Cho $a^2b+b^2c+c^2a=3abc$. CMR $abc$ là lập phương một số nguyên
#1
Đã gửi 08-10-2021 - 16:55
#2
Đã gửi 04-08-2022 - 19:29
a) $(a;b;c) = (1;4;-2)$
b) Từ giả thiết: $\frac{b}{a} + \frac{c}{b} + \frac{a}{c} = 3$
Đặt $x^{3} = \frac{b}{a}$ Tương tự các biến $y,z (x;y;z \epsilon Q)$
Khi đó: $x^{3} + y^{3} + z^{3} = 3xyz \Leftrightarrow (x+y+z)(x^2 + y^2 + z^2 - xy - yz - zx) = 0$
Do $a,b,c$ đôi một khác nhau nên $x,y,z$ cũng đôi một khác nhau.
$\Rightarrow x+y+z=0 \Leftrightarrow \sqrt[3]{\frac{b}{a}} + \sqrt[3]{\frac{c}{b}} + \sqrt[3]{\frac{a}{c}} = 0$
$\Rightarrow b\sqrt[3]{abc} + \sqrt[3]{(abc)^{2}} + ab = 0$ và $bc + c\sqrt[3]{abc} + \sqrt[3]{(abc)^{2}} = 0$
Trừ theo vế, từ đó có đfcm.
- DOTOANNANG và Hoang72 thích
#3
Đã gửi 05-08-2022 - 08:40
Cho $a,b,c$ là ba số nguyên khác không và thỏa mãn ${{a}^{2}}b+{{b}^{2}}c+{{c}^{2}}a=3abc$ (1)a) Hãy chỉ ra một bộ số nguyên $a,b,c$ đôi một khác nhau thỏa (1).b) Chứng minh $abc$ là lập phương của một số nguyên.
Bài toán tổng quát hơn (xem ở đây): Với các số nguyên $a,b,c$ cùng khác $0$ thỏa mãn $\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}$ là số nguyên thì $\sqrt[3]{abc}$ cũng là số nguyên.
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nhungvienkimcuong: 05-08-2022 - 08:42
- DOTOANNANG và Hoang72 thích
Đừng khóc vì chuyện đã kết thúc hãy cười vì chuyện đã xảy ra
Thật kì lạ anh không thể nhớ đến tên mình mà chỉ nhớ đến tên em
Chúa tạo ra vũ trụ của con người còn em tạo ra vũ trụ của anh
2 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 2 khách, 0 thành viên ẩn danh