Đến nội dung

Hình ảnh

$2^x=x+1$

- - - - - phuongtrinh

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 3 trả lời

#1
LTBN

LTBN

    Binh nhất

  • Thành viên mới
  • 37 Bài viết

Giải phương trình sau trên tập số thực: $2^x=x+1$.



#2
phuc_90

phuc_90

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 438 Bài viết

Giải phương trình sau trên tập số thực: $2^x=x+1$.

 

Đặt $f(x)=2^x-x-1$ , ta thấy $f(0)=f(1)=0$ nên $f(x)$ có nghiệm là   $0\,,\,1$

 

Ta có $f'(x)=2^xln2-1$

 

Cho $f'(x)=0$ ta tìm được nghiệm của $f'(x)$ là   $x_0=-\frac{ln(ln2)}{ln2}\in (0,1)$

 

Bây giờ, nếu $x<0$ thì $f'(x)<0$   suy ra   $f(x)>f(0)=0$   hay  $2^x>x+1$

 

Nếu $0<x\leq x_0$  thì  $f'(x)<0$   suy ra   $f(x)<f(0)=0$   hay  $2^x<x+1$

 

Nếu $x_0<x<1$  thì $f'(x)>0$   suy ra   $f(x)<f(1)=0$   hay  $2^x<x+1$

 

Nếu $1<x$  thì $f'(x)>0$   suy ra   $f(x)>f(1)=0$   hay  $2^x>x+1$

 

Vậy $0\,,\,1$ là tất cả nghiệm của phương trình



#3
LTBN

LTBN

    Binh nhất

  • Thành viên mới
  • 37 Bài viết

Đặt $f(x)=2^x-x-1$ , ta thấy $f(0)=f(1)=0$ nên $f(x)$ có nghiệm là   $0\,,\,1$

 

Ta có $f'(x)=2^xln2-1$

 

Cho $f'(x)=0$ ta tìm được nghiệm của $f'(x)$ là   $x_0=-\frac{ln(ln2)}{ln2}\in (0,1)$

 

Bây giờ, nếu $x<0$ thì $f'(x)<0$   suy ra   $f(x)>f(0)=0$   hay  $2^x>x+1$

 

Nếu $0<x\leq x_0$  thì  $f'(x)<0$   suy ra   $f(x)<f(0)=0$   hay  $2^x<x+1$

 

Nếu $x_0<x<1$  thì $f'(x)>0$   suy ra   $f(x)<f(1)=0$   hay  $2^x<x+1$

 

Nếu $1<x$  thì $f'(x)>0$   suy ra   $f(x)>f(1)=0$   hay  $2^x>x+1$

 

Vậy $0\,,\,1$ là tất cả nghiệm của phương trình

Em nghĩ có thể sử dụng bất đẳng thức Bernoulli $2^x=(1+1)^x\geq 1+x$ nhưng không biết dấu bằng xảy ra khi nào ạ.



#4
narutosasukevjppro

narutosasukevjppro

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 131 Bài viết

e nhớ bđt bernoulli xảy ra khi mũ =1 a ạ







Được gắn nhãn với một hoặc nhiều trong số những từ khóa sau: phuongtrinh

1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh