Đến nội dung


Hình ảnh

Đối đồng điều: Lý thuyết về các cản trở

đối đồng điều nhóm đại số

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 6 trả lời

#1 nmlinh16

nmlinh16

    Binh nhất

  • Thành viên mới
  • 45 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Hạ Long
  • Sở thích:Arithmetic geometry

Đã gửi 07-10-2021 - 00:58

Đối đồng điều (cohomology) nói nôm na là công cụ để đo các cản trở (obstruction) khi ta cố gắng làm gì đó. Ta không thể làm được một điều gì đó nếu đối đồng điều tương ứng là khác 0. Lý thuyết đối đồng điều là lý thuyết nghiên cứu về các cản trở.

 

Chủ đề này sẽ bắt đầu với đối đồng điều nhóm. Hi vọng mọi người có thể đóng góp thêm các ví dụ khác.

 

 

1. Giới thiệu về $\text{H}^1$

 

Ta cho $G$ là một nhóm. Nhắc lại rằng nếu $A$ là một nhóm thì một tác động (action) của $G$ trên $A$ bởi các tự đẳng cấu nhóm là một đồng cấu $\rho: G \to \text{Aut}(A)$. Với $g \in G$ và $a \in A$, ta sẽ ký hiệu ${}^g a$ thay cho $\rho(g)(a)$ nếu không có gì nhầm lẫn. Như vậy ta có các công thức $${}^g(^h a) = {}^{gh}a,$$ $${}^1 a = a $$ $${}^g(ab) = {}^g a {}^g b$$ với mọi $g,h \in G$ và $a,b \in A$. Chẳng hạn, ta luôn có thể xét tác động liên hợp của $G$ lên chính nó (hay nói cách khác là tác động bởi các tự đẳng cấu trong), cho bởi $${}^g a := gag^{-1}$$ với mọi $g,a \in G$.

Một nhóm được trang bị một tác động của $G$ bởi các tự đẳng cấu nhóm được gọi là một $G$-nhóm. Một đồng cấu nhóm $f: A \to B$ giữa hai $G$-nhóm được gọi là $G$-đẳng biến ($G$-equivariant) nếu nó tương thích với tác động của $G$ trên $A$ và trên $B$, nghĩa là $$f({}^ga) = {}^g f(a)$$ với mọi $g \in G$ và $a \in A$.

 

Khi $A$ là một $G$-nhóm, ta có một nhóm con tự nhiên của $A$ là $$A^G:=\{a \in A: \forall g \in G,\,{}^g a = a\},$$ nó được gọi là nhóm con bất biến (invariant subgroup) của $A$ bởi $G$. Nhóm này có tính hàm tử theo nghĩa: Nếu $f: A \to B$ là một đồng cấu $G$-đẳng biến thì $f(A^G) \subseteq B^G$.

 

Bây giờ ta xét $B$ là một $G$-nhóm và $A$ là một nhóm con chuẩn tắc và $G$-ổn định của $B$ (nghĩa là ${}^g a \in A$ với mọi $a \in A$ và $g \in G$). Nói cách khác, ta có thể coi $A$ như một $G$-nhóm sao cho phép bao hàm $A \to B$ là một đồng cấu $G$-đẳng biến. Vì $A$ là $G$-ổn định, ta có thể định nghĩa tốt một tác động của $G$ trên nhóm thương $B/A$ bởi $${}^g [b] := [{}^g b]$$ với mọi $g \in G$ và $b \in B$ (ở đây $[b] \in B/A$ là ký hiệu của lớp kề trái $bA$). Đây là tác động duy nhất của $G$ trên $B/A$ sao cho phép chiếu $B \to B/A$ là một đồng cấu $G$-đẳng biến.

 

Ta tìm hiểu các nhóm con bất biến $A^G, B^G$ và $(B/A)^G$. Dễ thấy $A^G$ là một nhóm con của $B^G$. Câu hỏi đặt ra là liệu ta có một đẳng cấu $B^G / A^G \simeq (B/A)^G$ hay không? Nói rõ hơn, nếu $c \in B/A$ là một phần tử $G$-bất biến, liệu nó có đến từ một phần tử $G$-bất biến của $B$ không? Câu trả lời nói chung là không, và ta sẽ xem điều gì đã cản trở việc đó.

 

Ta bắt đầu bằng việc viết $c = [b]$ với $b \in B$ tùy ý (không nhất thiết thiết $b \in B^G$). Giả thiết $c \in (B/A)^G$ có nghĩa là $[{}^g b] = [b]$ với mọi $g \in G$, do đó ta có thể viết ${}^g b = b\alpha_g$ với $\alpha_g \in A$ (phụ thuộc vào $g \in G$). Như vậy ta có $$\alpha_g = b^{-1}({}^g b)$$ với mọi $g \in G$. Từ đó ta dễ dàng kiểm tra được rằng ánh xạ $\alpha: G \to A,\ g \mapsto \alpha_g$ thỏa mãn $$\alpha_{gh} = \alpha_g {}^g \alpha_h$$ với mọi $g, h \in G$. Một ánh xạ $\alpha$ như vậy được gọi là một 1-đối chu trình (cocycle) với hệ số trong $A$. Ta ký hiệu tập hợp các 1-đối chu trình với hệ số trong $A$ bởi $\text{Z}^1(G,A)$.

 

Giả sử $b' \in B$ là một đại diện khác của $c$, nghĩa là $b' = ba$ với $a \in A$ nào đó. Ta xây dựng 1-đối chu trình $\alpha' \in \text{Z}^1(G,A)$ tương tự như trên, nghĩa là $$\alpha'_g = (b')^{-1}({}^g b') = a^{-1} b^{-1}({}^g b)({}^g a) = a^{-1} \alpha_g {}^g a$$ với mọi $g \in G$. Như vậy, để cách xây dựng $\alpha$ không phụ thuộc vào cách chọn đại diện $b$ mà chỉ phụ thuộc vào $c$, ta cần một quan hệ tương đương trên $\text{Z}^1(G,A)$ sao cho $\alpha$ tương đương với $\alpha'$. Cụ thể, quan hệ đó như sau: Ta nói hai 1-đối chu trình $\alpha,\alpha' \in \text{Z}^1(G,A)$ là đối đồng điều (cohomologuous) với nhau nếu tồn tại $a \in A$ sao cho $$\alpha'_g = a^{-1}\alpha_g {}^g a$$ với mọi $g \in G$. Ta dễ dàng kiểm tra được rằng đây là một quan hệ tương đương trên tập $\text{Z}^1(G,A)$. Tập thương của $\text{Z}^1(G,A)$ được gọi là tập đối đồng điều thứ nhất của $G$ với hệ số trong $A$, và được ký hiệu bởi $\text{H}^1(G,A)$. Ta ký hiệu lớp đối đồng điều của một đối chu trình $\alpha \in \text{Z}^1(G,A)$ bởi $[\alpha] \in \text{H}^1(G,A)$. Như vậy, với mỗi phần tử $c \in B/A$, ta đã xây dựng một lớp đối đồng điều trong $\text{H}^1(G,A)$ được đại diện bởi 1-chu trình $$\alpha: G \to A, \qquad g \mapsto  b^{-1}({}^g b)$$ với $b \in B$ là một đại diện tùy ý của $c$. Ta ký hiệu lớp đối đồng điều này bởi $\delta c$.

 

Tập hợp $\text{H}^1(G,A)$ nói chung không có một phép toán tự nhiên. Tuy nhiên, nó là một tập hợp định điểm (pointed set). Thật vậy, ánh xạ $1: G \to A, \qquad g \mapsto 1$ là một đối chu trình, và lớp đối đồng điều $[1] \in \text{H}^1(G,A)$ của nó là tập các đối chu trình có dạng $g \mapsto a^{-1} ({}^g) a$ với $a \in A$ nào đó. Ta coi đó là điểm đặc biệt của $\text{H}^1(G,A)$, và như vậy $\text{H}^1(G,A)$ trở thành một tập hợp định điểm. Từ đây ta có câu trả lời cho câu hỏi: khi nào $c \in (B/A)^G$ đến từ một phần tử của $B^G$. 

 

Định lý 1. $c \in (B/A)^G$ là ảnh của một phần tử $b \in B^G$ khi và chỉ khi $\delta c$ là điểm đặc biệt của $\text{H}^1(G,A)$.

Chứng minh

Điều kiện cần. Giả sử $c = [b]$ với $b \in B^G$. Thế thì $\delta c \in \text{H}^1(G,A)$ được đại diện bởi đối chu trình $\alpha: G \to A$ cho bởi công thức $$\alpha_g = b^{-1}({}^g b) = b^{-1}b = 1$$ với mọi $g \in G$ (vì $b \in B^G$ nên ${}^g b = b$). Vậy $\alpha$ là đối chu trình tầm thường, nghĩa là $\delta c$ chính là điểm đặc biệt của $\text{H}^1(G,A)$.

Điều kiện đủ. Giả sử $\delta c$ là điểm đặc biệt của $\text{H}^1(G,A)$. Ta chọn một đại diện $b \in B$ tùy ý của $c$ và xét đối chu trình $\alpha: G \to A$ cho bởi công thức $\alpha_g = b^{-1}({}^g b)$. Vì $[\alpha] = \delta c$ là điểm đặc biệt nên tồn tại $a \in A$ sao cho $$b^{-1}({}^g b) = \alpha_g = a^{-1}({}^g a)$$ với mọi $g \in A$. Từ đó ta có $ba^{-1} = {}^g (ba^{-1})$ với  mọi $g \in G$, nghĩa là $ba^{-1} \in B^G$. Mặt khác ta có $c = [b] = [ba^{-1}]$, vậy $c$ đến từ một phần tử $B^G$. $\square$

 

Tập hợp định điểm $\text{H}^1(G,A)$ có tính hàm tử. Cụ thể, nếu $f: A \to B$ là một đồng cấu $G$-đẳng biến giữa hai $G$-nhóm thì nó cảm sinh một ánh xạ $$f_\ast: \text{Z}^1(G,A) \to \text{Z}^1(G,B), \qquad \alpha \mapsto f \circ \alpha.$$ Ta cũng kiểm tra một cách dễ dàng rằng $f_\ast$ bảo toàn quan hệ đối đồng điều, vì thế nó cảm sinh một ánh xạ $$f_\ast: \text{H}^1(G,A) \to \text{H}^1(G,B), \qquad [\alpha] \mapsto [f \circ \alpha].$$ Ánh xạ này gửi điểm đặc biệt của $\text{H}^1(G,A)$ vào điểm đặc biệt của $\text{H}^1(G,B)$.

 

Ta diễn tả lại Định lý 1 ở trên bằng ngôn ngữ dãy khớp. Một dãy khớp ngắn các $G$-nhóm được cho bởi $$1 \to A \xrightarrow{u} B \xrightarrow{v} C \to 1,$$ trong đó $A, B, C$ là các $G$-nhóm và $f,g$ là các đồng cấu nhóm $G$-đẳng biến. Tính khớp ở đây nghĩa là

  1. $\text{Im}(1 \to A) = \text{Ker}(u: A \to B)$, hay $u$ là một đơn cấu (vậy ta có thể coi $A$ là một nhóm con của $B$).
  2. $\text{Im}(u: A \to B) = \text{Ker}(v: B \to C)$ (vậy ta có thể coi $A$ là một nhóm con chuẩn tắc của $B$).
  3. $\text{Im}(v: B \to C) = \text{Ker}(C \to 1)$, hay $v$ là một toàn cấu (vậy ta có thể coi $C = B/A$).

Nói riêng, hạn chế $A^G \to B^G$ của $u$ vẫn là một đơn cấu. Ngoài ra, ta có dãy khớp $$1 \to A^G \to B^G \to C^G,$$ vì nếu $b \in B^G$ gửi vào $1 \in C^G$ thì $b = u(a)$ với $a \in A$ nào đó. Vì $b \in B^G$ và $u$ là $G$-đẳng biến nên $$u({}^g a) = {}^g u(a) = {}^g b = b = u(a)$$ với mọi $g \in G$. Vì $u$ là một đơn cấu nên ta có ${}^g a = a$ với mọi $g \in G$, nên $a \in A^G$.

Ta đã thấy rằng một phần tử của $C^G$ không nhất thiết đến từ $B^G$, nghĩa là dãy khớp trên nói chung không mở rộng được thành $$1 \to A^G \to B^G \to C^G \to 1.$$ Tuy nhiên, nhờ các tập hợp định điểm $\text{H}^1(G,-)$, ta có 

 

Định lý 2. Ta có dãy khớp dài các tập hợp định điểm $$1 \to A^G \xrightarrow{u} B^G \xrightarrow{v} C^G \xrightarrow{\delta} \text{H}^1(G,A) \xrightarrow{u_\ast} \text{H}^1(G,B) \xrightarrow{v_\ast} \text{H}^1(G,C).$$

(một dãy $X \to Y \to Z$ các tập hợp định điểm được gọi là khớp tại $Y$ nếu tập các phần tử của $Y$ được gửi vào phần tử đặc biệt của $Z$ chính là ảnh của $X \to Y$).

Chứng minh

Tính khớp tại $A^G$ và $B^G$ đã được chỉ ra ở trên. Tính khớp tại $C^G$ chính là nội dung của Định lý 1. Như vậy ta còn phải kiểm tra tính khớp tại $\text{H}^1(G,A)$ và tại $\text{H}^1(G,B)$.

 

Tính khớp tại $\text{H}^1(G,A)$. Cho $c \in C^G$. Viết $c = v(b)$ với $b \in B$. Thế thì $\delta = [\alpha]$, với $\alpha: G \to A$ là đối chu trình cho bởi công thức $$u(\alpha_g) = b^{-1}({}^g b)$$ với mọi $g \in G$. Tuy nhiên điều này có nghĩa là $u \circ \alpha \in \text{Z}^1(G,B)$ đối đồng điều với đối chu trình tầm thường, hay $u_\ast \delta c = u_\ast[\alpha]$ là điểm đặc biệt của $\text{H}^1(G,B)$. Ngược lại, cho $\alpha: G \to A$ là một 1-đối chu trình sao cho $u_\ast[\alpha] = [u \circ \alpha]$ là điểm đặc biệt của $\text{H}^1(G,B)$, thế thì tồn tại $b \in B$ sao cho $$u(\alpha_g) = b^{-1}({}^g b)$$ với mọi $g \in G$. Nhận xét rằng $$v(b)^{-1} ({}^g v(b)) = v(u(\alpha_g)) = 1,$$ suy ra $v(b) = {}^g v(b)$ với mọi $g \in G$, nghĩa là $v(b) \in C^G$. Ngoài ra, công thức trên cho thấy rằng $[\alpha] = \delta c$. Vậy $[\alpha]$ đến từ một phần tử của $C^G$.

Tính khớp tại $\text{H}^1(G,B)$. Cho $\alpha: G \to A$ là một đối chu trình, thế thì $v(u(\alpha_g)) = 1$ với mọi $g \in G$, nghĩa là $v \circ u \circ \alpha \in \text{Z}^1(G,C)$ là đối chu trình tầm thường, vậy $v_\ast u_\ast [\alpha]$ là điểm đặc biệt của $\text{H}^1(G,C)$. Ngược lại, giả sử $\beta: G \to B$ là một đối chu trình sao cho $[v \circ \beta]$ là điểm đặc biệt của $\text{H}^1(G,C)$. Thế thì tồn tại $c \in C$ sao cho $v(\beta_g) = c^{-1} ({}^g c)$ với mọi $g \in G$. Ta viết $c = v(b)$ với $b \in B$, thế thì với mỗi $g \in G$, ta có $v(b \beta_g ({}^g b)^{-1}) = 1$, suy ra tồn tại $\alpha_g \in A$ sao cho $b\beta_g ({}^g b)^{-1} = u(\alpha_g)$ (do tính khớp của dãy $1 \to A \to B \to C \to 1$). Ta kiểm tra rằng $$\alpha: G \to A, \qquad g \mapsto \alpha_g$$ là một đối chu trình. Thật vậy, với $g,h \in G$, vì $\beta$ là một đối chu trình nên $$u(\alpha_{gh}) = b\beta_{gh} ({}^{gh} b)^{-1} = b \beta_g {}^g \beta_h ({}^{gh} b)^{-1} = (b\beta_g ({}^g b)^{-1}) {}^g(b\beta_h ({}^h b)^{-1}) = u(\alpha_g) u({}^g \alpha_h),$$ suy ra $\alpha_{gh} = \alpha_g {}^g \alpha_h$. Vậy $\alpha \in \text{Z}^1(G,A)$. Bây giờ, nhận xét rằng $\beta_g = b^{-1} u(\alpha_g) {}^g b$ với mọi $g \in G$, do đó ta có $[\beta] = [u \circ \alpha]$ trong $\text{H}^1(G,B)$, vậy $\beta$ đến từ lớp đối đồng điều $[\alpha] \in \text{H}^1(G,B)$. $\square$

 

 

Ta kết thúc với nhận xét sau đây đối với đối đồng điều abel. Cho $A$ là một $G$-nhóm. Khi $A$ là một nhóm abel, ta gọi $A$ một $G$-môđun. Một đồng cấu giữa hai $G$-môđun đơn giản là một đồng cấu nhóm $G$-đẳng biến. Một đối chu trình $\alpha: G \to A$ là một ánh xạ thỏa mãn $$\alpha_{gh} = \alpha_g + {}^g \alpha_h$$ với mọi $g,h \in G$ (ta cũng gọi $\alpha$ là một đồng cấu chéo (crossed homomorphism).

Lúc này, $\text{Z}^1(G,A)$ có một cấu trúc nhóm abel tự nhiên cho bởi $$(\alpha + \alpha')_g := \alpha_g + \alpha'_g$$ với mọi $\alpha,\alpha' \in \text{Z}^1(G,A)$ và $g \in G$. Lớp đặc biệt (gồm các đối chu trình dạng $g \mapsto {}^g a - a$ với $a \in A$) là một nhóm con của $\text{Z}^1(G,A)$. Ta ký hiệu nhóm này bởi $\text{B}^1(G,A)$ và gọi các phần tử của nó là các 1-đối biên (coboundary). Hai đối chu trình là đối đồng điều với nhau khi và chỉ khi hiệu của chúng là một đối biên, nghĩa là ta có $\text{H}^1(G,A) = \text{Z}^1(G,A) / \text{B}^1(G,A)$.

Nếu $0 \to A \to B \to C \to 0$ là một dãy khớp các $G$-môđun. Ta có dãy khớp dài các nhóm abel $$0 \to A^G \to B^G \to C^G \xrightarrow{\delta} \text{H}^1(G,A) \to \text{H}^1(G,B) \to \text{H}^1(G,C).$$

Trong trường hợp abel, ta có thể nối dài dãy khớp trên. Cụ thể, ta có thể định nghĩa nhóm $\text{Z}^n(G,A)$ các $n$-đối chu trình và nhóm con $\text{B}^n(G,A)$ các $n$-đối biên của nó. Nhóm đối đồng điều thứ $n$ của $G$ với hệ số trong $A$ là $\text{H}^n(G,A) = \text{Z}^n(G,A) / \text{B}^n(G,A)$. Nếu $0 \to A \to B \to C \to 0$ là một dãy khớp ngắn các $G$-môđun thì tồn tại các đồng cấu nhóm tự nhiên $$\delta: \text{H}^n(G,C) \to \text{H}^{n+1}(G,A)$$ sao (được gọi là các đồng cấu nối - connecting homomorphism) cho ta có dãy khớp dài $$\cdots \to \text{H}^{n-1}(G,C) \to \text{H}^n(G,A) \to \text{H}^n(G,B) \to \text{H}^n(G,C) \to \text{H}^{n+1}(G,A) \to \cdots $$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nmlinh16: 07-10-2021 - 04:22

$$x - \sum_{\rho} \frac{x^\rho}{\rho} - \log 2\pi - \frac{1}{2}\log(1-x^{-2}) = \frac{\psi(x+0) + \psi(x - 0)}{2}, \qquad \psi(x) = \sum_{\substack{p^n \le x \\  n \ge 1}} \log p.$$

 

"Ce que nous savons est peu de chose, ce que nous ignorons est immense." - P.S. Laplace


#2 nmlinh16

nmlinh16

    Binh nhất

  • Thành viên mới
  • 45 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Hạ Long
  • Sở thích:Arithmetic geometry

Đã gửi 07-10-2021 - 04:04

Ở bài này, ta sẽ chỉ ra rằng tập hợp đối đồng điều thứ nhất $\text{H}^1(G,A)$ phân loại các đối tượng hình học được gọi là torsor (hay principal homogeneous space).

 

2. $\text{H}^1$ và torsor

 

Ta cho $G$ là một nhóm và $A$ là một $G$-nhóm. Một torsor dưới $A$ là một tập hợp $X \neq \varnothing$ được trang bị một tác động trái $$G \times X \to X, \qquad (g,x) \mapsto {}^g x$$ của $G$ và một tác động phải $$X \times A \to X, \qquad (x,a) \mapsto x \cdot a$$ của $A$, nghĩa là với mọi $g,h \in G$, $a,b \in A$ và $x \in X$, ta có

  1. ${}^{gh} x = {}^g({}^h x)$.
  2. ${}^1 x = x$.
  3. $x \cdot ab = (x \cdot a) \cdot b$.
  4. $x \cdot 1 = x$.

Ngoài ra, ta yêu cầu $X$ thỏa mãn hai tính chất sau đây

  1. (tác động của $G$ và của $A$ tương thích) ${}^g (x \cdot a) = {}^g x \cdot {}^g a$ với mọi $g \in G$, $a \in A$ và $x \in X$.
  2. (tác động của $A$ là truyền dẫn đơn - simply transitive) với mọi $x, y \in X$, tồn tại duy nhất $a \in A$ sao cho $x \cdot a = y$.

Một ánh xạ $f: X \to Y$ giữa hai torsor dưới $A$ được gọi là $(G,A)$-đẳng biến nếu nó tương thích với tác động trái của $G$ cũng như tác động phải của $A$.

 

Bổ đề. Mỗi ánh xạ $(G,A)$-đẳng biến giữa hai torsor dưới $A$ đều là một song ánh. Nói cách khác, phạm trù các torsor dưới $A$ là một phỏng nhóm (groupoid).

Chứng minh

Cho $f: X \to Y$ là một ánh xạ giữa hai torsor dưới $A$. Giả sử $x, x' \in X$ sao cho $f(x) = f(x')$. Ta viết $x' = x \cdot a$, $a \in A$. Thế thì $f(x) = f(x) \cdot a$, suy ra $a = 1$ vì tính truyền dẫn đơn, suy ra $x' = x$. Vậy $f$ là một đơn ánh. Mặt khác, xét $y \in Y$ tùy ý. Lấy $x \in X$ bất kỳ và lấy $a \in A$ sao cho $y = f(x) \cdot a$, thế thì $y = f(x \cdot a)$, vậy $f$ là một toàn ánh. $\square$

 

Chú ý rằng nếu $X$ là một torsor dưới $A$ thì với mọi $x \in X$, ánh xạ $A \to X$, $a \mapsto x \cdot a$ là một song ánh $A$-đẳng biến, tuy nhiên nói chung nó không $G$-đẳng biến (ở đây ta xét $A$ là một torsor dưới chính nó nhờ tác động tịnh tiến phải). Ta nói hai torsor dưới $A$ là tương đương nếu tồn tại một ánh xạ $(G,A)$-đẳng biến giữa chúng (nó tự động là một song ánh). Ta nói một torsor dưới $A$ là tầm thường nếu nó tương đương với $A$.

 

Bổ đề. Một torsor $X$ dưới $A$ là tầm thường khi và chỉ khi $X^G \neq \varnothing$.

Chứng minh

Nếu $X$ là một torsor tầm thường dưới $A$ thì tồn tại một ánh xạ $G$-đẳng biến $f: A \to X$. Nói riêng, vì $1 \in A^G$ nên ta có $f(1) \in X^G$. Vậy $X^G \neq \varnothing$. Ngược lại, giả sử $x \in X^G$. Thế thì ánh xạ $A \to X$ cho bởi $a \mapsto x \cdot a$ là $G$-đẳng biến, do đó $X$ tương đương với $A$. $\square$

 

Cho $X$ là một torsor dưới $A$. Ta xây dựng lớp đối đồng điều $\text{Cl}(X) \in \text{H}^1(G,A)$ như sau. Chọn một điểm $x \in X$ bất kỳ. Với mỗi $g \in G$, lấy $\alpha_g \in A$ là phần tử duy nhất sao cho ${}^g x = x \cdot \alpha_g$. Thế thì với $g, h \in G$, ta có $$x \cdot \alpha_{gh} = {}^{gh} x = {}^g({}^h x) = {}^g (x \cdot \alpha_h) = {}^g x \cdot {}^g \alpha_h = x \cdot \alpha_g {}^g \alpha_h,$$ suy ra $\alpha_{gh} = \alpha_g{}^g \alpha_h$, nghĩa là $\alpha: G \to A$ là một đối chu trình. Nếu ta chọn một điểm khác, $x' \in X$, ta viết $x' = x \cdot a$ với $a \in A$; thế thì đối chu trình  $\alpha'$ tương ứng được cho bởi công thức ${}^g x' = x' \cdot \alpha'_g$, từ đó $$x \cdot a\alpha'_g = x' \cdot \alpha'_g = {}^g x' = {}^g (x \cdot a) = {}^g x \cdot {}^g a = x \cdot \alpha_g {}^g a,$$ suy ra $a \alpha'_g = \alpha_g {}^g a$, nghĩa là $\alpha'_g = a^{-1} \alpha_g {}^g a$ với mọi $g \in A$. Nói cách khác, hai chu trình $\alpha'$ và $\alpha$ là đối đồng điều, vì thế lớp đối đồng điều $[\alpha] \in \text{H}^1(G,A)$ không phụ thuộc vào cách chọn điểm $x \in X$. Ta ký hiệu lớp này bởi $\text{Cl}(X)$.

 

Ngược lại, cho $\alpha: G \to A$ là một đối chu trình. Ta xây dựng torsor $X_{\alpha}$ dưới $A$ bằng cách "vặn" (twist) tác động của $G$ trên $A$ như sau. Ta xét $X_{\alpha} = A$ với tư cách là một tập hợp được trang bị tác động tịnh tiến phải của $A$. Tác động trái của $G$ được cho bởi công thức $$g \cdot_{\alpha} x:= \alpha_g {}^g x$$ với $g \in G$ và $x \in X_\alpha = A$. Sử dụng điều kiện đối chu trình của $\alpha$, ta kiểm tra được rằng đây thực sự là một tác động trái của $G$, và rõ ràng nó tương thích với tác động tịnh tiến phải của $A$. Ta tính $\text{Cl}(X_{\alpha})$. Chọn $1 \in X_\alpha$. Thế thì $g \cdot_{\alpha} 1 = \alpha_g = 1 \alpha_g$ và vì thế ta thấy rằng $\text{Cl}(X_{\alpha})$ được đại điện bởi đối chu trình $\alpha$, nghĩa là $\text{Cl}(X_{\alpha}) = [\alpha]$.

