Đến nội dung


Hình ảnh

Chứng minh tồn tại vô số $n$ thỏa mãn $n \mid 1^n+2^n+3^n+\dots +k^n$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 1 trả lời

#1 12DecMath

12DecMath

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 106 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Trường THPT chuyên Lê Quý Đôn Đà Nẵng
  • Sở thích:Số học
    Hình học

Đã gửi 05-10-2021 - 16:23

Cho em hỏi bài này với ạ . 

Cho số nguyên $k>1$. Chứng minh tồn tại vô số $n$ thỏa mãn $n \mid 1^n+2^n+3^n+\dots +k^n$.
 


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi 12DecMath: 05-10-2021 - 16:24

Nhìn chữ kí đẹp quá uWu
Em làm cho đẹp uWu 


#2 LTBN

LTBN

    Binh nhất

  • Thành viên mới
  • 36 Bài viết
  • Giới tính:Nữ

Đã gửi 05-10-2021 - 19:17

+) k lẻ: Chọn ước nguyên tố p bất kì của k.

Dễ thấy $1^p\equiv 1(modp);2^p\equiv 2(modp);...;k^p\equiv k(modp)\Rightarrow 1^p+2^p+...+k^p\equiv 1+2+...+k\equiv 0(modp)\Rightarrow 1^p+2^p+...+k^p\vdots p$.

Với $1\leq a<p$, đặt $a^p=x;(p-a)^p=y$. Khi đó $x+y\vdots p$.

Ta có $x^p+y^p=(x+y)(x^{p-1}-x^{p-2}y+...+y^{p-1})$.

Có $x^{p-1}-x^{p-2}y+...+y^{p-1}\equiv x^{p-1}-x^{p-2}(-x)+...+(-x)^{p-1}\equiv px^{p-1}\equiv 0(modp)\Rightarrow a^{p^2}+(p-a)^{p^2}\vdots p^2$.

Giả sử với $n\in\mathbb N^*$, ta có $a^{p^n}+(p-a)^{p^n}\vdots p^n$. (*)

Ta chứng minh (*) cũng đúng với $n+1$. Thật vậy $a^{p^{n+1}}+(p-a)^{p^{n+1}}=x^p+y^p=(x+y)(x^{p-1}-x^{p-2}y+...+y^{p-1})$ với $x=a^{p^n};y=(p-a)^{p^n}$.

Theo giả thiết quy nạp thì $x+y\vdots p^n$.

Mặt khác $x+y\vdots p$ nên $x^{p-1}-x^{p-2}y+...+y^{p-1}\vdots p$ (chứng minh tương tự ở trên).

Suy ra $a^{p^{n+1}}+(p-a)^{p^{n+1}}\vdots p^{n+1}$.

Do đó (*) đúng với mọi $n\in\mathbb N^*$.

Từ đó $1^{p^n}+2^{p^n}+...+p^{p^n}=[1^{p^n}+(p-1)^{p^n}]+...+\left[\left(\frac{p-1}{2}\right)^{p^n}+\left(\frac{p+1}{2}\right)^{p^n}\right]+p^{p^n}\vdots p^n$.

+) k chẵn: Lấy ước nguyên tố bất kì của k + 1 rồi làm tương tự.

Vậy ta có đpcm.

 

 






1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh