Đến nội dung


Hình ảnh

Cho $a^2b+b^2c+c^2a=3abc$. CMR $abc$ là lập phương một số nguyên


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 2 trả lời

#1 MiTiBAM

MiTiBAM

    Binh nhì

  • Thành viên mới
  • 15 Bài viết

Đã gửi 08-10-2021 - 16:55

Cho $a,b,c$ là ba số nguyên khác không và thỏa mãn ${{a}^{2}}b+{{b}^{2}}c+{{c}^{2}}a=3abc$ (1)
 
a) Hãy chỉ ra một bộ số nguyên $a,b,c$ đôi một khác nhau thỏa (1).
 
b) Chứng minh $abc$ là lập phương của một số nguyên.


#2 in4math3tics

in4math3tics

    Lính mới

  • Thành viên mới
  • 2 Bài viết

Đã gửi 04-08-2022 - 19:29

a) $(a;b;c) = (1;4;-2)$

b) Từ giả thiết: $\frac{b}{a} + \frac{c}{b} + \frac{a}{c} = 3$ 

Đặt $x^{3} = \frac{b}{a}$ Tương tự các biến $y,z (x;y;z \epsilon Q)$

Khi đó: $x^{3} + y^{3} + z^{3} = 3xyz \Leftrightarrow (x+y+z)(x^2 + y^2 + z^2 - xy - yz - zx) = 0$

Do $a,b,c$ đôi một khác nhau nên $x,y,z$ cũng đôi một khác nhau.

$\Rightarrow x+y+z=0 \Leftrightarrow \sqrt[3]{\frac{b}{a}} + \sqrt[3]{\frac{c}{b}} + \sqrt[3]{\frac{a}{c}} = 0$

$\Rightarrow b\sqrt[3]{abc} + \sqrt[3]{(abc)^{2}} + ab = 0$ và $bc + c\sqrt[3]{abc} + \sqrt[3]{(abc)^{2}} = 0$ 

Trừ theo vế, từ đó có đfcm.



#3 nhungvienkimcuong

nhungvienkimcuong

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 524 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Daklak
  • Sở thích:đã từng có

Đã gửi 05-08-2022 - 08:40

 

Cho $a,b,c$ là ba số nguyên khác không và thỏa mãn ${{a}^{2}}b+{{b}^{2}}c+{{c}^{2}}a=3abc$ (1)
 
a) Hãy chỉ ra một bộ số nguyên $a,b,c$ đôi một khác nhau thỏa (1).
 
b) Chứng minh $abc$ là lập phương của một số nguyên.

Bài toán tổng quát hơn (xem ở đây): Với các số nguyên $a,b,c$ cùng khác $0$ thỏa mãn $\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}$ là số nguyên thì $\sqrt[3]{abc}$ cũng là số nguyên. 


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nhungvienkimcuong: 05-08-2022 - 08:42

Đừng khóc vì chuyện đã kết thúc hãy cười vì chuyện đã xảy ra  ~O) 

Thật kì lạ anh không thể nhớ đến tên mình mà chỉ nhớ đến tên em  :wub: 

Chúa tạo ra vũ trụ của con người còn em tạo ra vũ trụ của anh  :ukliam2: 





1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh