vậy không tồn tại $q,p$ là các số nguyên tố và $m$ nguyên dương thỏa mãn.

bài này vẫn có nghiệm nhé


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi narutosasukevjppro: 13-10-2021 - 09:02


#33 12DecMath

12DecMath

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 102 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Trường THPT chuyên Lê Quý Đôn Đà Nẵng
  • Sở thích:Số học
    Hình học

Đã gửi 13-10-2021 - 09:31

bài này vẫn có nghiệm nhé

Sorry, mình đã sửa lại > . <



#34 narutosasukevjppro

narutosasukevjppro

    Binh nhất

  • Thành viên mới
  • 31 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT Chuyên Lê Quý Đôn - Đà Nẵng
  • Sở thích:Số học

Đã gửi 16-10-2021 - 21:20

Bài 40. Giải phương trình sau trên tập số nguyên dương $\displaystyle 2^{n} +n=m!$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi narutosasukevjppro: 16-10-2021 - 21:21


#35 narutosasukevjppro

narutosasukevjppro

    Binh nhất

  • Thành viên mới
  • 31 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT Chuyên Lê Quý Đôn - Đà Nẵng
  • Sở thích:Số học

Đã gửi Hôm qua, 20:39

Bài 41. Giải phương trình sau trên tập số nguyên dương $2^{x}+1=5^{y}+2^{z}$







4 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 4 khách, 0 thành viên ẩn danh