 

Định lý. Cho $X$ là một torsor dưới $A$. Cho $\alpha: G \to A$ là một đối chu trình. Khi đó $X$ tương đương với $X_{\alpha}$ khi và chỉ khi $\text{Cl}(X) = [\alpha]$.

Chứng minh

Nếu $X$ tương đương với $X_{\alpha}$ thì tồn tại một ánh xạ $(G,A)$-đẳng biến $f: X_{\alpha} \to X$. Lấy $x = f(1) \in X$. Thế thì $${}^g x = {}^g f(1) = f(g \cdot_\alpha 1) = f(\alpha_g) = f(1) \cdot \alpha_g = x \cdot \alpha_g$$ với mọi $g \in G$. Từ cách xây dựng của $\text{Cl}(X)$, ta thấy $\text{Cl}(X) = [\alpha]$.

Ngược lại, giả sử $\text{Cl}(X) = [\alpha]$. Chọn $x \in X$ tùy ý và viết $${}^g x = x \cdot \alpha'_g, \qquad \alpha'_g \in A$$ với mỗi $g \in G$. Thế thì $\alpha': G \to A$ là một đối chu trình và $[\alpha] = \text{Cl}(X) = [\alpha']$. Vì thế tồn tại $a \in A$ sao cho $\alpha'_g = a^{-1} \alpha_g {}^g a$ với mọi $g \in G$. Ta xét ánh xạ $f: X_{\alpha} \to X$ cho bởi $f(b) = x \cdot a^{-1}b$. Dễ thấy nó $A$-đẳng biến. Nó cũng $G$-đẳng biến, vì với mọi $g \in G$ và $b \in X_\alpha = A$, ta có $$f(g \cdot_\alpha b) = f(\alpha_g {}^g b) = x \cdot a^{-1} \alpha_g {}^g b = x \cdot \alpha'_g {}^g (a^{-1}) {}^g b = {}^g x \cdot {}^g (a^{-1}) {}^g b = {}^g(x \cdot a^{-1}b) = {}^g f(b).$$ Vậy $X$ tương đương với $X_{\alpha}$. $\square$.

 

Nói riêng, ta có $[\alpha] = [\alpha']$ trong $\text{H^1}(G,A)$ khi và chỉ khi $X_{\alpha}$ và $X_{\alpha'}$ là tương đương. Hai torsor $X$ và $Y$ dưới $A$ là tương đương khi và chỉ khi $\text{Cl}(X) = \text{Cl}(Y)$.

 

Định lý trên nói rằng, tập hợp $\text{H}^1(G,A)$ phân loại các torsor dưới $A$, sai khác một song ánh $(G,A)$-đẳng biến.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nmlinh16: 07-10-2021 - 04:21

$$x - \sum_{\rho} \frac{x^\rho}{\rho} - \log 2\pi - \frac{1}{2}\log(1-x^{-2}) = \frac{\psi(x+0) + \psi(x - 0)}{2}, \qquad \psi(x) = \sum_{\substack{p^n \le x \\  n \ge 1}} \log p.$$

 

"Ce que nous savons est peu de chose, ce que nous ignorons est immense." - P.S. Laplace


#3 nmlinh16

nmlinh16

    Binh nhất

  • Thành viên mới
  • 45 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Hạ Long
  • Sở thích:Arithmetic geometry

Đã gửi 07-10-2021 - 16:10

Ta xét chẳng hạn bài toán phân loại nhóm hữu hạn. Theo định lý Jordan-Hölder, mọi nhóm hữu hạn $G$ đều thừa nhận một dãy phân giải $1 \subseteq G_0 \subseteq \cdots \subseteq G_n = G$, trong đó $G_{i-1}$ là một nhóm con chuẩn tắc của $G_i$ và $G_i/G_{i-1}$ là một nhóm đơn với mọi $i = 1,\ldots,n$. Như vậy, để trả lời câu hỏi "ta biết gì về các nhóm hữu hạn, ta cần trả lời hai câu hỏi"

 

1. Ta biết gì về các nhóm đơn hữu hạn? (bài toán phân loại các nhóm đơn hữu hạn, nó đã được giải trọn vẹn).

2. Cho trước một nhóm $E$, một nhóm con chuẩn tắc $A$ của $E$ và $G = E/A$. Ta biết gì về $E$ từ thông tin về $G$ và $A$? (bài toán phân loại các mở rộng nhóm - group extension).

 

Cho $A, G$ và $E$ như trên, thế thì ta có một dãy khớp $$1 \to A \to E \xrightarrow{\pi} G \to 1.$$ Ta gọi đó là một mở rộng của $G$ bởi $A$. Bài toán phân loại các mở rộng này vẫn còn mở. Tuy nhiên nếu $A$ là một nhóm abel thì câu chuyện đơn giản hơn. Một phần lí do là như sau: vì $A$ chuẩn tắc trong $E$, ta có một tác động liên hợp của $E$ trên $A$. Nếu $A$ là abel thì tác động liên hợp của $A$ lên chính nó là tầm thường, do đó tác động liên hợp của $E$ cảm sinh một tác động của $G$ trên $A$, cụ thể là $${}^g a := eae^{-1},$$ với $e \in E$ nào đó sao cho $\pi(e) = g$.

 

Ở bài này, ta chỉ ra rằng nhóm đối đồng điều $\text{H}^2(G,A)$ phân loại các mở rộng của $G$ bởi $A$ cảm sinh tác động cho trước.

 

3. $\text{H}^2$ và bài toán mở rộng nhóm

 

Cho $A$ là một nhóm abel (viết theo lối nhân) và $G$ là một nhóm. Một mở rộng của $G$ bởi $A$ là một dãy khớp $1 \to A \to E \xrightarrow{\pi} G \to 1$ (để đơn giản hóa ký hiệu, ta luôn coi $A$ là một nhóm con của $E$). Hai mở rộng như vậy được gọi là tương đương nếu tồn tại một đồng cấu nhóm $E \to E'$ cảm sinh ánh xạ đồng nhất trên $A$ và trên $G$ (một đồng cấu như vậy tự động là một đẳng cấu, ta chứng minh điều này một cách dễ dàng bằng diagram chasing). Hai mở rộng tương đương cảm sinh cùng một tác động của $G$ trên $A$.

 

Bây giờ giả sử $A$ đã được trang bị sẵn một tác động của $G$ bởi các tự đẳng cấu nhóm (hay $A$ là một $G$-môđun). Ta nói một mở rộng $1 \to A \to E \xrightarrow{\pi} G \to 1$ tương thích với tác động đã cho nếu tác động này trung với tác động của $G$ trên $A$ bởi phép liên hợp trong $E$, nghĩa là $${}^{\pi(e)} a = eae^{-1}$$ với mọi $e \in E$. 

 

Cho $1 \to A \to E \xrightarrow{\pi} G \to 1$ là một mở rộng tương thích với tác động của $G$ trên $A$. Với mỗi $g \in G$, chọn $s_g \in E$ sao cho $\pi(s_g) = g$ (nói cách khác, $s: G \to E$ là một lớp cắt (section) của $\pi$. Nói riêng, ta có $s_g a s_g^{-1} = {}^g a$ với mọi $a \in A$.

 

Với $g,h \in G$, vì $\pi(s_gs_h) = \pi(s_g)\pi(s_h) = gh = \pi(s_{gh})$ nên $s_g s_h = \phi_{g,h} s_{gh}$ với $\phi_{g,h} \in A$ nào đó. Với $g,h,k \in G$, ta có $$\phi_{g,h} \phi_{gh,k} s_{ghk} = \phi_{g,h} s_{gh}s_k = s_g s_h s_k = s_g \phi_{h,k} s_{hk} = {}^g \phi_{h,k} s_g s_{hk} = {}^g \phi_{h,k} \phi_{g,hk} s_{ghk},$$ từ đó  ta có $$\phi_{g,h} \phi_{gh,k} = {}^g \phi_{h,k} \phi_{g,hk}.$$ Một ánh xạ $\phi: G \to A$ thỏa mãn điều kiện trên được gọi là một 2-đối chu trình (hay hệ nhân tử - factor system) với hệ số trong $A$. Tập hợp $\text{Z}^2(G,A)$ là một nhóm abel với phép toán được định nghĩa một cách hiển nhiên $$(\phi + \phi')_{g,h} := \phi_{g,h} \phi'_{g,h}$$ với mọi $\phi, \phi' \in \text{Z}^2(G,A)$ và $g,h \in G$.

 

Ta chọn một lớp cắt khác $s': G \to E$ của $\pi$. Với $g \in G$, ta có $\pi(s'_g) = g = \pi(s_g)$, nên $s'_g = \alpha_g  s_g$ với $\alpha_g \in A$. Xét đối chu trình $\phi'$ cho bởi lớp cắt $s'$, nghĩa là $s'_g s'_h = \phi'_{g,h} s'_{gh}$ với mọi $g, h \in G$. Thế thì $$\phi'_{g,h} \alpha_{gh} s_{gh} = \alpha_g s_g \alpha_h s_h = \alpha_g {}^g\alpha_h s_g s_h = \alpha_g {}^g \alpha_h \phi_{g,h} s_{gh},$$ suy ra $$\phi'_{g,h} = \phi_{g,h} {}^g \alpha_h \alpha_{gh}^{-1} \alpha_g.$$ Vậy $\phi'$ và $\phi$ sai khác nhau một đối chu trình có dạng $(g,h) \mapsto \alpha_h \alpha_{gh}^{-1} \alpha_g$ với $\alpha: G \to A$ là một ánh xạ nào đó. Một đối chu trình như thế được gọi là một 2-đối biên. Các 2-đối biên lập thành một nhóm con của $\text{Z}^2(G,A)$ mà ta ký hiệu bởi $\text{B}^2(G,A)$. Ta định nghĩa nhóm đối đồng điều thứ $2$ của $G$ với hệ số trong $A$ bởi $\text{H}^2(G,A) = \text{Z}^2(G,A) / \text{B}^2(G,A)$. Lớp đối đồng điều của một đối chu trình $\phi$ sẽ được ký hiệu bởi $[\phi]$. Theo xây dựng trên, ta có một lớp $\text{Cl}(E) = [\phi] \in \text{H}^2(G,A)$, lớp này chỉ phụ thuộc vào mở rộng $E$, không phụ thuộc vào cách chọn lớp cắt $s$.

 

Ta nói mở rộng $E$ chẻ (split) nếu ta có thể chọn lớp cắt $s$ là một đồng cấu nhóm (thay vì chỉ đơn thuần là một ánh xạ). Trong trường hợp này, $\text{Cl}(E)$ được đại diện bởi đối chu trình tầm thường $$1: G \times G \to A, \qquad (g,h) \mapsto 1.$$

 

Ngược lại, cho một đối chu trình $\phi: G \times G \to A$. Ta xây dựng mở rộng $A \times_\phi G$ của $G$ bởi $A$ như sau. Về mặt tập hợp, $A \times_\phi G = A \times G$. Phép toán trên $A  \times_\phi G$ là tích chéo (crossed product) cho bởi chu trình $\phi$, nghĩa là $$(a,g)(b,h):=(a{}^g b \phi_{g,h},gh)$$ với mọi $a,b \in A$ và $g,h \in G$.

 

  1. Tính kết hợp của phép toán trên được suy ra từ điều kiện đối chu trình. Thật vậy, xét $a,b,c \in A$ và $g,h,k \in G$. Ta có $$\begin{align*}
    ((a,g)(b,h))(c,k) & = (a{}^g b \phi_{g,h},gh)(c,k) \\
    & = (a{}^g b \phi_{g,h} {}^{gh} c \phi_{gh,k}, (gh)k) \\
    & = (a{}^g b {}^g({}^h c) {}^g \phi_{h,k} \phi_{g,hk}, g(hk))\\
    & = (a,g)(b{}^g c, \phi_{h,k} ,hk)\\
    & = (a,g)((b,h)(c,k)).
    \end{align*}$$
  2. Phần tử trung lập của $A \times_\phi G$ là $(\phi_{1,1}^{-1}, 1)$. Thật vậy, vì $\phi$ là một đối chu trình nên với mọi $g \in G$, ta có $\phi_{g,1} \phi_{g,1} = {}^g \phi_{1,1} \phi_{g,1}$, suy ra $$\phi_{g,1} = {}^g \phi_{1,1}.$$ Tương tự, ta có $\phi_{1,1} \phi_{1,g} = \phi_{1,g} \phi_{1,g}$, suy ra $$\phi_{1,g} = \phi_{1,1}.$$ Do đó với $a \in G$, ta có $$(a,g)(\phi_{1,1}^{-1},1) = (a {}^g \phi_{1,1}^{-1} \phi_{g,1}, g) = (a,g)$$ và $$(\phi_{1,1}^{-1},1)(a,g) = (\phi_{1,1}^{-1} a \phi_{1,g}, g) = (a,g).$$
  3. Phần tử nghịch đảo của mỗi $(a,g) \in A \times_\phi G$ là $({}^{g^{-1}} a^{-1} \phi_{g^{-1},g}^{-1} \phi_{1,1}^{-1},g^{-1})$, vì $$({}^{g^{-1}} a^{-1} \phi_{g^{-1},g}^{-1} \phi_{1,1}^{-1}, g^{-1})(a,g) = ({}^{g^{-1}} a^{-1} \phi_{g^{-1},g}^{-1} \phi_{1,1}^{-1} ({}^{g^{-1}} a) \phi_{g^{-1},g}, g^{-1}g) = (\phi_{1,1}^{-1},1)$$ và $$(a,g)({}^{g^{-1}} a^{-1} \phi_{g^{-1},g}^{-1} \phi_{1,1}^{-1}, g^{-1}) = (aa^{-1} ({}^g  \phi_{g^{-1},g}^{-1}) ({}^g \phi_{1,1}^{-1}) \phi_{g,g^{-1}}, gg^{-1}) = (({}^g  \phi_{g^{-1},g}^{-1}) \phi_{g,1}^{-1} \phi_{g,g^{-1}}, 1) = (\phi_{1,1}^{-1}, 1).$$ Ở đây đẳng thức cuối cùng đến từ điều kiện đối chu trình $$\phi_{g,g^{-1}} \phi_{1,1} = \phi_{g,g^{-1}} \phi_{1,g} = {}^g \phi_{g^{-1},g} \phi_{g,1}.$$

Hiển nhiên phép chiếu lên tọa độ thứ hai $p: A \times_\phi G \to G$ là một toàn cấu nhóm.

Ta xây dựng đơn cấu $i: A \to A \times_\phi G$ cho bởi công thức $i(a) = (a\phi_{1,1}^{-1},1)$. Rõ ràng $A$ là một đơn ánh. Nó là một đồng cấu nhóm vì $$i(a)i(b) = (a\phi_{1,1}^{-1},1)(b\phi_{1,1}^{-1},1) = (a\phi_{1,1}^{-1}b\phi_{1,1}^{-1}\phi_{1,1},1) = (ab\phi_{1,1}^{-1},1) = i(ab)$$ với mọi $a,b \in A$. Cuối cùng, dễ thấy $i(A) = A \times \{1\} = \text{Ker}(\pi)$, và vì thế ta có dãy khớp $$1 \to A \xrightarrow{i} A \times_\phi G \xrightarrow{p} G \to 1.$$

 

Ta chọn lớp cắt $s: G \to A \times_\phi G$ cho bởi công thức $s_g = (1,g)$. Với $a \in A$, ta có $$s_g i(a) = (1,g) (a\phi_{1,1}^{-1}, 1) = ({}^g a {}^g \phi_{1,1}^{-1} \phi_{g,1}, g) = ({}^g a, g) = ({}^g a \phi_{1,1}^{-1} \phi_{1,g}, g) = ({}^g a \phi_{1,1}^{-1}, 1)(1,g)  = i({}^g a)s_g,$$ suy ra $i({}^g a) = s_g i(a) s_g^{-1}$. Nói cách khác, mở rộng $1 \to A \xrightarrow{i} A \times_\phi G \xrightarrow{\pi} G \to 1$ tương thích với tác động đã cho của $G$ trên $A$.

 

Ta tính $\text{Cl}(A \times_\phi G) \in \text{H}^2(G,A)$. Với $g, h \in G$, ta có $\phi_{1,gh} = \phi_{1,1}$, do đó $$s_g s_h = (1,g)(1,h) = (\phi_{g,h},gh) = (\phi_{g,h} \phi_{1,1}^{-1} \phi_{1,gh}, gh) = (\phi_{g,h} \phi_{1,1}^{-1}, 1)(1, gh) = i(\phi_{g,h})s_{gh},$$ do đó theo xây dựng trên, lớp $\text{Cl}(A \times_\phi G)$ được đại diện bởi đối chu trình $\phi$.

 

Xét đối chu trình tầm thường $0: (g,h) \mapsto 1$. Khi đó tích chéo $A \times_0 G$ được cho bởi phép toán $$(a,g)(b,h) = (a{}^g b,gh)$$ với $a,b \in A$ và $g,h \in G$. Nó được gọi là tích nửa trực tiếp (semi-direct product) của $A$ và $G$ và được ký hiệu bởi $A \rtimes G$.

 

Định lý. Cho $A$ là một $G$-môđun Cho $1 \to A \to E \xrightarrow{\pi} G \to 1$ là một mở rộng của $G$ bởi $A$ tương thích với tác động đã cho. Cho $\phi: G \times G \to A$ là một hệ nhân tử. Khi đó $E$ tương đương với tích chéo $A \times_\phi G$ khi và chỉ khi $\text{Cl}(E) = [\phi]$ trong $\text{H}^2(G,A)$.

Chứng minh

Điều kiện cần. Giả sử $E$ và $A \times_\phi G$ tương đương, khi đó tồn tại đồng cấu nhóm $f: A \times_\phi G \to E$ thỏa mãn $\pi(f(a,g)) = g$ và $f(a\phi_{1,g}^{-1}, 1) = f(a\phi_{1,1}^{-1},1) = a$ với mọi $a \in A$ và $g \in G$. Chọn lớp cắt $s: G \to E$ cho bởi công thức $s_g = f(1,g)$. Ta có $$s_g s_h = f((1,g)(1,h)) = f(\phi_{g,h},gh) = f((\phi_{gh} \phi_{1,1}^{-1}, 1)(1, gh)) = \phi_{g,h} s_{gh},$$ suy ra $E$ được đại diện bởi đối chu trình $\phi$.

Điều kiện đủ. Giả sử $\text{Cl}(E) = [\phi]$. Chọn một lớp cắt $s: G \to E$ và viết $$s_g s_h = \psi_{g,h} s_{gh}, \qquad \psi_{g,h} \in A$$ với mỗi $g,h \in G$. Thế thì $[\phi] = \text{Cl}(E) = [\psi]$ trong $\text{H}^2(G,A)$, suy ra tồn tại ánh xạ $\alpha: G \to A$ thỏa mãn $$\phi_{g,h} = \psi_{g,h} {}^g \alpha_h \alpha_{gh}^{-1} \alpha_g$$ với mọi $g, h \in A$. Ta xây dựng đồng cấu nhóm $f: A \times_\phi G \to E$ bởi công thức $f(a,g):= a \alpha_g s_g$.

  1. $f$ thực sự là một đồng cấu nhóm. Thật vậy, cho $a, b \in A$ và $g, h \in G$. Ta có $$\begin{align*}
    f((a,g)(b,h)) & = f(a{}^g b \phi_{g,h}, gh) \\
    & = a{}^g b\phi_{g,h} \alpha_{gh}s_{gh} \\
    & = a \alpha_g {}^g b {}^g \alpha_h  \psi_{g,h} s_{gh}\\
    & = a \alpha_g {}^g (b \alpha_h) s_g s_h \\
    & = a\alpha_g s_g b\alpha_h s_h\\
    &= f(a,g)f(b,h).
    \end{align*}$$
  2. $f$ cảm sinh ánh xạ đồng nhất trên $G$ và trên $A$. Thật vậy, với mọi $(a,g) \in G$, ta có $$\pi(f(a,g)) = \pi(a\alpha_g s_g) = \pi(s_g) = g$$ và $$f(a\phi_{1,1}^{-1},1) = a\phi_{1,1}^{-1} \alpha_1 s_1 = a,$$ vì $s_1s_1 = \psi_{1,1} s_1$ (suy ra $\psi_{1,1} = s_1 \in A$) và $\phi_{1,1} = \psi_{1,1} \alpha_1 \alpha_1^{-1} \alpha_1 = s_1\alpha_1$.

Vậy hai mở rộng $E$ và $A \times_\phi G$ là tương đương. Chứng minh kết thúc. $\square$

 

Từ định lý trên, ta thấy hai mở rộng $E$ và $E'$ của $G$ bởi $A$ cảm sinh tác động cho trước là tương đương khi và chỉ khi $\text{Cl}(E) = \text{Cl}(E')$ trong $\text{H}^1(G,A)$. Nói riêng, nếu $\phi$ và $\psi$ là các 2-đối chu trình với hệ số trong $A$ thì tích chéo $A \times_\phi G$ tương đương với $A \times_\psi G$ khi và chỉ khi $[\phi] = [\psi]$. Một mở rộng $E$ là chẻ khi và chỉ khi $\text{Cl}(E) = 0$, nghĩa là $E$ chính là tích nửa trực tiếp $A \rtimes G$. Tóm lại, nhóm $\text{H}^2(G,A)$ phân loại các mở rộng của $G$ bởi $A$ cảm sinh tác động cho trước. Lớp đối đồng điều $\text{Cl}(E) \in \text{H}^2(G,A)$ của một mở rộng $1 \to A \to E \to G \to 1$ chính là cản trở cho sự tồn tại của một đồng cấu nhóm $s: G \to E$ thỏa mãn $\pi \circ s = 1_G$, nghĩa là cản trở cho sự chẻ ra của dãy khớp trên.

 

Trong trường hợp $A$ không gian hoán, vấn đề trở nên phức tạp hơn nhiều: Chẳng hạn, có thể không có mở rộng nào của $G$ bởi $A$ là chẻ, và có thể có hai mở rộng chẻ của $G$ bởi $A$ không tương đương với nhau. Lí do là vì khi ta có một dãy khớp $1 \to A \to E \to G \to 1$ thì ta không có một tác động tự nhiên của $G$ trên $A$, mà ta chỉ có một tác động ngoài, tức là một đồng cấu $g: G \to \text{Out}(A)$ (ở đây $\text{Out}(A)$ là nhóm các tự đẳng cấu ngoài của $A$, nó là nhóm thương của $\text{Aut}(A)$ bởi nhóm con chuẩn tắc $\text{Inn}(A)$ các tự đẳng cấu trong, tức là các phép liên hợp trong $A$).

 

Để kết thúc bài này, ta khẳng định (bỏ qua chứng minh chi tiết) rằng các nhóm $\text{H}^2(G,-)$ cho phép mở rộng dãy khớp đã nói ở bài đầu tiên. Cụ thể, nếu $0 \to A \to B \to C \to 0$ là một dãy khớp các $G$-môđun thì ta có dãy khớp $$0 \to A^G \to B^G \to C^G \xrightarrow{\delta} \text{H}^1(G,A) \to \text{H}^1(G,B) \to \text{H}^1(G,C)  \xrightarrow{\delta} \text{H}^2(G,A) \to \text{H}^2(G,B) \to \text{H}^2(G,C).$$ Ở đây đồng cấu nối $\delta: \text{H}^1(G,C) \to \text{H}^2(G,A)$ được mô tả như sau. Cho $\gamma: G \to C$ là một 1-đối chu trình. Với mỗi $g \in G$, nâng $\gamma_g \in C$ thành một phần tử $\beta_g \in B$. Từ điều kiện đối chu trình của $\gamma$, ta thấy rằng với $g, h \in G$, hiệu ${}^g \beta_h - \beta_{gh} + \beta_g$ đến từ một phần tử (duy nhất) $\phi_{g,h} \in A$. Khi đó $\phi: G \times G \to A$ là một 2-đối chu trình và $\delta[\gamma] := [\phi]$.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nmlinh16: 08-10-2021 - 14:05

$$x - \sum_{\rho} \frac{x^\rho}{\rho} - \log 2\pi - \frac{1}{2}\log(1-x^{-2}) = \frac{\psi(x+0) + \psi(x - 0)}{2}, \qquad \psi(x) = \sum_{\substack{p^n \le x \\  n \ge 1}} \log p.$$

 

"Ce que nous savons est peu de chose, ce que nous ignorons est immense." - P.S. Laplace


#4 vutuanhien

vutuanhien

    Thiếu úy

  • Điều hành viên Đại học
  • 639 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Khoa Toán, Trường Đại học Khoa học Tự nhiên, ĐHQGHN

Đã gửi 08-10-2021 - 17:48

4. Các đối đồng điều bậc cao và một số tính chất cơ bản của đối đồng điều (phần 1)

 

Ở các bài viết trên, anh Linh đã giới thiệu về đối đồng điều thứ nhất và thứ hai của một nhóm và các ý nghĩa của chúng. Việc định nghĩa đối đồng điều thông qua các khái niệm như đối chu trình có ưu điểm là đơn giản và dễ tính toán, song trong các vấn đề tổng quát hóa hay nghiên cứu tính chất thì ta nên có một cách tiếp cận khác. Ở đây mình sẽ giới thiệu qua về đối đồng điều nói chung và các tính chất cơ bản của nó theo cách Grothendieck khởi xướng trong bài báo Tohoku năm 1957 (xem [1]). Những kiến thức liên quan có thể tham khảo trong cuốn sách của Weibel ([2]). Các tính chất quan trọng mà mình sẽ trình bày gồm có bổ đề Shapiro, định lý Hilbert 90, tính tuần hoàn của đối đồng điều của nhóm cyclic và định lý Tate-Nakayama. Bài này sẽ vừa viết vừa chỉnh sửa sao cho phù hợp với góp ý của mọi người nên mong mọi người góp ý.  

 

I. Khái niệm đối đồng điều. Bổ đề Shapiro và Định lý Hibert 90.

Nhắc lại ở trên rằng ta có khái niệm $G$-module là một nhóm abel $A$ cùng với tác động $G\times A\to A$ của $G$ lên $A$ giống như một tác động của vành lên module. Chẳng hạn, nếu $K/\mathbb{Q}$ là một mở rộng Galois thì $K$ là một $\text{Gal}(K/\mathbb{Q})$-module. Với $G$ là một nhóm và $A$ là một nhóm abel bất kỳ thì ta luôn có tác động tầm thường của $G$ lên $A$ cho bởi $g.a=a$. Đây là một ví dụ ta thường hay gặp khi $G=\mathbb{Z}, \mathbb{Q}, \mathbb{Q}/\mathbb{Z}$... Ta có phạm trù $G$-Mod với các vật là các $G$-module và cấu xạ là các đồng cấu $G$-module. Chú ý rằng một $G$-module cũng có thể xem như một $\mathbb{Z}[G]$-module (theo nghĩa module trên một vành thông thường), và do đó ta có thể sử dụng các khái niệm trong lý thuyết module trên một vành cho các $G$-module (module tự do, xạ ảnh, nội xạ...)

