Đến nội dung


Hình ảnh
* * * * * 1 Bình chọn

GPTVP: $(x+1)y'-1= 3y+x(x+2)$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 2 trả lời

#1 Baoriven

Baoriven

    Thượng úy

  • Điều hành viên OLYMPIC
  • 1392 Bài viết
  • Giới tính:Nữ
  • Đến từ:$\boxed{\textrm{CTG}}$ $\boxed{\textrm{HCMUS}}$
  • Sở thích:DS [ÒwÓ]

Đã gửi 09-10-2021 - 13:59

Giải phương trình vi phân:

\[ (x+1)y'-1= 3y+x(x+2). \]


$\mathfrak{LeHoangBao - CTG - HCMUS}$

#2 An Infinitesimal

An Infinitesimal

    Đại úy

  • Thành viên
  • 1803 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:cù lao
  • Sở thích:~.*

Đã gửi 06-02-2022 - 11:32

Giải phương trình vi phân:

\[ (x+1)y'-1= 3y+x(x+2). \]

 

PTVP này thiếu thông tin khiến cho việc giải quyết trở nên khó khăn. Ở đây, ta xem xét PTVP trên $\mathbb{R}.$

Phương trình vi phân được viết lại như sau

 

$$[(x+1)^{-3}y]^{\prime}=(x+1)^{-2},\ \forall x\in \mathbb{R}\setminus\{-1\}.$$

Do đó $(x+1)^{-3}y=-\frac{1}{(x+1)^2}+C_1$ với mọi $x>-1$

Do đó, $y= x+1+C_1(x+1)^3.$ với mọi $x> -1$.

Tương tự vậy, ta có $y= x+1+C_2(x+1)^3.$ với mọi $x< -1$. Nhờ tính liên tục, ta có $y(-1)=0=(-1)+1+C_1(-1+1).$

Do đó các hàm số $y(x)=\begin{cases} \begin{matrix} x+1+C_1(x+1)^3\quad if x\ge -1,\\ x+1+C_2(x+1)^3\quad if x<-1,\end{matrix}\end{cases}$

trong đó $C_1, C_2$ là các số thực tùy ý. Ở đây, ta đã kiểm những hàm số này thỏa các điều kiện về sự khả vi lẫn phương trình vi phân.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi An Infinitesimal: 06-02-2022 - 11:45

Đời người là một hành trình...


#3 onlylove03

onlylove03

    Lính mới

  • Thành viên mới
  • 2 Bài viết

Đã gửi 01-03-2022 - 22:38

Giải phương trình vi phân:

\[ (x+1)y'-1= 3y+x(x+2). \]

 

$(x + 1)\frac{dy}{dx} - 1 = 3y + x(x + 2) \newline \Rightarrow \frac{dy}{dx} - \frac{3}{x + 1}y = x + 1 \newline \Rightarrow (x + 1)^{-3}\frac{dy}{dx} - 3(x + 1)^{-4}y = (x + 1)^{-2} \newline \Leftrightarrow \frac{d}{dx}((x + 1)^{-3}y) = (x + 1)^{-2} \newline \Rightarrow (x + 1)^{-3}y = \int (x + 1)^{-2}dx = -\frac{1}{x + 1} + C \newline \Rightarrow y = C(x + 1)^3 - (x + 1)^2$.

Hàm số $y$ trên khả vi trên $R$ và thỏa mãn PTVP nên là nghiệm cần tìm.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi onlylove03: 01-03-2022 - 22:41





1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh