Đến nội dung


Hình ảnh

Tìm hiểu về định nghĩa phạm trù vô cực


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 1 trả lời

#1 Nxb

Nxb

    Thiếu úy

  • ĐHV Toán học Hiện đại
  • 582 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 09-10-2021 - 02:27

PHẠM TRÙ VÔ CỰC

 

Mục tiêu của bài này là để giải thích định nghĩa của phạm trù vô cực theo Jacob Lurie. Nói ngắn gọn, ta sẽ giải thích định nghĩa của $\infty$-phạm trù như hợp của lý thuyết đồng luân và lý thuyết phạm trù.

 

Nhắc lại trong bài này https://diendantoanh...iều-lý-thuyết/, ta biết rằng nhóm cơ bản của một không gian tô pô $X$ tại điểm $x\in X$ được định nghĩa như là nhóm các nút tại $x$ chia thương cho quan hệ đồng luân. Ngoài ra, ta cũng định nghĩa $\pi_0(X)$ là tập các thành phần liên thông đường. Ta có thể giải thích đơn giản ý nghĩa của các đối tượng này: nếu các không gian tô pô $X$ và $Y$ đồng phôi thì $\pi_0(X)\simeq \pi_0(Y)$, $\pi_1(X)\simeq \pi_1(Y)$ (trong trường hợp các $X, Y$ liên thông đường) nên chúng có thể được sử dụng để phân biệt các không gian tô pô.

 

Ta có thể tổ chức lại không gian tô pô $X$ thành phạm trù $\pi_{\leq 1}(X)$ và định nghĩa các tập $\pi_0(X), \pi_1(X)$ như là các đối tượng gắn với phạm trù $\pi_{\leq 1}(X) .$ Phạm trù này được định nghĩa như sau: 

    (a) Các vật là các điểm của $X$;

    (b) Một cấu xạ giữa hai điểm $x, y$ là một lớp đồng luân của các đường từ $x$ sang $y$.

Từ đó, ta có thể mô tả $\pi_0(X)$ như là tập các lớp đẳng cấu của $\pi_{\leq 1}(X)$ và $\pi_1(X,x)=Hom_{\pi_{\leq 1}(X)}(x,x).$ 

 

Tất nhiên, chỉ với định nghĩa này thì ta không thấy được tại sao cách mô tả các tập $\pi_0(X), \pi_1(X)$ bằng phạm trù lại hữu dụng. Tuy nhiên, nó lại gợi ý cho ta một điều sau. Nhắc lại rằng, ta có thể định nghĩa các nhóm $\pi_n(X)$, với $n\geq 2,$ được gọi là các nhóm đồng luân cấp cao. Các nhóm $\pi_n(X,x)$ là nhóm các ánh xạ liên tục $S^n \to X$ tại $x$ chia thương cho quan hệ đồng luân. Do đó, ta  kỳ vọng rằng có thể gắn với $X$ một phạm trù $A$ sao cho sao cho $\pi_{n}(X)$ được định nghĩa thông qua $A$. Tuy nhiên trên thực tế, phạm trù $A$ mà ta kỳ vọng lại không phải một phạm trù thông thường, tức là không phải là một phạm trù chỉ bao gồm các vật và các cấu xạ giữa các vật, mà lại có một cấu trúc khác, mà ta tạm gọi là $\infty$-phạm trù. Trong một $\infty$-phạm trù, ngoài các cấu xạ giữa các vật, mà ta gọi là các 1-cấu xạ, còn có các 2-cấu xạ giữa các 1-cấu xạ, các 3-cấu xạ giữa các 2-cấu xạ,…

 

Trước khi đưa ngay ra định nghĩa của $A,$ ta đưa ra một cách mô tả khác của $\pi_0(X),\pi_1(X)$. Điều này giải thích phần lớn xây dựng sắp tới đây của phạm trù $A$. Một $n$-đơn hình (kỳ dị) trong $X$ là một ánh xạ liên tục từ $$|\Delta^n|\to X,$$ở đây $\Delta=\left\{(x_0,\dots,x_n)\in \mathbb{R}_{\geq 0}^n| x_0+\dots+x_n=1\right\}.$ Các đơn hình kỳ dị đóng vai trò cốt lõi trong định nghĩa đồng điều kỳ dị, tuy nhiên ở đây ta khai thác chúng theo một cách đặc biệt. 

 

Ví dụ 1. Rõ ràng, các điểm trong $X$ là các $0$-đơn hình, các đường liên tục trong $X$ là các $1$-đơn hình, và thú vị hơn, các đồng luân trong $X$ tương ứng với một tập nhất định các $2$-đơn hình! Thật vậy, nếu $H$ là môt đồng luân từ đường $f$ sang đường $g$ nối hai điểm $x,y$ thì $\sigma(x_0,x_1,x_2)=H(1-x_0,x_2/(1-x_0))$ là một $2$-đơn hình, thoả mãn $$\sigma|_{x_0=0}=id_{\{y\}},\ \sigma|_{x_1=0}=g,\ \sigma|_{x_2=0}=f.$$Ngược lại, một đơn hình thoả mãn các tính chất trên xác định một đồng luân từ $f=f\cdot id_{\{y\}}$ sang $g$. 

 

Ta đưa ra định nghĩa của $A:$

 

Định nghĩa 2. Ký hiệu $\Delta$ là phạm trù với các vật là các tập sắp thứ tự $[n]=\{0<1<\dots<n\}$ và các cấu xạ là các ánh xạ không giảm. Định nghĩa $Sing_{\bullet}(X)$ là một hàm tử nghịch biến $\Delta\to Set$ như sau:

    (a) $Sing_{\bullet}(X)([n])=Sing_n(X)=Top(|\Delta^n|,X)=$ tập các $n$-đơn hình kỳ dị trong X;

    (b) Nếu $f$ là một ánh xạ không giảm từ $[m]$ sang $[n]$ thì với mọi $n$-đơn hình kỳ dị $\sigma,$ $$Sing_{\bullet}(f)(\sigma)(x_0,\cdots,x_m)=\sigma\left(\sum_{i_0\in f^{-1}(0)}x_{i_0},\dots,\sum_{i_n\in f^{-1}(m)}x_{i_n}\right).$$

 

Một hàm tử nghịch biến $S_{\bullet}: \Delta\to Set$ còn được gọi là một vật đơn hình (từng được giới thiệu ở đâyhttps://diendantoanh...yết-đơn-hình/). Ta gọi các phần tử trong $S_0$ là các đỉnh và các phần tử trong $S_1$ là các cạnh, cũng như các phần tử trong $S_n$ là $n$-đơn hình. Trong cấu trúc mới này, ta có thể mường tượng ra định nghĩa tập các thành phần liên thông $S_{\bullet}$ theo tinh thần của phạm trù thông thường, cũng như $\pi_1(S_{\bullet},x)$, và có lẽ cả các nhóm đồng luân cấp cao $\pi_{n}(S_{\bullet},x)$? Tuy nhiên, các định nghĩa này thực ra lại rối rắm hơn nhiều. Ta bắt đầu với định nghĩa của $\pi_0(X).$ Trước hết, ta đưa ra khái niệm đỉnh đầu và đỉnh cuối của một cạnh.

 

Định nghĩa 3. Cho $e\in S_1,$ ta gọi $S_{\bullet}([0]\to [1], 0\mapsto 1)(e)=d_0(e)$ là đỉnh cuối của $e$, $S_{\bullet}([0]\to [1], 0\mapsto 0)(e)=d_1(e)$ là đỉnh đầu của $e$. 

 

Sẽ là sai lầm nếu định nghĩa ngay rằng hai đỉnh $x$ và $y$ cùng nằm trong một thành phần liên thông nếu có một cạnh với đỉnh đầu $x$ và đỉnh cuối $y$. Trong định nghĩa của $\pi_{\leq 1}(X)$ ở đầu bài, để chứng minh được tiên đề về tính hợp thành của một phạm trù, ta cần tính chất sau của không gian tô pô $X$: nếu có một đường từ $x$ tới $y$ và một đường từ $y$ tới $z$ thì tồn tại một đường từ $x$ tới $z$. Không có lý do nào để một tập đơn hình nói chung có tính chất này được. Vì vậy ta đưa ra định nghĩa sau:

 

Định nghĩa 4. Tập các thành phần liên thông $\pi_{0}(S_{\bullet})$ được định nghĩa là $S_0$ chia thương cho quan hệ tương đương sinh bởi $\{(d_1(e),d_0(e)\}\subseteq S_0\times S_0.$

 

Nói cách khác, $x$ và $y$ cùng nằm trong một thành phân liên thông nếu có đường đi tạo bởi một loạt các cạnh, xem như các cạnh vô hướng, nối $x$ và $y$.

 

Như đã nhận xét ở trên, trong trường hợp tập đơn hình $S_{\bullet}$ là $Sing_{\bullet}(X)$, quan hệ tương đương ở trên đơn giản hơn nhiều: $x$ và $y$ thuộc cùng một thành phần liên thông nếu và chỉ nếu tồn tại một cạnh $e$ sao cho $d_1(e)=x,\ d_0(e)=y.$

 

Tính chất tồn tại cạnh $e_1$ với đỉnh đầu là $x$ và đỉnh cuối là $y$, cạnh $e_2$ với đỉnh đầu $y$ và đỉnh cuối là $z$ thì tồn tại cạnh $e_3$ với đỉnh đầu là $x$ và đỉnh cuối là $z$ của $Sing_{\bullet}(X)$ có thể được trình bày theo một ngôn ngữ trừu tượng hơn mà ta sẽ sử dụng trong những thảo luận tiếp theo. Trước tiên, ta mô tả các $n$-đơn hình của một tập đơn hình theo cách gần gũi với định nghĩa của $n$-đơn hình kỳ dị. Theo bổ đề Yoneda, mọi vật đơn hình $S_{\bullet}: \Delta^{op}\to Set$ thoả mãn

$$Nat(y([n]), S_{\bullet})\simeq S_{\bullet}([n])=S_n,$$trong đó $y([n])=Hom_{\Delta}(\_,[n]).$ Do đó, nếu đặt $y([n])=\Delta^n$ thì các phần tử của $S_n$ tương ứng 1-1 với các biến đổi tự nhiên $\Delta^n\to S_{\bullet}.$ Như vậy chẳng hạn các biến đổi tự nhiên $\Delta^n\to Sing_{\bullet}(X)$ tương ứng 1-1 với  các ánh xạ liên tục từ $|\Delta^n|\to X.$ 

 

Định nghĩa 5. Tập đơn hình $i$-sừng $\Lambda^{n}_{i}$ của $\Delta^n$ được định nghĩa như sau:

$$\Lambda^{n}_i([m])=\{\alpha\in Hom_{\Delta}([m],[n])| \alpha([m])\cup \{i\}\neq [n]\}\subset \Delta^n[m].$$

Tương tự như định nghĩa đỉnh đầu và đỉnh cuối của một cạnh, ta cũng định nghĩa các mặt của một $n$-đơn hình của một tập đơn hình như sau:

 

Định nghĩa 6. Ta ký hiệu $d_i: S_n\to S_{n-1}$ cho ánh xạ $$S_{\bullet}([n-1]\to[n],0\mapsto 0,\dots,i-1\mapsto i-1, i\mapsto i+1,\dots,n-1\mapsto n).$$

 

Như vậy, các mặt của một $n$-đơn hình $\sigma$ là $d_0(\sigma),\dots,d_n(\sigma).$

 

Mệnh đề 7. Với mọi tập đơn hình $S_{\bullet},$

$$Nat(\Lambda^{n}_{i},S_{\bullet})\simeq \text{ một tập con của} \prod_{j\in [n]-\{i\}} S_{n-1}.$$

 

Tập con này bao gồm các dãy $(\sigma_0,\dots,\sigma_{i-1},\sigma_{i+1},\dots,\sigma_n)$ thoả mãn $d_j(\sigma_k)=d_{k-1}(\sigma_j)$ với mọi $j,k\in [n]-\{i\}$ thoả mãn $j<k.$

 

Nói cách khác, một biến đổi tự nhiên $\Lambda^{n}_i\to S_{\bullet}$ bao gồm các $n-1$ đơn hình mà các mặt của chúng tương thích với nhau. Chẳng hạn các biến đổi tự nhiên $\Lambda^{2}_1\to S_{\bullet}$ tương ứng với các cạnh $(e,e’)$ sao cho $d_0(e)=d_1(e’)$, tức là một bộ hai cạnh mà đỉnh đầu và đỉnh cuối của chúng trùng nhau!

Quay trở lại vấn đề ở trên, ta trình bày lại sự tồn tại của cạnh $e_3$ như sau: sự tồn tại các cạnh $e_1,\ e_2$ sao cho đỉnh cuối $e_1$ trùng với đỉnh đầu $e_2$ tương đương với sự tồn tại của một biến đổi tự nhiên từ $\Lambda^2_1\to Sing_{\bullet}(X).$ Khi đó tồn tại đơn hình $\sigma: \Delta^2\to Sing_{\bullet}(X)$ sao cho ánh xạ này hợp thành với nhúng $\Lambda^2_i\to Sing_{\bullet}(X)$ (tại sao?), cạnh $e_3$ chính là $d_1(\sigma).$

 

Tính chất này cũng thoả mãn cho các đơn hình chiều cao hơn của $Sing_{\bullet}(X),$ tức là với mọi $n>0$ và với mọi $0\leq i\leq n,$ và với mọi biến đổi tự nhiên từ $\Lambda^n_i\to Sing_{\bullet}(X),$ tồn tại một đơn hình $\Delta^n\to Sing_{\bullet}(X)$ là mở rộng $\Lambda^n_i\to Sing_{\bullet}(X).$ Từ đầu tới giờ, ta mới định nghĩa các thành phần liên thông của một tập đơn hình. Không giống như $\pi_0(X)$, ta sẽ không thể giải thích được cách đi đến các định nghĩa của các nhóm đồng luân cấp cao của một vật đơn hình mà không trình bày thêm các kiến thức về lý thuyết đơn hình, mà bài viết này chỉ là đi tìm hiểu về định nghĩa của phạm trù vô cực. Vì vậy, ta chỉ có thể nói ngắn gọi là, tính chất mở rộng sừng ở trên của $Sing_{\bullet}(X)$ là điều kiện cốt lõi cho phép ta định nghĩa các nhóm đồng luân. Ta gọi một vật đơn hình như vậy là một phức Kan, đặt theo tên của Daniel Kan, người đã đưa ra các xây dựng trên, ( trong “A combinatorial definition of homotopy groups.” Ann. of Math. (2), 67:282–312, 1958.) và các nhóm đồng luân cấp cao có thể được định nghĩa cho mọi phức Kan. Như vậy, $Sing_{\bullet}(X)$ chính là cấu trúc mà ta tìm kiếm theo tinh thần của $\pi_{\leq 1}(X).$ 

 

Như đã nói ở đầu, ta sẽ giải thích phạm trù vô cực như là hợp của lý thuyết đồng luân và lý thuyết phạm trù. Năm 1961, Grothendieck đưa ra định nghĩa mạch của một phạm trù: với mỗi phạm trù $\mathcal{C}$,   $N_{\bullet}(\mathcal{C})$ là một vật đơn hình với các $n$-đơn hình là tập $$N_n(\mathcal{C})=\{x_0 \xrightarrow{f_0} x_1 \dots x_{n-1}\xrightarrow{f_{n-1}} x_n \mid f_0,\dots,f_{n-1} \text{ là các cấu xạ trong }\mathcal{C}\}.$$ Vật đơn hình này có tính chất sau, với mỗi cạnh $e_1:x\to y,\ e_2: y\to z$ sao cho đỉnh cuối $e_1$ trùng với đỉnh đầu $e_2,$ tồn tại duy nhất một $2$-đơn hình $\sigma$, chính là $e_2\circ e_1: x\to z$ sao cho $d_2(\sigma)=e_1,\ d_0(\sigma)=e_1.$ Thực ra, ta có mệnh đề sau:

 

Mệnh đề 8. Một vật đơn hình $S_{\bullet}$ đẳng cấu với mạch của một phạm trù nếu và chỉ nếu với mọi $n>0$ và với mọi $0<i<n,$ và với mọi biến đổi tự nhiên $\Lambda^n_i\to S_{\bullet},$ tồn tại “duy nhất” một $n$-đơn hình $\Delta^n\to S_{\bullet}$ là mở rộng của $\Lambda^n_i\to S_{\bullet}.$

 

Từ đó, ta định nghĩa một $\infty$-phạm trù như sau:

 

Định nghĩa 9. Một $\infty$-phạm trù là một vật đơn hình $S_{\bullet}$ thoả mãn với mọi $n>0$ và với mọi $0<i<n,$ mọi biến đổi tự nhiên $\Lambda^n_i\to S_{\bullet}$ có thể được mở rộng thành một $n$-đơn hình.

 

Đóng vai trò như là hợp của lý thuyết đồng luân và lý thuyết phạm trù, lý thuyết phạm trù vô cực có rất nhiều ứng dụng mạnh mẽ, cho phép mang các ý tưởng của tô pô vào các lĩnh vực của đại số/hình học đại số, nổi tiếng nhất có lẽ là lý thuyết về $\infty$-tô pô và hình học đại số dẫn xuất của Jacob Lurie, qua đó trả lời và mở rộng các vấn đề do Alexander Grothendieck đặt ra trong “À la poursuite des Champs” (1983). Tuy nhiên, các ứng dụng này vượt xa hiểu biết của người viết, vì vậy hi vọng trong bài tới, ta có thể thảo luận về $\infty$-phạm trù ổn định, với ứng dụng ngay lập tức vào đại số đồng điều, cụ thể là lý thuyết về phạm trù dẫn xuất.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Nxb: 09-10-2021 - 20:19


#2 Nxb

Nxb

    Thiếu úy

  • ĐHV Toán học Hiện đại
  • 582 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 10-10-2021 - 19:54

ĐỊA PHƯƠNG HOÁ CỦA MỘT PHẠM TRÙ

 

Ý tưởng xây dựng phạm trù dẫn xuất xuất phát từ A. Grothendieck và được học trò của ông là Jean-Louis Verdier khai triển trong luận án tiến sĩ, với mục tiêu là tổng quát hoá đối ngẫu Serre. Tuy nhiên, cần một bài viết khác để nói về câu chuyện này. Ở đây ta chỉ xem xét phạm trù dẫn xuất như một cách tiếp cận đối với đại số đồng điều. 

 

Cho $\mathcal{A}$ là một phạm trù aben. Phạm trù dẫn xuất $D(\mathcal{A})$ được định nghĩa như địa phương hoá của phạm trù các phức đối dây chuyền $Comp(\mathcal{A})$ theo các ánh xạ tựa đẳng cấu. Ta bắt đầu với định nghĩa địa phương hoá của một phạm trù.

 

Thủ tục địa phương hoá của một phạm trù tương tự với địa phương hoá của một mô đun. Tức là với mỗi phạm trù $\mathcal{C}$ và mỗi tập $S$ các cấu xạ trong $\mathcal{C},$ tồn tại một phạm trù $S^{-1}\mathcal{C}$ cùng với một hàm tử $\mathcal{C}\to S^{-1}\mathcal{C}$ sao cho mọi hàm tử $\mathcal{C}\to \mathcal{D}$ thoả mãn ảnh của $S$ trong $\mathcal{D}$ là các đẳng cấu thì $\mathcal{C}\to \mathcal{D}$ phải tách qua được $\mathcal{C}\to S^{-1}\mathcal{C}.$ 

 

Phạm trù $S^{-1}\mathcal{C}$ có thể được xây dựng như sau:

(1) Các vật của $S^{-1}\mathcal{C}$ là các vật của $\mathcal{C}$.

(2) Tập các cấu xạ trong $S^{-1}\mathcal{C}$ được sinh bởi hợp của các cấu xạ trong $\mathcal{C}$ và tập các nghịch đảo được bổ sung cho các cấu xạ trong $S$.

 

Cách xây dựng này mặc dù đơn giản, nhưng rất khó để mường tượng một cấu xạ giữa hai vật trong $S^{-1}\mathcal{C}$ là gì, vì sau quá trình bổ sung các nghịch đảo, ta cần bổ sung các cấu xạ mới để đảm bảo $S^{-1}\mathcal{C}$ là một phạm trù. Chẳng hạn, xét phạm trù $\mathcal{C}$ định nghĩa như sau:

(1) $Ob(\mathcal{C})=\{x,y,z\}$.

(2) $Mor(\mathcal{C})=\{id_x,id_y,id_z, f:x\to y, g: y\to z, h=g\circ f:x\to z, h’: x\to z\}.$

Đặt $S=\{f,g\}$. Các cấu xạ trong $S^{-1}\mathcal{C}$ được bổ sung thêm gồm có $f^{-1}, g^{-1}$ là các nghịch đảo của $f,g,$ và một loạt các cấu xạ khác, chẳng hạn: $g^{-1}h’, g^{-1}h, hf^{-1}, f^{-1}h’,\dots$

 

Trong trường hợp $S$ thoả mãn tính chất của một hệ nhân tính (có thể so sánh với tập con nhân tính trong địa phương hoá của mô-đun), ta có thể xây dựng $S^{-1}\mathcal{C}$ rõ ràng hơn. 

 

Định nghĩa 1. Tập $S\subseteq Mor(\mathcal{C})$ được gọi là một hệ nhân tính trái nếu nó thoả mãn các điều kiện sau:

(1) $id_x\in S$ với mọi $x$ và nếu $f,g\in S$ và tồn tại $g\circ f$ thì $g\circ f \in S.$

(2) Nếu có các ánh xạ $g:x\to y, t: x\to z$ sao cho $t\in S$ thì tồn tại $s:y\to w, f: z\to w$ sao cho $s\in S$ và $sg=ft.$

(3) Nếu $ft=gt$ với $t\in S$ thì tồn tại $s\in S$ sao cho $sf=sg.$

 

Định nghĩa hệ nhân tính phải là đối ngẫu của định nghĩa trên, nên ta không viết ra ở đây. Với tập $S$ thoả mãn định nghĩa trên thì ta có thể xây dựng phạm trù $S^{-1}\mathcal{C}$ như sau:

(1) Các vật của $S^{-1}\mathcal{C}$ là các vật của $\mathcal{C}$.

(2) Với mỗi cặp $x,y\in \mathcal{C},$ 

$$Mor_{S^{-1}\mathcal{C}}(x,y)=\{x\xrightarrow{f} z \xleftarrow{s}y \mid s\in S\}/\sim,$$

trong đó $\sim$ được định nghĩa như sau: Ta nói $$(x\xrightarrow{f} z \xleftarrow{s}y)E(x\xrightarrow{f’} z’ \xleftarrow{s’}y)$$ nếu tồn tại $a:z\to z’$ sao cho $af=f’,as=s’.$ Từ đó, ta định nghĩa $$(x\xrightarrow{f} z \xleftarrow{s}y) \sim (x\xrightarrow{f’} z’ \xleftarrow{s’}y)$$ nếu tồn tại $(x\xrightarrow{f’’} z’’ \xleftarrow{s’’}y)$ sao cho $$(x\xrightarrow{f} z \xleftarrow{s}y)E (x\xrightarrow{f’’} z’’ \xleftarrow{s’’}y) \text{ và } (x\xrightarrow{f’} z’ \xleftarrow{s’}y)E(x\xrightarrow{f’’} z’’ \xleftarrow{s’’}y).$$

Ta định nghĩa phép hợp thành trên phạm trù $S^{-1}{\mathcal{C}}$ như sau: Cho hai cấu xạ $p=[(x\xrightarrow{f} a \xleftarrow{s}y)]$ và $q=[(y\xrightarrow{g} b \xleftarrow{t}z)].$ Theo tiên đề (2) trong định nghĩa của tập nhân tính trái, tồn tại $h:a\to c, u: b\to c$ với $u\in S$ sao cho $ug=hs$. Từ đó, ta định nghĩa $qp$ như là $$[(u\xrightarrow{hf}c\xleftarrow{ut} z)].$$ Có thể chứng minh định nghĩa này không phụ thuộc vào cách chọn phần tử đại diện. Cách xây dựng trong trường hợp $S$ là hệ nhân tính phải cũng tương tự.

 

Ví dụ 2. Cho $R$ là một vành giao hoán. Địa phương hoá của phạm trù $Mod(R)$ tất cả các mô-đun trên $R$ tại $S=\{M\to M, m\to rm \mid r\in R, M\in Mod(R)\}$ tương đương với phạm trù $Mod(S^{-1}R).$

 

Ví dụ 3. $K^{\bullet}, L^{\bullet}$ là các phức trong $Comp(\mathcal{A}).$ Một ánh xạ $f: K^{\bullet}\to L^{\bullet}$ được gọi là tựa đẳng cấu nếu các ánh xạ $H^{i}(f)$ là đẳng cấu với mọi $i\in \mathbb{Z}.$ Đặt $Qis(\mathcal{A})$ là tập hợp tất cả các tựa đẳng cấu trong $Comp(\mathcal{A}).$ Có thể kiểm tra được $Qis(\mathcal{A})$ vừa là một hệ nhân tính trái, vừa là một hệ nhân tính phải. Ta định nghĩa phạm trù dẫn xuất của $\mathcal{A}$ là $Qis(\mathcal{A})^{-1} Comp(\mathcal{A}).$

 

Trong bài tới, ta sẽ tìm hiểu sâu thêm về phạm trù $D(\mathcal{A}).$ Phạm trù $D(A)$ nói chung không còn aben, nhưng $D(A)$ vẫn có cấu trúc của một phạm trù tam giác phân, từ đó ta vẫn khôi phục các xây dựng trong đại số đồng điều cổ điển.

 

THAM KHẢO

[1] Stackproject.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Nxb: 10-10-2021 - 20:31





2 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 2 khách, 0 thành viên ẩn danh