 

Định nghĩa 1. Một $G$-module $I$ được gọi là nội xạ nếu $\text{Hom}_{G}(\bullet, I)$ là một hàm tử khớp.

 

Ta nói một phạm trù $\mathcal{C}$ là có đủ nội xạ nếu mọi vật đều có thể nhúng vào trong một vật nội xạ. Nói cách khác, ta có một dãy khớp

\[0\to A\to I^{0}\xrightarrow{d^{1}}I^{1}\xrightarrow{d^{2}}\dots\]

mà $I^{0}, I^{1}, \dots$ đều là nội xạ. Phạm trù $G$-Mod mà ta đang xét là một phạm trù có đủ nội xạ, như ta sẽ thấy dưới đây.

 

Định nghĩa 2 (Module cảm sinh). Một $G$-module $A$ được gọi là cảm sinh nếu nó có dạng $\mathbb{Z}[G]\otimes_{\mathbb{Z}}A_{0}$ với $A_{0}$ là một nhóm abel nào đó (tác động của $G$ lên $A_{0}$ là tác động tầm thường). Ta ký hiệu $A=\text{Ind}^{G}A_{0}$. 

 

Mệnh đề 3. Hàm tử $\text{Ind}^{G}(\bullet)$ từ phạm trù $Ab$ các nhóm abel sang phạm trù $G$-Mod là một hàm tử khớp. 
 
Chứng minh. Trước tiên nhận thấy rằng ta có một đẳng cấu tự nhiên
\[\mathbb{Z}[G]\otimes A\longrightarrow \text{Hom}_{\text{Set}}(G, A)\cong \text{Hom}_{Ab}(\mathbb{Z}[G], A),\quad \left(\sum n_{i}g_{i} \right)\otimes a \mapsto (g_{i}\mapsto n_{i}g_{i}\cdot a)\]
Do đó hàm tử $\text{Ind}^{G}$ là một hàm tử khớp phải. Ta sẽ chứng minh nó khớp trái bằng cách chỉ ra rằng $\text{Ind}^{G}$ là hàm tử liên hợp phải của hàm tử quên từ $G$-Mod vào $Ab$. Điều này có nghĩa là ta cần chứng minh rằng
\[ \text{Hom}_{G}(M, \text{Ind}^{G}(N))\cong \text{Hom}_{Ab}(M, N) \]
với mọi $G$-module $M$ và nhóm abel $N$. Với mỗi đồng cấu $\alpha: M\to \text{Ind}^{G}(N)$, ta xét $\beta: M\to N$ cho bởi
\[ \beta(m)=\alpha(m)(1_{G}), \quad \forall m\in M \]
Ngược lại, với mỗi $\beta: M\to N$, xét $\alpha: M\to \text{Ind}^{G}(N)$ cho bởi
\[ \alpha(m)(g)=\beta(gm), \quad \forall m\in M, g\in G. \]
Dễ dàng kiểm tra các tương ứng này cho ta đẳng cấu ta đang cần.  $\square$
 
Mệnh đề 4. Phạm trù $G$-Mod là phạm trù có đủ nội xạ (enough injective).
 
Chứng minh. Giả sử $A$ là một $G$-module. Ta thừa nhận rằng phạm trù các nhóm abel là có đủ nội xạ. Ký hiệu $A_{0}$ là $A$ xem như một nhóm abel. Ta có một phép nhúng $A_{0}\hookrightarrow I$ với $I$ là một nhóm abel nội xạ nào đó. Tác động hàm tử $\text{Ind}^{G}$ vào phép nhúng này ta thu được một phép nhúng $\text{Ind}^{G}(A_{0})\hookrightarrow \text{Ind}^{G}(I)$. Mặt khác, ta cũng có một phép nhúng
\[ A\hookrightarrow \text{Ind}^{G}(A_{0}),\quad a\mapsto (g\mapsto ga).\]
Do đó ta có một phép nhúng $A\hookrightarrow \text{Ind}^{G}(I)$. Ta lại có $\text{Ind}^{G}(I)$ là một $G$-module nội xạ vì 
\[\text{Hom}_{G}(\bullet, \text{Ind}^{G}(I)\cong \text{Hom}_{Ab}(\bullet, I)\]
và do đó hàm tử $\text{Hom}_{G}(\bullet, \text{Ind}^{G}(I)$ là khớp. $\square$
 
Bây giờ ta sẽ định nghĩa khái niệm đối đồng điều. Với mỗi $G$-module $A$, ta xét tập hợp:
\[A^{G}=\left\{a\in A|g.a=a \forall g\in G\right\}.\]
Với mỗi dãy khớp
\[0\longrightarrow A\longrightarrow B\longrightarrow C\longrightarrow 0\]
ta có một dãy khớp 
\[0\longrightarrow A^{G}\longrightarrow B^{G}\longrightarrow C^{G}\]
Như vậy hàm tử $A\mapsto A^{G}$ từ phạm trù $G$-mod vào phạm trù $Ab$ là một hàm tử khớp trái nên ta có thể lấy hàm tử dẫn xuất phải, đây chính là hàm tử đối đồng điều. Cụ thể hơn, vì $G$-Mod có đủ nội xạ nên với mỗi dải nội xạ bất kỳ
\[ 0\rightarrow A\rightarrow I^{0}\xrightarrow{d^{1}} I^{1}\xrightarrow{d^{2}} \dots\]
tác động hàm tử nói trên vào ta có dãy 
\[ 0\xrightarrow{d^{-1}} (I^{0})^{G}\xrightarrow{d^{0}} (I^{1})^{G}\xrightarrow{d^{1}} \dots\]
Dãy này không nhất thiết phải là dãy khớp, nhưng nó là một phức (chain complex), và do đó ta có thể định nghĩa nhóm đối đồng điều ở vị trí thứ $n$, ký hiệu là $H^{n}(G, A)$.
 
Định nghĩa 5 (Đối đồng điều). Ta định nghĩa nhóm đối đồng điều thứ $n$ của $G$ với hệ số trong $A$ là \[H^{n}(G, A)=\text{Ker}(d^{n})/\text{Img}(d^{n-1}). \]
 
Ví dụ. Từ định nghĩa ta thấy ngay rằng $H^{0}(G, A)=A^{G}$. 
 
Mệnh đề 6. Định nghĩa này là định nghĩa tốt, tức là nhóm $H^{n}(G, A)$ không phụ thuộc vào dải nội xạ của $A$ (sai khác một đẳng cấu).
 
Hai kết quả sau đây đóng vai trò quan trọng trong việc tính toán đối đồng điều. 
 
Định lý 7 (Bổ đề Shapiro). Nếu $A$ là một $G$-module dẫn xuất thì các nhóm đối đồng điều của $G$ với hệ số trong $A$ đều là tầm thường.
 
Chứng minh. Giả sử $A=\text{Ind}^{G}(A_{0})$. Xét một dải các nhóm abel nội xạ $A_{0}\hookrightarrow I^{\bullet}$. Tác động hàm tử $\text{Ind}^{G}$ vào dải này, ta thu được một dải nội xạ $A\hookrightarrow \text{Ind}^{G}(I^{\bullet})$. Lấy hàm tử dẫn xuất và chú ý rằng $A^{G}=A_{0}$, ta có
\[H^{r}(G, A)=H^{r}(\text{Ind}^{G}(I^{\bullet})^{G})\cong H^{r}((I^{\bullet})^{1})=H^{r}(I^{\bullet})=0. \]
 
Định lý 8 (Hibert 90). Giả sử $L/K$ là một mở rộng Galois hữu hạn với nhóm $G=\text{Gal}(L/K)$. Khi đó $H^{r}(G, L)=0$ với mọi $r>0$. 
 
Chứng minh. Theo định lý cơ sở chuẩn tắc (Normal Basis Theorem), tồn tại một cơ sở của $L$ có dạng $(\sigma(x))_{\sigma\in G}$. Ta có một đẳng cấu
\[ \sum a_{\sigma}\sigma\mapsto \sum a_{\sigma}\sigma(x),\quad K[G]\longrightarrow L\]
và do đó $L\cong K[G]\cong \text{Ind}^{G}(K)$. Từ bổ đề Shapiro ta có điều phải chứng minh. 
 
TÀI LIỆU THAM KHẢO.

[1]. Alexander Grothendieck. Sur quelques points d'algèbre homologique, Tôhoku Mathematical Journal, 119-221, 1957. Có bản dịch tiếng Anh miễn phí trên Internet.

[2]. Charles A.Weibel. An Introduction to Homological Algebra, Cambridge University Press, 1994.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi vutuanhien: 08-10-2021 - 17:49

$\sum_{P} I(P, F\cap G)=mn$

 

"The first analogy that came to my mind is of immersing the nut in some softening liquid, and why not simply water? From time to time you rub so the liquid penetrates better, and otherwise you let time pass. The shell becomes more flexible through weeks and months—when the time is ripe, hand pressure is enough, the shell opens like a perfectly ripened avocado!" - Grothendieck


#5 vutuanhien

vutuanhien

    Thiếu úy

  • Điều hành viên Đại học
  • 639 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Khoa Toán, Trường Đại học Khoa học Tự nhiên, ĐHQGHN

Đã gửi 08-10-2021 - 19:42

4. Các đối đồng điều bậc cao và một số tính chất cơ bản của đối đồng điều (phần 2)

 

II. Tính $\delta$-hàm tử và dãy inflation-restriction

 

Trong các phần 1, 2 và 3, ta đã thấy sự xuất hiện của dãy khớp đối đồng điều. Đây là một tính chất cực kỳ quan trọng của đối đồng điều và có nhiều ứng dụng, chẳng hạn nó cho phép ta sử dụng kỹ thuật "dimensional shifting". Với mỗi $G$-module $A$, ta có một $G$-module cảm sinh $A_{*}=\text{Ind}^{G}(A)$ và $A_{\dagger}=A_{*}/A$. Như vậy ta có dãy khớp

\[0\longrightarrow A\longrightarrow A_{*}\longrightarrow A_{\dagger}\longrightarrow 0\]
Xét dãy đối đồng điều cảm sinh từ dãy khớp này và chú ý $H^{n}(G, A_{*})=0$ với mọi $n>0$, ta thu được các đẳng cấu
\[H^{n}(G, A_{\dagger})\cong H^{n+1}(G, A). \]
Sử dụng các đẳng cấu này và kết hợp với quy nạp, ta có thể chứng minh nhiều mệnh đề liên quan đến đối đồng điều. 

 

Mệnh đề 1. Với mỗi dãy khớp ngắn 
\[0\to A\xrightarrow{i} B\xrightarrow{j} C\to 0\] 
các $G$-module, ta có một họ các đồng cấu chính tắc (còn gọi là đồng cấu chuyển, connecting homomorphisms) $\delta^{n}:H^{n}(G, C)\to H^{n+1}(G, A)$ sao cho dãy đối đồng điều cảm sinh
\[0\to H^{0}(G, A)\to \dots\to H^{n}(G, A)\to H^{n}(G, B)\to H^{n}(G, C)\xrightarrow{\delta^{n}} H^{n+1}(G, A)\to \dots\quad (2.1)\]  
là dãy khớp.
 
Chứng minh.Để xây dựng các ánh xạ $\delta$, ta xét biểu đồ giao hoán
2021-10-08 (1).png
với $A_{n}$, $B_{n}$, $C_{n}$ là các nhóm đối chuỗi thu được từ dải nội xạ của $A$, $B$, $C$. Giả sử $\bar{c}_{n}\in H^{n}(G, C)$ đến từ đối xích $c_{n}$ và $dc_{n}=0$. Chọn $b_{n}$ sao cho $c_{n}=j(b_{n})$. Vì \[j(db_{n})=d(j(b_{n}))=0\] nên $db_{n}\in \text{Ker}(j)=\text{Img}(i)$. Do đó tồn tại $a_{n+1}\in A_{n+1}$ sao cho $db_{n}=a_{n+1}$. Vì $da_{n+1}=d(d(b_{n}))=0$ nên $a_{n+1}$ là một đối xích và ta định nghĩa
\[ \delta(\bar{c}_{n})=\bar{a}_{n+1} \] 
Việc kiểm tra định nghĩa này không phụ thuộc cách chọn đại diện $c_{n}$ và dãy (2.1) là dãy khớp không khó.  
 
Định nghĩa 2. Một $\delta$- hàm tử đối đồng điều (cohomological $\delta$-functor) từ phạm trù abel $\mathcal{A}$ vào phạm trù abel $\mathcal{B}$ là một họ các hàm tử cộng tính $T^{n}: \mathcal{A}\to \mathcal{B}$ (với mọi $n\ge 0$) cùng với các cấu xạ $\delta^{n}: T^{n}(C)\to T^{n+1}(A)$ được xác định bởi mỗi dãy khớp $ 0\to A\to B\to C\to 0$ trong $\mathcal{A}$, thỏa mãn đồng thời hai tính chất:
1) Với mỗi dãy khớp như trên, ta có một dãy khớp dài:
\[\dots \rightarrow T^{n}(A)\rightarrow T^{n}(B)\rightarrow T^{n}(C)\xrightarrow{\delta_{n}} T^{n+1}(A)\rightarrow \dots\] 
2) Với mỗi cấu xạ
Diagram 1.png
giữa hai dãy khớp ngắn  các cấu xạ $\delta$ cho ta biểu đồ giao hoán
2021-10-08.png
 
Ví dụ. Hàm tử $T^{n}(A):=H^{n}(G, A)$ là một $\delta$-hàm tử đối đồng điều từ phạm trù $\mathcal{A}=G$-mod vào phạm trù $\mathcal{B}=Ab$. 
 
Định nghĩa 3. Một $\delta$-hàm tử đối đồng điều $T$ được gọi là phổ dụng nếu với mỗi $\delta$- hàm tử đối đồng điều $S$ và với mỗi cấu xạ $f^{0}: T^{0}\to S^{0}$, tồn tại duy nhất một cấu xạ $T\to S$ các $\delta$-hàm tử là mở rộng của $f^{0}$.
 
Định lý 4. Giả sử $\mathcal{A}$ là một phạm trù có đủ nội xạ và $F:\mathcal{A}\to \mathcal{B}$ là một hàm tử khớp trái giữa hai phạm trù abel. Khi đó hàm tử dẫn xuất phải $R^{n}F$ là một $\delta$-hàm tử đối đồng điều phổ dụng. 
 
Đã có tính phổ dụng của hàm tử đối đồng điều, giờ ta có thể xem xét các tính chất hàm tử của nó. Ở đây ta định nghĩa các khái niệm inflation, restriction, correstriction map dựa trên tính phổ dụng của hàm tử đối đồng điều. Giả sử $G$ là một nhóm hữu hạn và $g$ là một nhóm con chuẩn tắc của $G$. Nếu $A$ là một $G$-module thì $A$ cũng là một $g$ và $A^{G}$ là một $G/g$-module. Câu hỏi đặt ra là liệu có mối liên hệ gì giữa các nhóm đối đồng điều $ H^{n}(G, A)$, $H^{n}(g, A)$, $ H^{n}(G/g, A)$?
 
Định nghĩa 5 (Ánh xạ hạn chế - Restriction map). Giả sử $H$ là một nhóm và $ \rho:H\to G$ là một đồng cấu nhóm. Ta có hàm tử quên $\rho^{\bullet}$ từ phạm trù $G$-mod vào phạm trù $H$-mod là khớp. Theo tính chất phổ dụng của hàm tử đối đồng điều, đơn cấu $A^{G}\to (\rho^{\bullet}A)^{H}$ cảm sinh duy nhất một cấu xạ $\rho^{*}=\text{Res}_{H}^{G}$ của các $\delta$-hàm tử
\[\text{Res}_{H}^{G}: H^{*}(G, A)\to H^{*}(H, \rho^{\bullet}A).\]
Chú ý rằng ở đây ta xem $S^{n}(A)=H^{n}(H, \rho^{\bullet}A)$ như một hàm tử từ phạm trù $G$-mod vào phạm trù $Ab$. Đây là một $\delta$-hàm tử vì hàm tử $\rho^{\bullet}$ là hàm tử khớp.  
 
Định nghĩa 6 (Ánh xạ dãn - Inflation map). Giả sử $H$ là một nhóm con chuẩn tắc của $G$, $ A$ là một $G$-module. Ánh xạ 
\[\text{Inf}:H^{*}(G/H, A^{H})\xrightarrow{\text{Res}} H^{*}(G, A^{H})\rightarrow H^{*}(G, A)\]
được gọi là ánh xạ dãn.
 
Định nghĩa 7 (Ánh xạ đối hạn chế - Correstriction map). Giả sử $H$ là một nhóm con của $G$ có tập biểu diễn lớp kề $S$, tức là $G=\bigcup_{s\in S}sH$. Ta có một ánh xạ chuẩn được định nghĩa bởi \[A^{H}\longrightarrow A^{G}, a\mapsto \sum_{g\in G}ga\]
và do đó nó cảm sinh một cấu xạ giữa các $\delta$-hàm tử, gọi là ánh xạ đối hạn chế
\[ \text{Cor}: H^{*}(H, A)\longrightarrow H^{*}(G, A).\]
 
 
Chú ý (Tính hàm tử của $H^{*}$ và ánh xạ hạn chế) Giả sử $\mathcal{D}$ là phạm trù các cặp $(G, A)$ với $G$ là một nhóm còn $A$ là một $G$-module, cùng với các cấu xạ $(H, B)\to (G, A)$ là một cặp $\rho:H\to G, \varphi:\rho^{\bullet}A\to B$. Mỗi cặp $(\rho, \varphi)$ như vậy sẽ cảm sinh một ánh xạ $\varphi\circ \text{Res}_{H}^{G}:H^{*}(G, A)\to H^{*}(H, B)$. Nói riêng, ánh xạ hạn chế cảm sinh từ $(\rho, \rho^{\bullet}A=B)$. 
 
Chú ý. Vì các ánh xạ dãn và ánh xạ hạn chế thỏa mãn tính chất phổ dụng nên ta có các biểu đồ giao hoán
 
Mệnh đề 8. Giả sử $G$ là một nhóm hữu hạn, $g$ là một nhóm con của $G$ và $A$ là một $G$-module. Ta có dãy khớp
\[H^{n}(G/g, A^{g})\xrightarrow{\text{Inf}} H^{n}(G, A)\xrightarrow{\text{Res}} H^{n}(g, A).\]
 
Chứng minh. Ta dễ dàng thấy rằng dãy này khớp từ tính chất hàm tử của $H^{*}$. $\square$
 
Mệnh đề 9. Giả sử $H$ là một nhóm con của $G$. Khi đó ánh xạ hợp
\[ \text{Cor}\circ \text{Res}: H^{r}(H, A)\to H^{r}(H, A)\]
chính là ánh xạ $[G:H]$. 
 
Chứng minh. Ta thấy rằng ánh xạ $\text{Cor}$ bậc $0$ chính là $a\mapsto (\sum g)a=[G:H]a$ nên tính phổ dụng của $\delta$-hàm tử đối đồng điều cho ta biết mở rộng của $\text{Cor}$ lên mọi bậc cũng chính là ánh xạ $[G:H]$. $\square$
 
Hệ quả 10. Ta có $mH^{r}(G, A)=0$ với mọi $r>0$ và $m=[G:1]$. 
 
Hệ quả 11. Giả sử $G$ là một nhóm hữu hạn và xét $G$-module $\mathbb{Q}$ cho bởi tác động tầm thường. Ta có $H^{r}(G, \mathbb{Q})=0$ với mọi $r>0$. 
 
Chứng minh. Với mỗi số nguyên dương $n$, phép nhân $n:\mathbb{Q}\to \mathbb{Q}$ là một đẳng cấu. Do đó nó cảm sinh một đẳng cấu $n:H^{*}(G, \mathbb{Q})\to H^{*}(G, \mathbb{Q})$. Tuy nhiên với $n=[G:1]$, ta biết rằng ảnh của ánh xạ $n:H^{r}(G, \mathbb{Q})\to H^{r}(G, \mathbb{Q})$ là $\left\{0\right\}$. Do đó ta phải có $H^{r}(G, \mathbb{Q})=0$ với mọi $r>0$.  $\square$
 

 


$\sum_{P} I(P, F\cap G)=mn$

 

"The first analogy that came to my mind is of immersing the nut in some softening liquid, and why not simply water? From time to time you rub so the liquid penetrates better, and otherwise you let time pass. The shell becomes more flexible through weeks and months—when the time is ripe, hand pressure is enough, the shell opens like a perfectly ripened avocado!" - Grothendieck


#6 vutuanhien

vutuanhien

    Thiếu úy

  • Điều hành viên Đại học
  • 639 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Khoa Toán, Trường Đại học Khoa học Tự nhiên, ĐHQGHN

Đã gửi 09-10-2021 - 00:30

4. Các đối đồng điều bậc cao và một số tính chất cơ bản của đối đồng điều (phần 3)

 

III. Sơ lược về lý thuyết trường các lớp (Class Field Theory).

 

Trong phần này mình giới thiệu hai kết quả cơ bản khác của đối đồng điều của nhóm là tính tuần hoàn của đối đồng điều của nhóm cyclic và định lý Tate-Nakayama. Các kết quả này đóng vai trò quan trọng trong việc phát triển lý thuyết trường các lớp. Một trong những ý tưởng khởi nguồn của lý thuyết trường các lớp (CLT) bắt nguồn từ lý thuyết Galois, cụ thể là câu hỏi về tính giải được bằng căn thức của một đa thức. Với mỗi một đa thức $f(x)\in \mathbb{Q}[x]$, Galois gắn với đa thức này một nhóm $G_{f}$ và chứng minh được rằng $f$ là giải được khi và chỉ khi $G_{f}$ là một nhóm giải được, i.e. $G_{f}$ có một dãy chuẩn tắc các nhóm con abel và trường phân rã của $f$ chứa một chuỗi các mở rộng abel, chẳng hạn như $$\mathbb{Q}\subseteq \mathbb{Q}(\zeta_{3})\subseteq \mathbb{Q}(\zeta_{3}, \sqrt[3]{2}).$$ Do đó một việc rất tự nhiên là ta cần nghiên cứu và phân loại các mở rộng abel của một trường.

 
Định lý 1 (Kronecker-Weber). Mọi mở rộng abel của $\mathbb{Q}$ đều chứa trong một mở rộng cyclotomic $\mathbb{Q}(\zeta_{n})$ với $n$ là một số nguyên dương nào đó.
 
Đây có thể xem như một trong những kết quả tốt nhất mà ta có thể có về việc mô tả cụ thể các mở rộng Abel. Kronecker và Weber phát biểu định lý nhưng chứng minh của cả hai người đều có chỗ thiếu sót. Chứng minh đúng đắn đầu tiên cho định lý này là của Hilbert (1896). Hilbert sau đó cố gắng mở rộng kết quả cho một trường số (number field) nhưng đến nay vẫn là một bài toán mở.
 
Giả thuyết 2 (Bài toán thứ 12 của Hilbert). Mở rộng kết quả của định lý Kronecker-Weber cho một trường số bất kỳ.
 
Thay $\mathbb{Q}$ bởi một trường địa phương, ta có một phiên bản "tương tự" của định lý Kronecker-Weber và cũng là kết quả chính của toàn bộ lý thuyết trường các lớp địa phương.
 
Định lý 3 (Luật thuận nghịch địa phương). Giả sử $K$ là một trường địa phương phi acsimet (nonarchimedean local field). Tồn tại duy nhất một đồng cấu $$\phi_{K}:K^{\times}\to \text{Gal}(K^{ab}/K)$$ thỏa mãn các tính chất sau 
a) với mọi phần tử đơn trị hóa $\omega$ của $K$, $\phi_{K}(\omega)$ tác động lên $K^{ur}$ (mở rộng không rẽ nhánh lớn nhất của $K$) như $\text{Frob}_{K}$;
b) với mọi mở rộng Abel hữu hạn $L/K$, nhóm $\text{Nm}_{L/K}(L^{\times})$ nằm trong hạt nhân của ánh xạ $x\mapsto \phi_{K}(x)\big|_{L}$ và $\varphi_{K}$ cảm sinh một đẳng cấu $$\phi_{L/K}:K^{\times}/\operatorname{Nm}_{L/K}(L^{\times})\to \text{Gal}(L/K).$$
Ánh xạ $\phi_{K}$ thường hay được gọi là ánh xạ thuận nghịch địa phương (local reciprocity map) hoặc ánh xạ Artin địa phương (local Artin map). Định lý này được Artin chứng minh vào năm 1927 và là kết quả trung tâm của lý thuyết trường các lớp địa phương, như ta sẽ thấy ở hệ quả dưới đây.
 

Hệ quả 4. Giả sử $K$ là một trường địa phương phi acsimet. Khi đó ánh xạ

\[L\mapsto Nm_{L/K}(L^{\times})\]

là một song ánh từ tập các mở rộng Abel hữu hạn của $K$ sang tập các nhóm con chuẩn của $K^{\times}$ (tức là các nhóm con của $K^{\times}$ có dạng $Nm(L^{\times})$ với một mở rộng abel hữu hạn $L/K$ nào đó.

 

Như vậy việc phân loại các mở rộng Abel của một trường địa phương được đưa về việc mô tả các nhóm con chuẩn (norm groups). Điều này đã được hoàn tất thông qua kết quả sau đây.

 

Định lý 5 (Local Existence Theorem). Các nhóm con chuẩn của $K^{\times}$ chính là các nhóm con mở có chỉ số hữu hạn.

 

Chìa khóa cho chứng minh luật thuận nghịch địa phương bằng đối đồng điều là các kết quả sau:

1) Với mọi mở rộng abel hữu hạn $L/K$, nhóm $H^{2}(\text{Gal}(L/K), L^{\times})$ là một nhóm con cyclic của $\mathbb{Q}/\mathbb{Z}$ cấp $[L:K]$. Nhóm này có một phần tử sinh chính tắc. Hơn thế nữa, ta có một đẳng cấu (gọi là ánh xạ bất biến)

\[\text{inv}_{K}:H^{2}(\text{Gal}(K^{ur}/K), (K^{ur})^{\times})\to \mathbb{Q}/\mathbb{Z}\]

2) Vì $H^{2}(\text{Gal}(L/K), L^{\times})$ là cyclic và $H^{1}(\text{Gal}(L/K), L^{\times})=0$ theo định lý Hilbert 90, từ định lý Tate-Nakayama ta có một đẳng cấu $H^{-2}(\text{Gal}(L/K), L^{\times})\cong H^{0}(\text{Gal}(L/K), L^{\times})$. Các kết quả về đối đồng điều Tate cho ta biết rằng

$H^{-2}(\text{Gal}(L/K), L^{\times})\cong \text{Gal}(L/K)^{ab}$ và $H^{0}(\text{Gal}(L/K), L^{\times})\cong K^{\times}/\text{Nm}(L^{\times})$.

Lấy ánh xạ ngược của đẳng cấu trên ta có một đẳng cấu 

\[\phi_{L/K}:K^{\times}/\text{Nm}(L^{\times})\to \text{Gal}(L/K)^{ab}\]

và lấy giới hạn, ta thu được ánh xạ $\phi_{K}:K^{\times}\to \text{Gal}(K^{ab}/K)$ chính là ánh xạ cần tìm (còn gọi là ánh xạ Artin địa phương).  

 

IV. Đối đồng điều Tate (Tate cohomology) và định lý Tate-Nakayama.

Giống như việc đối đồng điều được định nghĩa thông qua hàm tử khớp trái $A^{G}$ và một dải nội xạ, ta có thể định nghĩa đồng điều $A_{G}$ thông qua hàm tử khớp phải và một dải xạ ảnh (projective resolution). Đối đồng điều Tate là một cách để kết nối hai khái niệm đồng điều và đối đồng điều với nhau. 

 

Định nghĩa 6. Một $G$-module $P$ được gọi là xạ ảnh nếu $\text{Hom}_{G}(P, \bullet)$ là một hàm tử khớp. 

 
Ta nói một phạm trù abel $\mathcal{C}$ là có đủ xạ ảnh nếu với mọi vật $A$ đều có thể xem như thương của một vật xạ ảnh. Nói cách khác, ta có một dãy khớp
\[\dots\to P_{1}\xrightarrow{d_{1}}P_{0}\xrightarrow{d_{0}} A\to 0\]
mà $P_{0}, P_{1}, \dots$ đều là xạ ảnh. 
 
Mệnh đề 7. Phạm trù $G$-Mod là phạm trù có đủ xạ ảnh (enough projective).
 
Với mỗi $G$-module $A$, ta xét tập hợp:
\[A_{G}=A/\langle ga-a\rangle, \quad g\in G, a\in A.\]
Với mỗi dãy khớp
\[0\longrightarrow A\longrightarrow B\longrightarrow C\longrightarrow 0\]
ta có một dãy khớp 
\[A_{G}\longrightarrow B_{G}\longrightarrow C_{G}\longrightarrow 0.\]
Như vậy hàm tử $A\mapsto A_{G}$ từ phạm trù $G$-mod vào phạm trù $Ab$ là một hàm tử khớp phải nên ta có thể lấy hàm tử dẫn xuất trái, đây chính là hàm tử đồng điều. Cụ thể hơn, vì $G$-Mod có đủ xạ ảnh nên với mỗi dải nội xạ bất kỳ
\[\dots\to P_{1}\xrightarrow{d_{1}}P_{0}\xrightarrow{d_{0}} A\to 0\]
tác động hàm tử nói trên vào ta có dãy 
\[ \dots\to (P_{1})_{G}\xrightarrow{d_{1}}(P_{0})_{G}\xrightarrow{d_{0}} A_{G}\to 0 \]
Dãy này không nhất thiết phải là dãy khớp, nhưng nó là một phức (chain complex), và do đó ta có thể định nghĩa nhóm đồng điều ở vị trí thứ $n$, ký hiệu là $H_{n}(G, A)$.
 
Định nghĩa 8 (Đồng điều). Ta định nghĩa nhóm đồng điều thứ $n$ của $G$ với hệ số trong $A$ là \[H_{n}(G, A)=\text{Ker}(d_{n})/\text{Img}(d_{n+1}). \]
 
Chú ý. Vì đồng điều là một hàm tử dẫn xuất nên nó cũng là một $\delta$-hàm tử phổ dụng và có đủ các tính chất như hàm tử đối đồng điều.  
 
Ví dụ. Giả sử $G$ là một nhóm hữu hạn và xét $\mathbb{Z}$ là một $G$-module với tác động tầm thường. Ta có một đẳng cấu 
\[H_{1}(G, \mathbb{Z})\cong G^{ab}\]
với $G^{ab}$ là abel hoá của nhóm $G$, tức là thương của $G$ bởi nhóm giao hoán tử $[G, G]$. 
 
Chứng minh. Xét ánh xạ mở rộng 
\[\epsilon: \mathbb{Z}[G]\longrightarrow \mathbb{Z}, \quad \sum n_{g}g\mapsto \sum n_{g}\]
và ký hiệu $I_{G}$ là hạt nhân của ánh xạ này. Đây là một $\mathbb{Z}$-module tự do với cơ sở $\set{g-1| g\in G}$ và ta có
\[A/I_{G}A\cong A_{G}\cong H_{0}(G, A).\]
Nói riêng, ta có $H_{0}(G, \mathbb{Z}[G])=\mathbb{Z}[G]/I_{G}$ và $H_{0}(G, I_{G})=I_{G}/I_{G}^{2}$. Xét dãy khớp
\[ 0\longrightarrow I_{G}\longrightarrow \mathbb{Z}[G]\longrightarrow \mathbb{Z}\longrightarrow 0.\]
Dãy khớp đồng điều cảm sinh từ dãy này là 
\[ 0\longrightarrow H_{1}(G, \mathbb{Z})\longrightarrow I_{G}/I_{G}^{2}\longrightarrow \mathbb{Z}[G]/I_{G}\longrightarrow \mathbb{Z}\longrightarrow 0.\]
Vì ánh xạ $I_{G}/I_{G}^{2}\to \mathbb{Z}[G]/I_{G}$ là ánh xạ tầm thường nên ta có đẳng cấu
\[H_{1}(G, \mathbb{Z})\cong I_{G}/I_{G}^{2}.\]
Bây giờ ta cần xây dựng một đẳng cấu giữa $G^{ab}$ và $I_{G}/I_{G}^{2}$. Ta có một đồng cấu tự nhiên cho bởi $g+[G, G]\mapsto (g-1)+I_{G}^{2}$, đồng cấu này là định nghĩa tốt vì $I_{G}/I_{G}^{2}$ là nhóm abel và do đó mọi đồng cấu từ $G$ vào $I_{G}/I_{G}^{2}$ phân tích qua $G^{ab}$. Ta lại xét đồng cấu từ $I_{G}$ vào $G^{ab}$ cho bởi $g-1\mapsto [g]$. Vì
\[(g-1)(g'-1)=(gg'-1)-(g-1)-(g'-1)\]
nên $I_{G}^{2}$ nằm trong hạt nhân của đồng cấu này và ta có một đồng cấu cảm sinh chính là đồng cấu ngược. 
 
Ta đã thấy rằng khái niệm đối đồng điều được xây dựng dựa trên dải nội xạ còn đồng điều được xây dựng dựa trên dải xạ ảnh. Trong phần này ta xây dựng đối đồng điều Tate cùng với dải tự do xem như một cách nối hai dải nội xạ và xạ ảnh với nhau. Với $n\ge 1$, xét các module $X_{n}=X_{-n-1}$ là các $G$-module tự do sinh bởi tập $G^{n}$ còn với $n=0$ thì ta đặt $X_{0}=X_{-1}=\mathbb{Z}[G]$. Xét các ánh xạ
\[\epsilon: \mathbb{Z}[G]\longrightarrow \mathbb{Z}, \quad \sum n_{g}g\mapsto \sum n_{g}\]
\[\mu: \mathbb{Z}\longrightarrow \mathbb{Z}[G],\quad n\mapsto n\cdot \sum_{g\in G} g\]
 
Ngoài ra ta cũng định nghĩa các ánh xạ $d_{n}:X_{n}\to X_{n-1}$ như sau
\[d_{0}(1)=\text{Nm}_{G}\]
\[d_{1}(g)=g-1\]
\[d_{n}(g_{1},\dots, g_{n})=g_{1}(g_{2}, \dots, g_{n})+\sum_{i=1}^{n-1}(-1)^{i}(g_{1},\dots, g_{i-1}, g_{i}g_{i+1},\dots, g_{n})+(-1)^{n}(g_{1},\dots, g_{n-1}),\quad n>1\]
\[d_{-1}1=\sum_{g\in G}(g^{-1}(g)-(g))\]
\[d_{-n-1}(g_{1},\dots, g_{n})=\sum_{g\in G}g^{-1}(g, g_{2}, \dots, g_{n})+\sum_{g\in G}\sum_{i=1}^{n}(-1)^{i}(g_{1},\dots, g_{i-1}, g_{i}g_{i+1}, g^{-1}\dots, g_{n})+\sum_{g\in G}(-1)^{n+1}(g_{1},..., g_{n}, g)\]
 
Từ đây ta có một dãy khớp, gọi là dải tự do đầy đủ
2021-10-09.png
Có thể thấy ngay rằng dải này là kết hợp của hai dải
\[0\rightarrow \mathbb{Z}\xrightarrow{\mu}X_{-1}\xrightarrow{d_{-1}}X_{-2}\xrightarrow{d_{-2}}\dots\]
\[\dots\rightarrow X_{2}\xrightarrow{d_{2}}X_{1}\xrightarrow{d_{1}}X_{0}\xrightarrow{\epsilon}\mathbb{Z}\rightarrow 0\]
Về cơ bản, đồng điều được lấy từ dãy thứ nhất và đối đồng điều được lấy từ dãy thứ hai. Chú ý rằng các $G$-module $X_{i}$ là tự do nên lấy đối ngẫu ta có một phức
\[\dots\xrightarrow{d_{-1}}\text{Hom}(X_{-1}, A)\xrightarrow{d_{0}}\text{Hom}(X_{0}, A)\xrightarrow{d_{1}}\text{Hom}(X_{1}, A)\xrightarrow{d_{2}}\dots\]
 
Định nghĩa 9 (Đối đồng điều Tate). Ta định nghĩa nhóm đối đồng điều Tate thứ $n$ với hệ số trong $A$ là
\[H_{T}^{n}(G, A)=\text{Ker}(d_{n+1})/\text{Img}(d_{n}).\]
Cụ thể hơn, ta có
\[H_{T}^{n}(G, A)=\left\{\begin{matrix} H^{n}(G, A), & n\ge 1\\ A^{G}/\text{Nm}_{G}(A), & n=0\\ \text{Ker}(\text{Nm}_{G})/I_{G}A, & n=-1\\ H_{-n-1}(G, A), & n< -1 \end{matrix}\right.\]
 
Mệnh đề 10. Nếu $A$ là một $G$-module cảm sinh thì $H_{T}^{n}(G, A)=0$ với mọi $n$. 
 
Chứng minh. Với $n>0$, các nhóm đối đồng điều Tate chính là nhóm đối đồng điều thông thường và kết quả này đã được chứng minh ở phần trước. Với $n=0, -1$, việc tính toán cụ thể không khó. Với $n<-1$, giả sử $A=\mathbb{Z}[G]\otimes_{\mathbb{Z}}X$ và gọi $X_{0}$ là một nhóm abel tự do sao cho $X$ là thương của $X_{0}$. Hạt nhân $X_{1}$ của đồng cấu $X_{0}\longrightarrow X$ cũng là một nhóm abel tự do. Do đó từ dãy khớp
\[0\longrightarrow X_{1}\longrightarrow X_{0}\longrightarrow X\longrightarrow 0\]
ta có dãy khớp
\[0\longrightarrow  A_{1}\longrightarrow A_{0}\longrightarrow A\longrightarrow 0\]
bằng cách tensor dãy khớp ban đầu với $\mathbb{Z}[G]$. Tuy nhiên, vì $A_{0}$, $A_{1}$ là các $G$-module tự do nên chúng vừa là module nội xạ và đồng thời cũng là xạ ảnh. Do đó $H_{n}(G, A_{1})=H_{n}(G, A_{0})=0$ với mọi $n>0$ và từ dãy khớp đồng điều ta có điều phải chứng minh.  $\square$
 
Mệnh đề 11. Giả sử $G$ là một nhóm cyclic hữu hạn và $A$ là một $G$-module. Với mỗi cách chọn phần tử sinh của $G$, ta có đẳng cấu
\[H_{T}^{n}(G, A)\xrightarrow{\cong} H_{T}^{n+2}(G, A)\]
với mọi $n\in \mathbb{Z}$. 
 
