Đối đồng điều (cohomology) nói nôm na là công cụ để đo các cản trở (obstruction) khi ta cố gắng làm gì đó. Ta không thể làm được một điều gì đó nếu đối đồng điều tương ứng là khác 0. Lý thuyết đối đồng điều là lý thuyết nghiên cứu về các cản trở.
Chủ đề này sẽ bắt đầu với đối đồng điều nhóm. Hi vọng mọi người có thể đóng góp thêm các ví dụ khác.
1. Giới thiệu về $\text{H}^1$
Ta cho $G$ là một nhóm. Nhắc lại rằng nếu $A$ là một nhóm thì một tác động (action) của $G$ trên $A$ bởi các tự đẳng cấu nhóm là một đồng cấu $\rho: G \to \text{Aut}(A)$. Với $g \in G$ và $a \in A$, ta sẽ ký hiệu ${}^g a$ thay cho $\rho(g)(a)$ nếu không có gì nhầm lẫn. Như vậy ta có các công thức $${}^g(^h a) = {}^{gh}a,$$ $${}^1 a = a $$ $${}^g(ab) = {}^g a {}^g b$$ với mọi $g,h \in G$ và $a,b \in A$. Chẳng hạn, ta luôn có thể xét tác động liên hợp của $G$ lên chính nó (hay nói cách khác là tác động bởi các tự đẳng cấu trong), cho bởi $${}^g a := gag^{-1}$$ với mọi $g,a \in G$.
Một nhóm được trang bị một tác động của $G$ bởi các tự đẳng cấu nhóm được gọi là một $G$-nhóm. Một đồng cấu nhóm $f: A \to B$ giữa hai $G$-nhóm được gọi là $G$-đẳng biến ($G$-equivariant) nếu nó tương thích với tác động của $G$ trên $A$ và trên $B$, nghĩa là $$f({}^ga) = {}^g f(a)$$ với mọi $g \in G$ và $a \in A$.
Khi $A$ là một $G$-nhóm, ta có một nhóm con tự nhiên của $A$ là $$A^G:=\{a \in A: \forall g \in G,\,{}^g a = a\},$$ nó được gọi là nhóm con bất biến (invariant subgroup) của $A$ bởi $G$. Nhóm này có tính hàm tử theo nghĩa: Nếu $f: A \to B$ là một đồng cấu $G$-đẳng biến thì $f(A^G) \subseteq B^G$.
Bây giờ ta xét $B$ là một $G$-nhóm và $A$ là một nhóm con chuẩn tắc và $G$-ổn định của $B$ (nghĩa là ${}^g a \in A$ với mọi $a \in A$ và $g \in G$). Nói cách khác, ta có thể coi $A$ như một $G$-nhóm sao cho phép bao hàm $A \to B$ là một đồng cấu $G$-đẳng biến. Vì $A$ là $G$-ổn định, ta có thể định nghĩa tốt một tác động của $G$ trên nhóm thương $B/A$ bởi $${}^g [b] := [{}^g b]$$ với mọi $g \in G$ và $b \in B$ (ở đây $[b] \in B/A$ là ký hiệu của lớp kề trái $bA$). Đây là tác động duy nhất của $G$ trên $B/A$ sao cho phép chiếu $B \to B/A$ là một đồng cấu $G$-đẳng biến.
Ta tìm hiểu các nhóm con bất biến $A^G, B^G$ và $(B/A)^G$. Dễ thấy $A^G$ là một nhóm con của $B^G$. Câu hỏi đặt ra là liệu ta có một đẳng cấu $B^G / A^G \simeq (B/A)^G$ hay không? Nói rõ hơn, nếu $c \in B/A$ là một phần tử $G$-bất biến, liệu nó có đến từ một phần tử $G$-bất biến của $B$ không? Câu trả lời nói chung là không, và ta sẽ xem điều gì đã cản trở việc đó.
Ta bắt đầu bằng việc viết $c = [b]$ với $b \in B$ tùy ý (không nhất thiết thiết $b \in B^G$). Giả thiết $c \in (B/A)^G$ có nghĩa là $[{}^g b] = [b]$ với mọi $g \in G$, do đó ta có thể viết ${}^g b = b\alpha_g$ với $\alpha_g \in A$ (phụ thuộc vào $g \in G$). Như vậy ta có $$\alpha_g = b^{-1}({}^g b)$$ với mọi $g \in G$. Từ đó ta dễ dàng kiểm tra được rằng ánh xạ $\alpha: G \to A,\ g \mapsto \alpha_g$ thỏa mãn $$\alpha_{gh} = \alpha_g {}^g \alpha_h$$ với mọi $g, h \in G$. Một ánh xạ $\alpha$ như vậy được gọi là một 1-đối chu trình (cocycle) với hệ số trong $A$. Ta ký hiệu tập hợp các 1-đối chu trình với hệ số trong $A$ bởi $\text{Z}^1(G,A)$.
Giả sử $b' \in B$ là một đại diện khác của $c$, nghĩa là $b' = ba$ với $a \in A$ nào đó. Ta xây dựng 1-đối chu trình $\alpha' \in \text{Z}^1(G,A)$ tương tự như trên, nghĩa là $$\alpha'_g = (b')^{-1}({}^g b') = a^{-1} b^{-1}({}^g b)({}^g a) = a^{-1} \alpha_g {}^g a$$ với mọi $g \in G$. Như vậy, để cách xây dựng $\alpha$ không phụ thuộc vào cách chọn đại diện $b$ mà chỉ phụ thuộc vào $c$, ta cần một quan hệ tương đương trên $\text{Z}^1(G,A)$ sao cho $\alpha$ tương đương với $\alpha'$. Cụ thể, quan hệ đó như sau: Ta nói hai 1-đối chu trình $\alpha,\alpha' \in \text{Z}^1(G,A)$ là đối đồng điều (cohomologuous) với nhau nếu tồn tại $a \in A$ sao cho $$\alpha'_g = a^{-1}\alpha_g {}^g a$$ với mọi $g \in G$. Ta dễ dàng kiểm tra được rằng đây là một quan hệ tương đương trên tập $\text{Z}^1(G,A)$. Tập thương của $\text{Z}^1(G,A)$ được gọi là tập đối đồng điều thứ nhất của $G$ với hệ số trong $A$, và được ký hiệu bởi $\text{H}^1(G,A)$. Ta ký hiệu lớp đối đồng điều của một đối chu trình $\alpha \in \text{Z}^1(G,A)$ bởi $[\alpha] \in \text{H}^1(G,A)$. Như vậy, với mỗi phần tử $c \in B/A$, ta đã xây dựng một lớp đối đồng điều trong $\text{H}^1(G,A)$ được đại diện bởi 1-chu trình $$\alpha: G \to A, \qquad g \mapsto b^{-1}({}^g b)$$ với $b \in B$ là một đại diện tùy ý của $c$. Ta ký hiệu lớp đối đồng điều này bởi $\delta c$.
Tập hợp $\text{H}^1(G,A)$ nói chung không có một phép toán tự nhiên. Tuy nhiên, nó là một tập hợp định điểm (pointed set). Thật vậy, ánh xạ $1: G \to A, \qquad g \mapsto 1$ là một đối chu trình, và lớp đối đồng điều $[1] \in \text{H}^1(G,A)$ của nó là tập các đối chu trình có dạng $g \mapsto a^{-1} ({}^g) a$ với $a \in A$ nào đó. Ta coi đó là điểm đặc biệt của $\text{H}^1(G,A)$, và như vậy $\text{H}^1(G,A)$ trở thành một tập hợp định điểm. Từ đây ta có câu trả lời cho câu hỏi: khi nào $c \in (B/A)^G$ đến từ một phần tử của $B^G$.
Định lý 1. $c \in (B/A)^G$ là ảnh của một phần tử $b \in B^G$ khi và chỉ khi $\delta c$ là điểm đặc biệt của $\text{H}^1(G,A)$.
Chứng minh
Điều kiện cần. Giả sử $c = [b]$ với $b \in B^G$. Thế thì $\delta c \in \text{H}^1(G,A)$ được đại diện bởi đối chu trình $\alpha: G \to A$ cho bởi công thức $$\alpha_g = b^{-1}({}^g b) = b^{-1}b = 1$$ với mọi $g \in G$ (vì $b \in B^G$ nên ${}^g b = b$). Vậy $\alpha$ là đối chu trình tầm thường, nghĩa là $\delta c$ chính là điểm đặc biệt của $\text{H}^1(G,A)$.
Điều kiện đủ. Giả sử $\delta c$ là điểm đặc biệt của $\text{H}^1(G,A)$. Ta chọn một đại diện $b \in B$ tùy ý của $c$ và xét đối chu trình $\alpha: G \to A$ cho bởi công thức $\alpha_g = b^{-1}({}^g b)$. Vì $[\alpha] = \delta c$ là điểm đặc biệt nên tồn tại $a \in A$ sao cho $$b^{-1}({}^g b) = \alpha_g = a^{-1}({}^g a)$$ với mọi $g \in A$. Từ đó ta có $ba^{-1} = {}^g (ba^{-1})$ với mọi $g \in G$, nghĩa là $ba^{-1} \in B^G$. Mặt khác ta có $c = [b] = [ba^{-1}]$, vậy $c$ đến từ một phần tử $B^G$. $\square$
Tập hợp định điểm $\text{H}^1(G,A)$ có tính hàm tử. Cụ thể, nếu $f: A \to B$ là một đồng cấu $G$-đẳng biến giữa hai $G$-nhóm thì nó cảm sinh một ánh xạ $$f_\ast: \text{Z}^1(G,A) \to \text{Z}^1(G,B), \qquad \alpha \mapsto f \circ \alpha.$$ Ta cũng kiểm tra một cách dễ dàng rằng $f_\ast$ bảo toàn quan hệ đối đồng điều, vì thế nó cảm sinh một ánh xạ $$f_\ast: \text{H}^1(G,A) \to \text{H}^1(G,B), \qquad [\alpha] \mapsto [f \circ \alpha].$$ Ánh xạ này gửi điểm đặc biệt của $\text{H}^1(G,A)$ vào điểm đặc biệt của $\text{H}^1(G,B)$.
Ta diễn tả lại Định lý 1 ở trên bằng ngôn ngữ dãy khớp. Một dãy khớp ngắn các $G$-nhóm được cho bởi $$1 \to A \xrightarrow{u} B \xrightarrow{v} C \to 1,$$ trong đó $A, B, C$ là các $G$-nhóm và $f,g$ là các đồng cấu nhóm $G$-đẳng biến. Tính khớp ở đây nghĩa là
- $\text{Im}(1 \to A) = \text{Ker}(u: A \to B)$, hay $u$ là một đơn cấu (vậy ta có thể coi $A$ là một nhóm con của $B$).
- $\text{Im}(u: A \to B) = \text{Ker}(v: B \to C)$ (vậy ta có thể coi $A$ là một nhóm con chuẩn tắc của $B$).
- $\text{Im}(v: B \to C) = \text{Ker}(C \to 1)$, hay $v$ là một toàn cấu (vậy ta có thể coi $C = B/A$).
Nói riêng, hạn chế $A^G \to B^G$ của $u$ vẫn là một đơn cấu. Ngoài ra, ta có dãy khớp $$1 \to A^G \to B^G \to C^G,$$ vì nếu $b \in B^G$ gửi vào $1 \in C^G$ thì $b = u(a)$ với $a \in A$ nào đó. Vì $b \in B^G$ và $u$ là $G$-đẳng biến nên $$u({}^g a) = {}^g u(a) = {}^g b = b = u(a)$$ với mọi $g \in G$. Vì $u$ là một đơn cấu nên ta có ${}^g a = a$ với mọi $g \in G$, nên $a \in A^G$.
Ta đã thấy rằng một phần tử của $C^G$ không nhất thiết đến từ $B^G$, nghĩa là dãy khớp trên nói chung không mở rộng được thành $$1 \to A^G \to B^G \to C^G \to 1.$$ Tuy nhiên, nhờ các tập hợp định điểm $\text{H}^1(G,-)$, ta có
Định lý 2. Ta có dãy khớp dài các tập hợp định điểm $$1 \to A^G \xrightarrow{u} B^G \xrightarrow{v} C^G \xrightarrow{\delta} \text{H}^1(G,A) \xrightarrow{u_\ast} \text{H}^1(G,B) \xrightarrow{v_\ast} \text{H}^1(G,C).$$
(một dãy $X \to Y \to Z$ các tập hợp định điểm được gọi là khớp tại $Y$ nếu tập các phần tử của $Y$ được gửi vào phần tử đặc biệt của $Z$ chính là ảnh của $X \to Y$).
Chứng minh
Tính khớp tại $A^G$ và $B^G$ đã được chỉ ra ở trên. Tính khớp tại $C^G$ chính là nội dung của Định lý 1. Như vậy ta còn phải kiểm tra tính khớp tại $\text{H}^1(G,A)$ và tại $\text{H}^1(G,B)$.
Tính khớp tại $\text{H}^1(G,A)$. Cho $c \in C^G$. Viết $c = v(b)$ với $b \in B$. Thế thì $\delta = [\alpha]$, với $\alpha: G \to A$ là đối chu trình cho bởi công thức $$u(\alpha_g) = b^{-1}({}^g b)$$ với mọi $g \in G$. Tuy nhiên điều này có nghĩa là $u \circ \alpha \in \text{Z}^1(G,B)$ đối đồng điều với đối chu trình tầm thường, hay $u_\ast \delta c = u_\ast[\alpha]$ là điểm đặc biệt của $\text{H}^1(G,B)$. Ngược lại, cho $\alpha: G \to A$ là một 1-đối chu trình sao cho $u_\ast[\alpha] = [u \circ \alpha]$ là điểm đặc biệt của $\text{H}^1(G,B)$, thế thì tồn tại $b \in B$ sao cho $$u(\alpha_g) = b^{-1}({}^g b)$$ với mọi $g \in G$. Nhận xét rằng $$v(b)^{-1} ({}^g v(b)) = v(u(\alpha_g)) = 1,$$ suy ra $v(b) = {}^g v(b)$ với mọi $g \in G$, nghĩa là $v(b) \in C^G$. Ngoài ra, công thức trên cho thấy rằng $[\alpha] = \delta c$. Vậy $[\alpha]$ đến từ một phần tử của $C^G$.
Tính khớp tại $\text{H}^1(G,B)$. Cho $\alpha: G \to A$ là một đối chu trình, thế thì $v(u(\alpha_g)) = 1$ với mọi $g \in G$, nghĩa là $v \circ u \circ \alpha \in \text{Z}^1(G,C)$ là đối chu trình tầm thường, vậy $v_\ast u_\ast [\alpha]$ là điểm đặc biệt của $\text{H}^1(G,C)$. Ngược lại, giả sử $\beta: G \to B$ là một đối chu trình sao cho $[v \circ \beta]$ là điểm đặc biệt của $\text{H}^1(G,C)$. Thế thì tồn tại $c \in C$ sao cho $v(\beta_g) = c^{-1} ({}^g c)$ với mọi $g \in G$. Ta viết $c = v(b)$ với $b \in B$, thế thì với mỗi $g \in G$, ta có $v(b \beta_g ({}^g b)^{-1}) = 1$, suy ra tồn tại $\alpha_g \in A$ sao cho $b\beta_g ({}^g b)^{-1} = u(\alpha_g)$ (do tính khớp của dãy $1 \to A \to B \to C \to 1$). Ta kiểm tra rằng $$\alpha: G \to A, \qquad g \mapsto \alpha_g$$ là một đối chu trình. Thật vậy, với $g,h \in G$, vì $\beta$ là một đối chu trình nên $$u(\alpha_{gh}) = b\beta_{gh} ({}^{gh} b)^{-1} = b \beta_g {}^g \beta_h ({}^{gh} b)^{-1} = (b\beta_g ({}^g b)^{-1}) {}^g(b\beta_h ({}^h b)^{-1}) = u(\alpha_g) u({}^g \alpha_h),$$ suy ra $\alpha_{gh} = \alpha_g {}^g \alpha_h$. Vậy $\alpha \in \text{Z}^1(G,A)$. Bây giờ, nhận xét rằng $\beta_g = b^{-1} u(\alpha_g) {}^g b$ với mọi $g \in G$, do đó ta có $[\beta] = [u \circ \alpha]$ trong $\text{H}^1(G,B)$, vậy $\beta$ đến từ lớp đối đồng điều $[\alpha] \in \text{H}^1(G,B)$. $\square$
Ta kết thúc với nhận xét sau đây đối với đối đồng điều abel. Cho $A$ là một $G$-nhóm. Khi $A$ là một nhóm abel, ta gọi $A$ một $G$-môđun. Một đồng cấu giữa hai $G$-môđun đơn giản là một đồng cấu nhóm $G$-đẳng biến. Một đối chu trình $\alpha: G \to A$ là một ánh xạ thỏa mãn $$\alpha_{gh} = \alpha_g + {}^g \alpha_h$$ với mọi $g,h \in G$ (ta cũng gọi $\alpha$ là một đồng cấu chéo (crossed homomorphism).
Lúc này, $\text{Z}^1(G,A)$ có một cấu trúc nhóm abel tự nhiên cho bởi $$(\alpha + \alpha')_g := \alpha_g + \alpha'_g$$ với mọi $\alpha,\alpha' \in \text{Z}^1(G,A)$ và $g \in G$. Lớp đặc biệt (gồm các đối chu trình dạng $g \mapsto {}^g a - a$ với $a \in A$) là một nhóm con của $\text{Z}^1(G,A)$. Ta ký hiệu nhóm này bởi $\text{B}^1(G,A)$ và gọi các phần tử của nó là các 1-đối biên (coboundary). Hai đối chu trình là đối đồng điều với nhau khi và chỉ khi hiệu của chúng là một đối biên, nghĩa là ta có $\text{H}^1(G,A) = \text{Z}^1(G,A) / \text{B}^1(G,A)$.
Nếu $0 \to A \to B \to C \to 0$ là một dãy khớp các $G$-môđun. Ta có dãy khớp dài các nhóm abel $$0 \to A^G \to B^G \to C^G \xrightarrow{\delta} \text{H}^1(G,A) \to \text{H}^1(G,B) \to \text{H}^1(G,C).$$
Trong trường hợp abel, ta có thể nối dài dãy khớp trên. Cụ thể, ta có thể định nghĩa nhóm $\text{Z}^n(G,A)$ các $n$-đối chu trình và nhóm con $\text{B}^n(G,A)$ các $n$-đối biên của nó. Nhóm đối đồng điều thứ $n$ của $G$ với hệ số trong $A$ là $\text{H}^n(G,A) = \text{Z}^n(G,A) / \text{B}^n(G,A)$. Nếu $0 \to A \to B \to C \to 0$ là một dãy khớp ngắn các $G$-môđun thì tồn tại các đồng cấu nhóm tự nhiên $$\delta: \text{H}^n(G,C) \to \text{H}^{n+1}(G,A)$$ sao (được gọi là các đồng cấu nối - connecting homomorphism) cho ta có dãy khớp dài $$\cdots \to \text{H}^{n-1}(G,C) \to \text{H}^n(G,A) \to \text{H}^n(G,B) \to \text{H}^n(G,C) \to \text{H}^{n+1}(G,A) \to \cdots $$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nmlinh16: 07-10-2021 - 04:22