Đến nội dung

Hình ảnh

$e^{A+B}=e^A\,e^B=e^B\,e^A$

* * * * * 1 Bình chọn

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 3 trả lời

#1
phuc_90

phuc_90

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 438 Bài viết

Bài toán:   Cho $A,\,B$ là các ma trận vuông cấp $n$, cùng lũy linh và giao hoán nhau. Đặt  $e^A=\sum_{i=0}^{+\infty }\frac{1}{i!}\,A^i$

 

Chứng minh rằng  $e^{A+B}=e^A\,e^B=e^B\,e^A$

 

Ma trận $A$ được gọi là lũy linh nếu tồn tại $n\in \mathbb{N}$ sao cho $A^n=0$



#2
DOTOANNANG

DOTOANNANG

    Đại úy

  • ĐHV Toán Cao cấp
  • 1609 Bài viết

Đây không phải một lời giải, nhưng hai ma trận $A$ và $B$ là phần tử của Đại số Banach.



#3
nmlinh16

nmlinh16

    Trung sĩ

  • ĐHV Toán học Hiện đại
  • 165 Bài viết

Vì $A$ và $B$ giao hoán nên ta có công thức khai triển nhị thức Newton (có thể chứng minh bằng quy nạp theo $k$): $$(A+B)^k = \sum_{i+j=k} \frac{k!}{i! j!} A^i B^j = \sum_{i+j = k} \frac{k!}{i! j!} B^j A^i,$$ hay $$\frac{1}{k!}(A+B)^k = \sum_{i+j=k} \frac{1}{i! j!} A^i B^j = \sum_{i+j = k} \frac{1}{i! j!} B^j A^i$$

Từ đó $$e^A e^B = \left(\sum_{i \ge 0} \frac{1}{i!} A^i\right) \left(\sum_{j \ge 0} \frac{1}{j!} B^j\right) = \sum_{i,j \ge 0} \frac{1}{i! j!} A^i B^j = \sum_{k \ge 0} \sum_{i+j=k} \frac{1}{i! j!} A^i B^j = \sum_{k \ge 0} \frac{1}{k!}(A+B)^k = e^{A+B}.$$ Tương tự, $$e^B e^A = e^{B+A} = e^{A+B}.$$

Đẳng thức trên vẫn đúng cho hai ma trận $A$ và $B$ nếu chúng giao hoán (nhưng không cần lũy linh) nếu các phần tử của hai ma trận này nằm trong một trường có giá trị tuyệt đối (điều này cho phép trang bị cho không gian các ma trận vuông một chuẩn, từ đó nói về khái niệm hội tụ của chuỗi). 


$$\text{H}^r_{\text{ét}}(\mathcal{O}_K, M) \times \text{Ext}^{3-r}_{\mathcal{O}_K}(M,\mathbb{G}_m) \to \text{H}^3_{\text{ét}}(\mathcal{O}_K,\mathbb{G}_m) \cong \mathbb{Q}/\mathbb{Z}.$$

"Wir müssen wissen, wir werden wissen." - David Hilbert


#4
nhungvienkimcuong

nhungvienkimcuong

    Thiếu úy

  • Hiệp sỹ
  • 669 Bài viết

Mình từng làm bài này khi còn là sinh viên đại học. File gửi kèm  giaitichham.pdf   107.72K   51 Số lần tải

 


Đừng khóc vì chuyện đã kết thúc hãy cười vì chuyện đã xảy ra ~O) 
Thật kì lạ anh không thể nhớ đến tên mình mà chỉ nhớ đến tên em :wub:
Chúa tạo ra vũ trụ của con người còn em tạo ra vũ trụ của anh :ukliam2:





2 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 2 khách, 0 thành viên ẩn danh