Cho em hỏi bài này với ạ .
Cho số nguyên $k>1$. Chứng minh tồn tại vô số $n$ thỏa mãn $n \mid 1^n+2^n+3^n+\dots +k^n$.
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi 12DecMath: 05-10-2021 - 16:24
Cho em hỏi bài này với ạ .
Cho số nguyên $k>1$. Chứng minh tồn tại vô số $n$ thỏa mãn $n \mid 1^n+2^n+3^n+\dots +k^n$.
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi 12DecMath: 05-10-2021 - 16:24
Nhìn chữ kí đẹp quá uWu
Em làm cho đẹp uWu
+) k lẻ: Chọn ước nguyên tố p bất kì của k.
Dễ thấy $1^p\equiv 1(modp);2^p\equiv 2(modp);...;k^p\equiv k(modp)\Rightarrow 1^p+2^p+...+k^p\equiv 1+2+...+k\equiv 0(modp)\Rightarrow 1^p+2^p+...+k^p\vdots p$.
Với $1\leq a<p$, đặt $a^p=x;(p-a)^p=y$. Khi đó $x+y\vdots p$.
Ta có $x^p+y^p=(x+y)(x^{p-1}-x^{p-2}y+...+y^{p-1})$.
Có $x^{p-1}-x^{p-2}y+...+y^{p-1}\equiv x^{p-1}-x^{p-2}(-x)+...+(-x)^{p-1}\equiv px^{p-1}\equiv 0(modp)\Rightarrow a^{p^2}+(p-a)^{p^2}\vdots p^2$.
Giả sử với $n\in\mathbb N^*$, ta có $a^{p^n}+(p-a)^{p^n}\vdots p^n$. (*)
Ta chứng minh (*) cũng đúng với $n+1$. Thật vậy $a^{p^{n+1}}+(p-a)^{p^{n+1}}=x^p+y^p=(x+y)(x^{p-1}-x^{p-2}y+...+y^{p-1})$ với $x=a^{p^n};y=(p-a)^{p^n}$.
Theo giả thiết quy nạp thì $x+y\vdots p^n$.
Mặt khác $x+y\vdots p$ nên $x^{p-1}-x^{p-2}y+...+y^{p-1}\vdots p$ (chứng minh tương tự ở trên).
Suy ra $a^{p^{n+1}}+(p-a)^{p^{n+1}}\vdots p^{n+1}$.
Do đó (*) đúng với mọi $n\in\mathbb N^*$.
Từ đó $1^{p^n}+2^{p^n}+...+p^{p^n}=[1^{p^n}+(p-1)^{p^n}]+...+\left[\left(\frac{p-1}{2}\right)^{p^n}+\left(\frac{p+1}{2}\right)^{p^n}\right]+p^{p^n}\vdots p^n$.
+) k chẵn: Lấy ước nguyên tố bất kì của k + 1 rồi làm tương tự.
Vậy ta có đpcm.
0 thành viên, 2 khách, 0 thành viên ẩn danh