Chứng minh. Giả sử $\sigma$ là một phần tử sinh của $G$ và $|G|=m$. Xét ánh xạ $\text{Nm}:G\to G$ cho bởi $\sigma\mapsto 1+\sigma+\dots+\sigma^{m-1}$. Dễ thấy rằng $(\sigma-1)\circ \text{Nm}=1$ nên ta có một dãy khớp
\[\dots\xrightarrow{\text{Nm}}\mathbb{Z}[G]\xrightarrow{\sigma-1}\mathbb{Z}[G]\xrightarrow{\text{Nm}}\mathbb{Z}[G]\longrightarrow \mathbb{Z}\longrightarrow 0\]
Lấy đối ngẫu $\text{Hom}(\bullet, A)$ ta thu được một phức
\[\dots\xleftarrow{\text{Nm}}A\xleftarrow{\sigma-1}A\xleftarrow{\text{Nm}}A\xleftarrow{\sigma-1} A\longleftarrow 0 (4.1)\]
và do đó ta có 
\[H^{2r}(G, A)=A^{G}/\text{Nm}_{G}(A), H^{2r+1}=\text{Ker}(\text{Nm}_{G})/I_{G}A, \quad r> 0.\]
Để tính các nhóm đồng điều, ta sử dụng trực tiếp định nghĩa. Lấy dãy khớp ban đầu tensor với $A$ ta thu được một dải
\[\dots\xrightarrow{\text{Nm}}\mathbb{Z}[G]\otimes A\xrightarrow{\sigma-1}\mathbb{Z}[G]\otimes A\xrightarrow{\text{Nm}}\mathbb{Z}[G]\otimes A\longrightarrow \mathbb{Z}\otimes A\longrightarrow 0\]
Tác động hàm tử $A\mapsto A_{G}$ vào dải này ta có
\[\dots\xrightarrow{\text{Nm}}(\mathbb{Z}[G]\otimes A)_{G}\xrightarrow{\sigma-1}(\mathbb{Z}[G]\otimes A)_{G}\xrightarrow{\text{Nm}}(\mathbb{Z}[G]\otimes A)_{G}\longrightarrow 0\]
Tuy nhiên, vì $(\mathbb{Z}[G]\otimes A)_{G}=A$ nên ta lại thu được dải (4.1). Do đó ta có
\[H_{T}^{2r}(G, A)=A^{G}/\text{Nm}_{G}(A), H_{T}^{2r+1}=\text{Ker}(\text{Nm}_{G})/I_{G}A, \quad r< -1.\]
Từ đây ta có điều phải chứng minh. $\square$
 
Cuối cùng, ta có 
 
Định lý 12 (Tate-Nakayama). Giả sử $G$ là một nhóm hữu hạn và $M$ là một $G$-module. Giả sử rằng với mọi nhóm con $H$ của $G$,
a) $H_{T}^{1}(H, M)=0$ và
b) $H_{T}^{2}(H, M)$ là một nhóm cyclic cấp $[H:1]$.
Khi đó với mọi $r$, tồn tại một đẳng cấu
\[ H_{T}^{r}(G, \mathbb{Z})\to H_{T}^{r+2}(G, M)\]
chỉ phụ thuộc vào cách chọn phần tử sinh của $H_{T}^{2}(G, M)$.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi vutuanhien: 09-10-2021 - 00:34

$\sum_{P} I(P, F\cap G)=mn$

 

"The first analogy that came to my mind is of immersing the nut in some softening liquid, and why not simply water? From time to time you rub so the liquid penetrates better, and otherwise you let time pass. The shell becomes more flexible through weeks and months—when the time is ripe, hand pressure is enough, the shell opens like a perfectly ripened avocado!" - Grothendieck


#7 bangbang1412

bangbang1412

    Độc cô cầu bại

  • Phó Quản trị
  • 1565 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo
  • Đến từ:Dốt nhất khoa Toán
  • Sở thích:Algebraic Topology
    Algebraic Geometry

Đã gửi 14-10-2021 - 18:19

Em không thạo về đối đồng điều nhóm lắm nhưng vẫn xin đóng góp một post xem như mục phụ nên em sẽ không đánh số để tránh làm đứt mạch bài của mọi người.

 

Xuống thang Galois và mở rộng định lý Hilbert 90

 

Trước tiên ta nhắc lại phiên bản cổ điển của định lý Hilbert 90 với mở rộng đơn sinh.

 

Định lý 1 (Hilbert 90). Cho $\Omega/k$ là một mở rộng trường, đơn sinh với nhóm Galois $G = \left \langle \sigma \right \rangle$, nếu $\mathrm{Nm}_{\Omega/k}(\alpha)=1$ thì $\alpha = \beta/\sigma\beta$. 

 

Ví dụ 2. Mở rộng bậc hai $\mathbb{Q}(i)/\mathbb{Q}$ có nhóm Galois là $\mathbb{Z}/2$ với phần tử không tầm thường là liên hợp $\sigma: a+bi \mapsto a-bi$, chuẩn của một phần tử $a+bi$ là $a^2+b^2$. Như vậy một phần tử có chuẩn $1$ là nghiệm hữu tỷ của phương trình $a^2+b^2=1$. Định lý Hilbert 90 nói rằng tất cả các nghiệm như vậy có dạng 

$$\frac{c+di}{c-di} = \frac{c^2-d^2}{c^2+d^2} + \frac{2cd}{c^2+d^2}i.$$ Ở đây chúng ta muốn phát biểu lại dưới ngôn ngữ đối đồng điều

 

Định lý 3 (Hilbert 90). Cho $\Omega/k$ là một mở rộng Galois hữu hạn với nhóm Galois $G$ (không nhất thiết đơn sinh), khi đó $H^1(G,\Omega^{\times}) = 1.$

 

Định lý 4. Cho $\Omega/k$ là một mở rộng Galois (có thể vô hạn, tuy nhiên ở đây ta chỉ làm với trường hợp hữu hạn) với nhóm Galois $G$, khi đó $$H^1(G,\mathrm{GL}(n,\Omega))=1.$$ Nói riêng, $H^1(\mathrm{Gal}(k^{sep}/k), \mathrm{GL}(n,k^{sep}))=1$ trong đó $k^{sep}$ là bao tách được của $k$.

 

Trước tiên ta cần một số định nghĩa

 

Định nghĩa 5. Cho $\Omega/k$ là một mở rộng Galois, $U$ là một $\Omega$-không gian vector phải với một tác động $\bullet$ của $G=\mathrm{Gal}(\Omega/k)$ lên $U$. Ta nói $G$ tác động bằng các tự đẳng cấu nửa tuyến tính lên $U$ nếu

$$\sigma \bullet (u+ u') = \sigma \bullet u + \sigma \bullet u', \ \sigma \bullet (u\lambda) = (\sigma \bullet u)(\sigma \lambda),$$ trong đó $\sigma \in G, u,u' \in U, \lambda \in \Omega$. Ở đây viết $\sigma \lambda$ là tác động tự nhiên của $G$ lên $\Omega$.

 

Mệnh đề 6 (xuống thang Galois). Cho $U$ là một $\Omega$-kgvt sao cho tồn tại một tác động của $G$ lên $U$ bởi các tự đẳng cấu nửa tuyến tính thì

$$U^G = \left \{u \in U \mid \sigma \bullet u = u \ \forall \ \sigma \in G \right \}$$ là một $k$-kgvt và ta có một đẳng cấu 

$$f: U^G \otimes_k \Omega \to U, u \otimes \lambda \mapsto u\lambda$$ của các $\Omega$-kgvt.

 

Chứng minh. Trước tiên, $U^G$ là $k$-kgvt và $f$ là $\Omega$-tuyến tính là hiển nhiên. Ta chứng minh $f$ toàn ánh. Đặt

$$G = \left \{\sigma_1 = \mathrm{id},\sigma_2,...,\sigma_n \right \}.$$ Lấy $u \in U$ và $\left \{\lambda_1,...,\lambda_n \right \}$ là một $k$-cơ sở của $\Omega$. Đặt

$$u_i = \sum_j \sigma_j \bullet (u \lambda_i).$$ Ta lần lượt tác động $\sigma_k$

$$\sigma_k \bullet u_i = \sum (\sigma_k \sigma_k)\bullet (u\lambda_i).$$ Như vậy tác động này chỉ làm giao hoán các vị trí của tổng, nói cách khác $\sigma_k \bullet u_i = u_i$ và $u_i \in U^G$. Do $\sigma_1,...,\sigma_n$ là các phần tử phân biệt trong $G$ nên chúng là $k$-độc lập tuyến tính (bổ đề Dedekind) trong $\mathrm{End}_k(\Omega)$. Ma trận $M = (\sigma_i \lambda_j)_{ij}$ do đó nằm trong $\mathrm{GL}(n,\Omega)$. Lại theo định nghĩa của tác động nửa tuyến tính

$$u_i = \sum \sigma_j \bullet (u \lambda_i) = \sum (\sigma_j \bullet u)(\sigma_j \lambda_i)$$ nên nếu gọi $M^{-1} = (m_{ij})$ thì từ phương trình $M^{-1}M = I$ ta suy ra

$$\sum m_{1j}(\sigma_k \lambda_j) = \delta_{1k} \ \forall \ k =\overline{1,n}$$ trong đó $\delta_{1k}$ là ký hiệu Kronecker. Như vậy

$$\sum_j u_j m_{1j} = \sum_j \sum_k (\sigma_k \bullet u)(\sigma_k \lambda_j)m_{1j} = \sum_k (\sigma_k \bullet u)\delta_{1k} = \sigma_1 \bullet u = u.$$ Nói cách khác, $f(\sum_j u_j \otimes m_{1j}) = u$. Ta cần chứng minh nốt tính đơn ánh của $f$, để làm vậy ta chứng minh rằng nếu $u_1,...,u_r \in U^G$ là $k$-độc lập tuyến tính thì chúng vẫn là $\Omega$-độc lập tuyến tính. Giả sử tồn tại một phụ thuộc tuyến tính

$$u_1 \mu_1 + ... + u_r \mu_r = 0, \ \mu_i \in \Omega.$$ Giả sử thêm $r>1$ là số nhỏ nhất như vậy và $\mu_1 = 1$. Bằng phản chứng ta có thể giả sử không phải tất cả $\mu_i$ nằm trong $k$, ví dụ $\mu_2 \notin k$, chọn $\sigma \in G$ mà $\sigma \mu_2 \neq \mu_2$ (do $\Omega^G = k$ vì đây là mở rộng Galois). Ta có

$$\sigma \bullet (\sum_i u_i \mu_i) = \sum (\sigma \bullet u_i)(\sigma \mu_i) = \sum u_i (\sigma \mu_i) = 0.$$ Lấy phương trình này trừ cho $\sum u_i \mu_i$ ta suy ra $\sum_{i \geq 2} u_i(\sigma \mu_i - \mu_i) = 0$ ta thu được $r$ nhỏ hơn, vô lý, như vậy ta có đpcm.

 

Chứng minh định lý 4. Lấy $\alpha \in Z^1(G,\mathrm{GL}(n,\Omega))$, ta định nghĩa một tác động bởi các tự đẳng cấu nửa tuyến tính trên $\Omega^n = U$ bởi

$$\sigma \bullet u = \alpha(\sigma)(\sigma u) \ \forall \ u \in U, \sigma \in G.$$ Ở đây $\alpha: G \to \mathrm{GL}(n,\Omega)$ nên $\alpha(\sigma) \in \mathrm{GL}(n,\Omega)$ có thể tác động lên $\sigma u \in \Omega^n$. Lấy $v_1,...,v_n$ là một $k$-cơ sở của $U^G$ và cũng là một $\Omega$-cơ sở của $U$, đặt $P = (v_1 | v_2 |... | v_n) \in \mathrm{GL}(n,\Omega)$, khi đó

$$\sigma P = (\sigma v_1 | ... | \sigma v_n),$$ và 

$$v_i = \sigma \bullet v_i = \alpha(\sigma)(\sigma v_i) \ \forall \ i = \overline{1,n}.$$ Viết lại dưới dạng ma trận ta có $P = \alpha(\sigma)(\sigma P)$; nói cách khác, $\alpha$ cohomologous với đối chu trình tầm thường và ta có đpcm.

 

Hệ quả 7. $H^1(G, \mathrm{SL}(n,\Omega)) = 1$. 

Chứng minh. Xét dãy khớp

$$1 \to \mathrm{SL}(n,\Omega) \to \mathrm{GL}(n,\Omega) \overset{\mathrm{det}}{\rightarrow} \Omega^{\times} \to 1.$$ Dãy này cảm sinh ra dãy

$$H^0(G,\mathrm{GL}(n,\Omega)) \overset{\mathrm{det}}{\rightarrow} H^0(G,\Omega^{\times}) \to H^1(G, \mathrm{SL}(n,\Omega)) \to 1.$$

Tuy nhiên, $\mathrm{det}$ là toàn cấu nên $H^1(G,\mathrm{SL}(n,\Omega))=1$.

 

Định Hilbert 90 có thể mở rộng lên lược đồ

 

Định lý 8 (Hilbert 90). Tồn tại một đẳng cấu chính tắc

$$H^1_{et}(X,(\mathbb{G}_m)_X) \cong \mathrm{Pic}(X) = H^1(X,\mathcal{O}_X^{\times}),$$ trong đó $X$ là một lược đồ và $(\mathbb{G}_m)_X$ là bó nhân tính trên etale site $X_{et}$. 

 

Ý tưởng. Tồn tại cấu xạ nhúng $\epsilon: X_{Zar} \to X_{et}$ của các topo Grothendieck, ở đây $et$ là etale site và $Zar$ là topo Zariski. Như vậy theo dãy phổ Grothendieck ta có 

$$E^{p,q}_2 = H^p_{Zar}(X, R^q\epsilon^s(\mathbb{G}_m))_X \Rightarrow H^{p+q}_{et}(X, (\mathbb{G}_m)_X).$$ Trong đó $\epsilon^s(\mathbb{G}_m) = \mathcal{O}_X^{\times}$ nên đẳng cấu trong định lý Hilbert 90 thực chất là chứng minh cấu xạ edge của dãy phổ 

$$E^{1,0}_2 \overset{\cong}{\rightarrow} E^1 \Leftrightarrow H^1_{Zar}(X,\mathcal{O}^{\times})  \overset{\cong}{\rightarrow} H^1_{et}(X,(\mathbb{G}_m)_X).$$ Điều này thực chất nói rằng dẫn xuất $R^1\epsilon^s(\mathbb{G}_m)_X=0$. Ta không đi chi tiết thêm vào chứng minh.

 

Tham khảo

 

[1] G. Berhuy, An Introduction to Galois Cohomology and Its Applications.

[2] G. Tamme, Introduction to Étale Cohomology.

[3] J. P. Serre, Local Fields.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi bangbang1412: 14-10-2021 - 18:38

Declare to yourself that, from now on, your life is dedicated to one and only one woman, the greatest mistress of your life, the tenderest woman you have ever encountered, Mathematica.






Được gắn nhãn với một hoặc nhiều trong số những từ khóa sau: đối đồng điều, nhóm, đại số

0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh