Đến nội dung

Hình ảnh

Chứng minh $\overrightarrow {OA_1}+\overrightarrow {OA_2}+\cdots +\overrightarrow {OA_n}=\overrightarrow {0} $

- - - - -

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 4 trả lời

#1
tthnew

tthnew

    Hạ sĩ

  • Điều hành viên THCS
  • 67 Bài viết

Cho đa giác đều $A_1A_2\cdots A_n$ với $n\in \mathbb{N}$ và $n\geqslant 3$ có tâm $O.$ Chứng minh rằng

\[\overrightarrow {OA_1}+\overrightarrow {OA_2}+\cdots +\overrightarrow {OA_n}=\overrightarrow {0} \]



#2
LTBN

LTBN

    Binh nhất

  • Thành viên mới
  • 37 Bài viết

+) Với n chẵn thì ta chia thành các cặp vecto đối nhau thì có đpcm.

Xét trường hợp n lẻ.

Đặt $\overrightarrow{u}=\sum_{i=1}^n\overrightarrow{OA_i}$.

Giả sử $\overrightarrow{u}\neq \overrightarrow{0}$.

Do các cặp vectơ $\overrightarrow{OA_2},\overrightarrow{OA_n}$;$\overrightarrow{OA_3},\overrightarrow{OA_{n-1}}$;... đối xứng với nhau qua $OA_1$ nên các vectơ $\overrightarrow{OA_2}+\overrightarrow{OA_n},\overrightarrow{OA_3}+\overrightarrow{OA_{n-1}};...;\overrightarrow{OA_{\frac{n-1}{2}}}+\overrightarrow{OA_\frac{n+1}{2}}$ cùng phương với vectơ $\overrightarrow{OA_1}$.

Do đó $\overrightarrow{u}$ cùng phương với $\overrightarrow{OA_1}$.

Hoàn toàn tương tự ta có $\overrightarrow{u}$ cùng phương với $\overrightarrow{OA_2}$. (vô lí)

Vậy $\overrightarrow{u}=\overrightarrow{0}$.

 



#3
tthnew

tthnew

    Hạ sĩ

  • Điều hành viên THCS
  • 67 Bài viết

+) Với n chẵn thì ta chia thành các cặp vecto đối nhau thì có đpcm.

Xét trường hợp n lẻ.

Đặt $\overrightarrow{u}=\sum_{i=1}^n\overrightarrow{OA_i}$.

Giả sử $\overrightarrow{u}\neq \overrightarrow{0}$.

Do các cặp vectơ $\overrightarrow{OA_2},\overrightarrow{OA_n}$;$\overrightarrow{OA_3},\overrightarrow{OA_{n-1}}$;... đối xứng với nhau qua $OA_1$ nên các vectơ $\overrightarrow{OA_2}+\overrightarrow{OA_n},\overrightarrow{OA_3}+\overrightarrow{OA_{n-1}};...;\overrightarrow{OA_{\frac{n-1}{2}}}+\overrightarrow{OA_\frac{n+1}{2}}$ cùng phương với vectơ $\overrightarrow{OA_1}$.

Do đó $\overrightarrow{u}$ cùng phương với $\overrightarrow{OA_1}$.

Hoàn toàn tương tự ta có $\overrightarrow{u}$ cùng phương với $\overrightarrow{OA_2}$. (vô lí)

Vậy $\overrightarrow{u}=\overrightarrow{0}$.

 

Mình (em) nghĩ đoạn $\overrightarrow{OA_{\dfrac{n-1}{2}}},\overrightarrow{OA_\dfrac{n+1}{2}}$ đối xứng nhau qua $OA_1$ có gì đó sai sai.

Chẳng hạn lấy $n=7,$ khi đó ta có $OA_3,OA_4$ đối xứng nhau qua $OA_1?$

rtxb4gV.png

Tuy nhiên nếu sửa lại là $\overrightarrow{OA_{\dfrac{n-1}{2}}},\overrightarrow{OA_\dfrac{n+5}{2}}$ thì mình thấy nó đúng với $n\ge 5.$ (đã thử $n=5,7,9,11.$)

Edit. Hình như cũng không hẳn là đúng vì nó chưa phải là "cặp cuối cùng". Có lẽ $\overrightarrow{OA_{\dfrac{n+1}{2}}},\overrightarrow{OA_\dfrac{n+3}{2}}$ thì đúng hơn.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tthnew: 05-10-2021 - 20:15


#4
perfectstrong

perfectstrong

    $LOVE(x)|_{x =\alpha}^\Omega=+\infty$

  • Quản lý Toán Ứng dụng
  • 4991 Bài viết

Để ý là nếu một vector $\overrightarrow{u}$ sau phép quay có góc không phải $k2\pi$ mà vẫn là $\overrightarrow{u}$ thì $\overrightarrow{u} = \overrightarrow{0}$.

Xét phép quay tâm $O$ với góc $(\overrightarrow{OA_1}, \overrightarrow{OA_2})$ thì vế trái không đổi. Ta có đpcm.


Luôn yêu để sống, luôn sống để học toán, luôn học toán để yêu!!! :D
$$\text{LOVE}\left( x \right)|_{x = \alpha}^\Omega = + \infty $$
I'm still there everywhere.

#5
Hunghcd

Hunghcd

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 83 Bài viết

Bn thử lấy trung điểm của 2 cạnh bất kì r cm $\overrightarrow{u}$ cùng phương đường thẳng nối O với 2 tđ này xem


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Hunghcd: 06-10-2021 - 10:31





1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh