PHẠM TRÙ VÔ CỰC
Mục tiêu của bài này là để giải thích định nghĩa của phạm trù vô cực theo Jacob Lurie. Nói ngắn gọn, ta sẽ giải thích định nghĩa của $\infty$-phạm trù như hợp của lý thuyết đồng luân và lý thuyết phạm trù.
Nhắc lại trong bài này https://diendantoanh...iều-lý-thuyết/, ta biết rằng nhóm cơ bản của một không gian tô pô $X$ tại điểm $x\in X$ được định nghĩa như là nhóm các nút tại $x$ chia thương cho quan hệ đồng luân. Ngoài ra, ta cũng định nghĩa $\pi_0(X)$ là tập các thành phần liên thông đường. Chúng được sử dụng để phân biệt các không gian tô pô: nếu các không gian tô pô $X$ và $Y$ đồng phôi thì $\pi_0(X)\simeq \pi_0(Y)$, $\pi_1(X)\simeq \pi_1(Y)$ (trong trường hợp các không gian $X, Y$ là liên thông đường).
Ta có thể gắn với mỗi không gian tô pô $X$ phạm trù $\pi_{\leq 1}(X)$ mà tử đó các tập $\pi_0(X)$ và $\pi_1(X)$ có thể được trích xuất ra thuần tuý bằng ngôn ngữ phạm trù, độc lập hoàn toàn với không gian tô pô $X$. Phạm trù $\pi_{\leq 1}(X)$ được định nghĩa như sau:
(a) Các vật là các điểm của $X$;
(b) Một cấu xạ giữa hai điểm $x, y$ là một lớp đồng luân của các đường từ $x$ sang $y$.
Từ đó, ta có thể mô tả $\pi_0(X)$ như là tập các lớp đẳng cấu của $\pi_{\leq 1}(X)$ và $\pi_1(X,x)=Hom_{\pi_{\leq 1}(X)}(x,x).$
Tất nhiên, chỉ với định nghĩa này thì ta không thấy được tại sao cách mô tả các tập $\pi_0(X), \pi_1(X)$ bằng phạm trù lại hữu dụng. Tuy nhiên, nó lại gợi ý cho ta một điều sau. Nhắc lại rằng ngoài các nhóm $\pi_0(X), \pi_1(X)$, ta có thể định nghĩa một cách tương tự các nhóm $\pi_n(X)$, với $n\geq 2,$ được gọi là các nhóm đồng luân cấp cao. Theo đó, các nhóm $\pi_n(X,x)$ là nhóm các ánh xạ liên tục $S^n \to X$ tại $x$ chia thương cho quan hệ đồng luân. Lấy cảm hứng từ $\pi_{\leq 1}(X)$, ta mong muốn gắn với $X$ một phạm trù, tạm ký hiệu là $\pi(X)$, sao cho sao cho $\pi_{n}(X)$ được định nghĩa thông qua $\pi(X)$. Tuy nhiên trên thực tế, phạm trù mà ta kỳ vọng lại không phải một phạm trù thông thường, tức là không phải là một phạm trù chỉ bao gồm các vật và các cấu xạ giữa các vật, mà lại có một cấu trúc phức tạp hơn, mà ta tạm gọi là $\infty$-phạm trù. Trong một $\infty$-phạm trù, ngoài các cấu xạ giữa các vật, mà ta gọi là các 1-cấu xạ, còn có các 2-cấu xạ giữa các 1-cấu xạ, các 3-cấu xạ giữa các 2-cấu xạ,…
Trước khi đưa ngay ra định nghĩa của $\pi(X)$ ta đưa ra một cách mô tả khác của $\pi_0(X),\pi_1(X)$. Điều này giải thích một phần xây dựng sắp tới đây của phạm trù $\pi(X)$. Một $n$-đơn hình (kỳ dị) trong $X$ là một ánh xạ liên tục từ $$|\Delta^n|\to X,$$ở đây $\Delta=\left\{(x_0,\dots,x_n)\in \mathbb{R}_{\geq 0}^n| x_0+\dots+x_n=1\right\}.$ Các đơn hình kỳ dị đóng vai trò cốt lõi trong định nghĩa đồng điều kỳ dị, tuy nhiên ở đây ta khai thác chúng theo một cách đặc biệt.
Ví dụ 1. Rõ ràng, các điểm trong $X$ là các $0$-đơn hình, các đường liên tục trong $X$ là các $1$-đơn hình, và thú vị hơn, các đồng luân trong $X$ tương ứng với một tập nhất định các $2$-đơn hình! Thật vậy, nếu $H$ là môt đồng luân từ đường $f$ sang đường $g$ nối hai điểm $x,y$ thì $\sigma(x_0,x_1,x_2)=H(1-x_0,x_2/(1-x_0))$ là một $2$-đơn hình, thoả mãn $$\sigma|_{x_0=0}=id_{\{y\}},\ \sigma|_{x_1=0}=g,\ \sigma|_{x_2=0}=f.$$Ngược lại, một đơn hình thoả mãn các tính chất trên xác định một đồng luân từ $f=f\cdot id_{\{y\}}$ sang $g$.
Ứng cử viên cho phạm trù $\pi(X)$ là $Sing_{\bullet}(X):$
Định nghĩa 2. Ký hiệu $\Delta$ là phạm trù với các vật là các tập sắp thứ tự $[n]=\{0<1<\dots<n\}$ và các cấu xạ là các ánh xạ không giảm. Định nghĩa $Sing_{\bullet}(X)$ là một hàm tử nghịch biến $\Delta\to Set$ như sau:
(a) $Sing_{\bullet}(X)([n])=Sing_n(X)=Top(|\Delta^n|,X)=$ tập các $n$-đơn hình kỳ dị trong X;
(b) Nếu $f$ là một ánh xạ không giảm từ $[m]$ sang $[n]$ thì với mọi $n$-đơn hình kỳ dị $\sigma,$ $$Sing_{\bullet}(f)(\sigma)(x_0,\cdots,x_m)=\sigma\left(\sum_{i_0\in f^{-1}(0)}x_{i_0},\dots,\sum_{i_n\in f^{-1}(m)}x_{i_n}\right).$$
Một hàm tử nghịch biến $S_{\bullet}: \Delta\to Set$ còn được gọi là một vật đơn hình (từng được giới thiệu ở đâyhttps://diendantoanh...yết-đơn-hình/). Ta gọi các phần tử trong $S_0$ là các đỉnh và các phần tử trong $S_1$ là các cạnh, cũng như các phần tử trong $S_n$ là $n$-đơn hình. Trong cấu trúc mới này, ta có thể mường tượng ra định nghĩa tập các thành phần liên thông $S_{\bullet}$ theo tinh thần ở trên, cũng như $\pi_1(S_{\bullet},x)$, và có lẽ cả các nhóm đồng luân cấp cao $\pi_{n}(S_{\bullet},x)$? Tuy nhiên, các định nghĩa này thực ra lại rối rắm hơn nhiều. Ta bắt đầu với định nghĩa của $\pi_0(X).$ Trước hết, ta đưa ra khái niệm đỉnh đầu và đỉnh cuối của một cạnh.
Định nghĩa 3. Cho $e\in S_1,$ ta gọi $S_{\bullet}([0]\to [1], 0\mapsto 1)(e)=d_0(e)$ là đỉnh cuối của $e$, $S_{\bullet}([0]\to [1], 0\mapsto 0)(e)=d_1(e)$ là đỉnh đầu của $e$.
Sẽ là sai lầm nếu định nghĩa ngay rằng hai đỉnh $x$ và $y$ cùng nằm trong một thành phần liên thông nếu có một cạnh với đỉnh đầu $x$ và đỉnh cuối $y$. Trong định nghĩa của $\pi_{\leq 1}(X)$ ở đầu bài, để chứng minh được tiên đề về tính hợp thành của một phạm trù, ta cần tính chất sau của không gian tô pô $X$: nếu có một đường từ $x$ tới $y$ và một đường từ $y$ tới $z$ thì tồn tại một đường từ $x$ tới $z$. Không có lý do nào để một tập đơn hình nói chung có tính chất này. Do đó, định nghĩa của $\pi_0(X)$ được phát biểu như sau:
Định nghĩa 4. Tập các thành phần liên thông $\pi_{0}(S_{\bullet})$ được định nghĩa là $S_0$ chia thương cho quan hệ tương đương sinh bởi $\{(d_1(e),d_0(e) \mid e\in S_1\}\subseteq S_0\times S_0.$
Chú ý là trong định nghĩa trên, quan hệ tương đương được “sinh” ra chứ không đồng nhất với $\{(d_1(e),d_0(e)\mid e\in S_1\}.$ Hiện tượng xảy ra ở trên có thể nói theo cách khác là tập $\{(d_1(e),d_0(e)\mid e\in S_1\}$ không định nghĩa một quan hệ tương đương trên $S_0$. Nói nôm na, các đỉnh $x$ và $y$ cùng nằm trong một thành phân liên thông nếu có đường đi tạo bởi một loạt các cạnh nối $x$ và $y$, và ta xem như các cạnh này vô hướng (chẳng hạn như trên một bản đồ khi ta nối hai địa điểm với nhau thì cũng không thực sự có hướng nào cả).
Trong trường hợp tập đơn hình $S_{\bullet}$ là $Sing_{\bullet}(X)$ thì quan hệ tương đương ở trên tất nhiên đơn giản hơn nhiều: $x$ và $y$ thuộc cùng một thành phần liên thông nếu và chỉ nếu tồn tại một cạnh $e$ sao cho $d_1(e)=x,\ d_0(e)=y.$
Tính chất tồn tại cạnh $e_1$ với đỉnh đầu là $x$ và đỉnh cuối là $y$, cạnh $e_2$ với đỉnh đầu $y$ và đỉnh cuối là $z$ thì tồn tại cạnh $e_3$ với đỉnh đầu là $x$ và đỉnh cuối là $z$ của $Sing_{\bullet}(X)$ có thể được trình bày theo một ngôn ngữ trừu tượng hơn. Trước tiên, ta mô tả các $n$-đơn hình của một tập đơn hình theo cách gần gũi với định nghĩa của $n$-đơn hình kỳ dị. Theo bổ đề Yoneda, mọi vật đơn hình $S_{\bullet}: \Delta^{op}\to Set$ thoả mãn
$$Nat(y([n]), S_{\bullet})\simeq S_{\bullet}([n])=S_n,$$trong đó $y([n])=Hom_{\Delta}(\_,[n]).$ Do đó, nếu đặt $y([n])=\Delta^n$ thì các phần tử của $S_n$ tương ứng 1-1 với các biến đổi tự nhiên $\Delta^n\to S_{\bullet}.$ Như vậy chẳng hạn các biến đổi tự nhiên $\Delta^n\to Sing_{\bullet}(X)$ tương ứng 1-1 với các ánh xạ liên tục từ $|\Delta^n|\to X.$
Định nghĩa 5. Tập đơn hình $i$-sừng $\Lambda^{n}_{i}$ của $\Delta^n$ được định nghĩa như sau:
$$\Lambda^{n}_i([m])=\{\alpha\in Hom_{\Delta}([m],[n])| \alpha([m])\cup \{i\}\neq [n]\}\subset \Delta^n[m].$$
Tương tự như định nghĩa đỉnh đầu và đỉnh cuối của một cạnh, ta cũng định nghĩa các mặt của một $n$-đơn hình của một tập đơn hình như sau:
Định nghĩa 6. Ta ký hiệu $d_i: S_n\to S_{n-1}$ cho ánh xạ $$S_{\bullet}([n-1]\to[n],0\mapsto 0,\dots,i-1\mapsto i-1, i\mapsto i+1,\dots,n-1\mapsto n).$$
Như vậy, các mặt của một $n$-đơn hình $\sigma$ là $d_0(\sigma),\dots,d_n(\sigma).$
Mệnh đề 7. Với mọi tập đơn hình $S_{\bullet},$
$$Nat(\Lambda^{n}_{i},S_{\bullet})\simeq \text{ một tập con của} \prod_{j\in [n]-\{i\}} S_{n-1}.$$
Tập con này bao gồm các dãy $(\sigma_0,\dots,\sigma_{i-1},\sigma_{i+1},\dots,\sigma_n)$ thoả mãn $d_j(\sigma_k)=d_{k-1}(\sigma_j)$ với mọi $j,k\in [n]-\{i\}$ thoả mãn $j<k.$
Nói cách khác, một biến đổi tự nhiên $\Lambda^{n}_i\to S_{\bullet}$ bao gồm các $n-1$ đơn hình mà các mặt của chúng tương thích với nhau. Chẳng hạn các biến đổi tự nhiên $\Lambda^{2}_1\to S_{\bullet}$ tương ứng với các cạnh $(e,e’)$ sao cho $d_0(e)=d_1(e’)$, tức là một bộ hai cạnh mà đỉnh đầu và đỉnh cuối của chúng trùng nhau!
Quay trở lại vấn đề ở trên, ta trình bày lại sự tồn tại của cạnh $e_3$ như sau: sự tồn tại các cạnh $e_1,\ e_2$ sao cho đỉnh cuối $e_1$ trùng với đỉnh đầu $e_2$ tương đương với sự tồn tại của một biến đổi tự nhiên từ $\Lambda^2_1\to Sing_{\bullet}(X).$ Khi đó tồn tại đơn hình $\sigma: \Delta^2\to Sing_{\bullet}(X)$ sao cho ánh xạ này hợp thành với nhúng $\Lambda^2_i\to Sing_{\bullet}(X)$ (tại sao?), cạnh $e_3$ chính là $d_1(\sigma).$
Tính chất này cũng thoả mãn cho các đơn hình chiều cao hơn của $Sing_{\bullet}(X),$ tức là với mọi $n>0$ và với mọi $0\leq i\leq n,$ và với mọi biến đổi tự nhiên từ $\Lambda^n_i\to Sing_{\bullet}(X),$ tồn tại một đơn hình $\Delta^n\to Sing_{\bullet}(X)$ là mở rộng $\Lambda^n_i\to Sing_{\bullet}(X).$ Từ đầu tới giờ, ta mới định nghĩa các thành phần liên thông của một tập đơn hình. Không giống như $\pi_0(X)$, ta sẽ không thể giải thích được cách đi đến các định nghĩa của các nhóm đồng luân cấp cao của một vật đơn hình mà không trình bày thêm các kiến thức về lý thuyết đơn hình. Người đọc hãy công nhận rằng tính chất mở rộng sừng ở trên của $Sing_{\bullet}(X)$ là điều kiện cốt lõi cho phép ta định nghĩa các nhóm đồng luân. Ta gọi một vật đơn hình thoả mãn tính chất mở rộng trên là một phức Kan, đặt theo tên của Daniel Kan, người đã đưa ra các xây dựng trên, ( trong “A combinatorial definition of homotopy groups.” Ann. of Math. (2), 67:282–312, 1958). Như vậy, $Sing_{\bullet}(X)$ chính là cấu trúc mà ta tìm kiếm theo tinh thần của $\pi_{\leq 1}(X).$
Như đã nói ở đầu, ta sẽ giải thích phạm trù vô cực như là hợp của lý thuyết đồng luân và lý thuyết phạm trù. Năm 1961, Grothendieck đưa ra định nghĩa mạch của một phạm trù: với mỗi phạm trù $\mathcal{C}$, $N_{\bullet}(\mathcal{C})$ là một vật đơn hình với các $n$-đơn hình là tập $$N_n(\mathcal{C})=\{x_0 \xrightarrow{f_0} x_1 \dots x_{n-1}\xrightarrow{f_{n-1}} x_n \mid f_0,\dots,f_{n-1} \text{ là các cấu xạ trong }\mathcal{C}\}.$$ Vật đơn hình này có tính chất sau, với mỗi cạnh $e_1:x\to y,\ e_2: y\to z$ sao cho đỉnh cuối $e_1$ trùng với đỉnh đầu $e_2,$ tồn tại duy nhất một $2$-đơn hình $\sigma$, chính là $e_2\circ e_1: x\to z$ sao cho $d_2(\sigma)=e_1,\ d_0(\sigma)=e_1.$ Điều ngược lại cũng đúng:
Mệnh đề 8. Một vật đơn hình $S_{\bullet}$ đẳng cấu với mạch của một phạm trù nếu và chỉ nếu với mọi $n>0$ và với mọi $0<i<n,$ và với mọi biến đổi tự nhiên $\Lambda^n_i\to S_{\bullet},$ tồn tại “duy nhất” một $n$-đơn hình $\Delta^n\to S_{\bullet}$ là mở rộng của $\Lambda^n_i\to S_{\bullet}.$
Từ đó, ta định nghĩa một $\infty$-phạm trù như sau:
Định nghĩa 9. Một $\infty$-phạm trù là một vật đơn hình $S_{\bullet}$ thoả mãn với mọi $n>0$ và với mọi $0<i<n,$ mọi biến đổi tự nhiên $\Lambda^n_i\to S_{\bullet}$ có thể được mở rộng thành một $n$-đơn hình.
Đóng vai trò như là hợp của lý thuyết đồng luân và lý thuyết phạm trù, lý thuyết phạm trù vô cực có rất nhiều ứng dụng mạnh mẽ, cho phép mang các ý tưởng của tô pô vào các lĩnh vực của đại số/hình học đại số, nổi tiếng nhất có lẽ là lý thuyết về $\infty$-tô pô và hình học đại số dẫn xuất của Jacob Lurie, qua đó trả lời và mở rộng các vấn đề do Alexander Grothendieck đặt ra trong “À la poursuite des Champs” (1983). Tuy nhiên, các ứng dụng này vượt xa hiểu biết của người viết, vì vậy hi vọng trong bài tới, ta có thể thảo luận về $\infty$-phạm trù ổn định, với ứng dụng ngay lập tức vào đại số đồng điều, cụ thể là lý thuyết về phạm trù dẫn xuất.
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Nxb: 29-03-2023 - 16:01
