Vì $A$ và $B$ giao hoán nên ta có công thức khai triển nhị thức Newton (có thể chứng minh bằng quy nạp theo $k$): $$(A+B)^k = \sum_{i+j=k} \frac{k!}{i! j!} A^i B^j = \sum_{i+j = k} \frac{k!}{i! j!} B^j A^i,$$ hay $$\frac{1}{k!}(A+B)^k = \sum_{i+j=k} \frac{1}{i! j!} A^i B^j = \sum_{i+j = k} \frac{1}{i! j!} B^j A^i$$
Từ đó $$e^A e^B = \left(\sum_{i \ge 0} \frac{1}{i!} A^i\right) \left(\sum_{j \ge 0} \frac{1}{j!} B^j\right) = \sum_{i,j \ge 0} \frac{1}{i! j!} A^i B^j = \sum_{k \ge 0} \sum_{i+j=k} \frac{1}{i! j!} A^i B^j = \sum_{k \ge 0} \frac{1}{k!}(A+B)^k = e^{A+B}.$$ Tương tự, $$e^B e^A = e^{B+A} = e^{A+B}.$$
Đẳng thức trên vẫn đúng cho hai ma trận $A$ và $B$ nếu chúng giao hoán (nhưng không cần lũy linh) nếu các phần tử của hai ma trận này nằm trong một trường có giá trị tuyệt đối (điều này cho phép trang bị cho không gian các ma trận vuông một chuẩn, từ đó nói về khái niệm hội tụ của chuỗi).
$$\text{H}^r_{\text{ét}}(\mathcal{O}_K, M) \times \text{Ext}^{3-r}_{\mathcal{O}_K}(M,\mathbb{G}_m) \to \text{H}^3_{\text{ét}}(\mathcal{O}_K,\mathbb{G}_m) \cong \mathbb{Q}/\mathbb{Z}.$$
"Wir müssen wissen, wir werden wissen." - David Hilbert