Đến nội dung

Hình ảnh

Tìm GTNN của $\frac{x+2}{x^3(y+z)}+\frac{y+2}{y^3(z+x)}+\frac{z+2}{z^3(x+y)}$

- - - - -

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 1 trả lời

#1
MiTiBAM

MiTiBAM

    Binh nhì

  • Thành viên mới
  • 15 Bài viết

Cho ba số thực dương $x,y,z$ thỏa mãn $xyz=1$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P=\frac{x+2}{{{x}^{3}}(y+z)}+\frac{y+2}{{{y}^{3}}(z+x)}+\frac{z+2}{{{z}^{3}}(x+y)}.$



#2
KietLW9

KietLW9

    Đại úy

  • Điều hành viên THCS
  • 1737 Bài viết

Ta quy bài toán về tìm giá trị nhỏ nhất của hai biểu thức nhỏ sau: 

$\frac{1}{x^2(y+z)}+\frac{1}{y^2(z+x)}+\frac{1}{z^2(x+y)}$ (1) 

và $2(\frac{1}{x^3(y+z)}+\frac{1}{y^3(z+x)}+\frac{1}{z^3(x+y)})$ (2)

(1) Ta có: $\frac{1}{x^2(y+z)}+\frac{1}{y^2(z+x)}+\frac{1}{z^2(x+y)}=\frac{yz}{xy+zx}+\frac{zx}{yz+xy}+\frac{xy}{zx+zy}\geqslant \frac{3}{2}$ (Nesbitt)

(2) Quá quen thuộc, ví dụ ở đây: https://diendantoanh...1y3zxfrac1z3xy/

Đẳng thức xảy ra khi $x=y=z=1$


Trong cuộc sống không có gì là đẳng thức , tất cả đều là bất đẳng thức  :ukliam2:   :ukliam2: 

 

 

$\text{LOVE}(\text{KT}) S_a (b - c)^2 + S_b (c - a)^2 + S_c (a - b)^2 \geqslant 0\forall S_a,S_b,S_c\geqslant 0$

 

 

 





1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh