Đến nội dung

Hình ảnh

$6f(8x)-5f(4x)+f(2x)=60420x, \forall x\in \mathbb{R}.$

- - - - -

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 1 trả lời

#1
MiTiBAM

MiTiBAM

    Binh nhì

  • Thành viên mới
  • 15 Bài viết
Tìm tất cả các hàm số liên tục $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ thỏa mãn điều kiện:
$6f(8x)-5f(4x)+f(2x)=60420x, \forall x\in \mathbb{R}.$


#2
LTBN

LTBN

    Binh nhất

  • Thành viên mới
  • 37 Bài viết

Mình làm ntn nhưng không biết có đúng không nữa.

Từ giả thiết ta có $6f(4x)-5f(2x)+f(x)=30210x,\forall x\in\mathbb R$.

Đặt $g(x)=f(x)-2014x$ thì $g$ là hàm liên tục và $6g(4x)-5g(2x)+g(x)=0,\forall x\in\mathbb R$.

Đặt $h(x)=2g(2x)-g(x)$ thì $h$ là hàm liên tục và $3h(2x)=h(x),\forall x\in\mathbb R$.

Với mọi $x$ ta có $h(x)=\frac{1}{3}h\left(\frac{x}{2}\right)=\frac{1}{3^2}h\left(\frac{x}{2^2}\right)=...=\frac{1}{3^n}h\left(\frac{x}{2^n}\right)$.

Cho $n\to+\infty$ thì $h(x)=0,\forall x\in\mathbb R$.

Suy ra $2g(2x)=g(x),\forall x\in\mathbb R$. Lập luận tương tự ta có $g(x)=0,\forall x\in\mathbb R$.

Vậy $f(x)=2014x,\forall x\in\mathbb R$.






2 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 2 khách, 0 thành viên ẩn danh