Đến nội dung


Hình ảnh

$6f(8x)-5f(4x)+f(2x)=60420x, \forall x\in \mathbb{R}.$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 1 trả lời

#1 MiTiBAM

MiTiBAM

    Binh nhì

  • Thành viên mới
  • 15 Bài viết

Đã gửi 04-10-2021 - 20:26

Tìm tất cả các hàm số liên tục $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ thỏa mãn điều kiện:
$6f(8x)-5f(4x)+f(2x)=60420x, \forall x\in \mathbb{R}.$


#2 LTBN

LTBN

    Binh nhất

  • Thành viên mới
  • 36 Bài viết
  • Giới tính:Nữ

Đã gửi 05-10-2021 - 17:17

Mình làm ntn nhưng không biết có đúng không nữa.

Từ giả thiết ta có $6f(4x)-5f(2x)+f(x)=30210x,\forall x\in\mathbb R$.

Đặt $g(x)=f(x)-2014x$ thì $g$ là hàm liên tục và $6g(4x)-5g(2x)+g(x)=0,\forall x\in\mathbb R$.

Đặt $h(x)=2g(2x)-g(x)$ thì $h$ là hàm liên tục và $3h(2x)=h(x),\forall x\in\mathbb R$.

Với mọi $x$ ta có $h(x)=\frac{1}{3}h\left(\frac{x}{2}\right)=\frac{1}{3^2}h\left(\frac{x}{2^2}\right)=...=\frac{1}{3^n}h\left(\frac{x}{2^n}\right)$.

Cho $n\to+\infty$ thì $h(x)=0,\forall x\in\mathbb R$.

Suy ra $2g(2x)=g(x),\forall x\in\mathbb R$. Lập luận tương tự ta có $g(x)=0,\forall x\in\mathbb R$.

Vậy $f(x)=2014x,\forall x\in\mathbb R$.






1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh