Giải phương trình sau trên tập số thực: $2^x=x+1$.
#2
Đã gửi 10-10-2021 - 14:45
Giải phương trình sau trên tập số thực: $2^x=x+1$.
Đặt $f(x)=2^x-x-1$ , ta thấy $f(0)=f(1)=0$ nên $f(x)$ có nghiệm là $0\,,\,1$
Ta có $f'(x)=2^xln2-1$
Cho $f'(x)=0$ ta tìm được nghiệm của $f'(x)$ là $x_0=-\frac{ln(ln2)}{ln2}\in (0,1)$
Bây giờ, nếu $x<0$ thì $f'(x)<0$ suy ra $f(x)>f(0)=0$ hay $2^x>x+1$
Nếu $0<x\leq x_0$ thì $f'(x)<0$ suy ra $f(x)<f(0)=0$ hay $2^x<x+1$
Nếu $x_0<x<1$ thì $f'(x)>0$ suy ra $f(x)<f(1)=0$ hay $2^x<x+1$
Nếu $1<x$ thì $f'(x)>0$ suy ra $f(x)>f(1)=0$ hay $2^x>x+1$
Vậy $0\,,\,1$ là tất cả nghiệm của phương trình
- LTBN yêu thích
#3
Đã gửi 10-10-2021 - 17:25
Đặt $f(x)=2^x-x-1$ , ta thấy $f(0)=f(1)=0$ nên $f(x)$ có nghiệm là $0\,,\,1$
Ta có $f'(x)=2^xln2-1$
Cho $f'(x)=0$ ta tìm được nghiệm của $f'(x)$ là $x_0=-\frac{ln(ln2)}{ln2}\in (0,1)$
Bây giờ, nếu $x<0$ thì $f'(x)<0$ suy ra $f(x)>f(0)=0$ hay $2^x>x+1$
Nếu $0<x\leq x_0$ thì $f'(x)<0$ suy ra $f(x)<f(0)=0$ hay $2^x<x+1$
Nếu $x_0<x<1$ thì $f'(x)>0$ suy ra $f(x)<f(1)=0$ hay $2^x<x+1$
Nếu $1<x$ thì $f'(x)>0$ suy ra $f(x)>f(1)=0$ hay $2^x>x+1$
Vậy $0\,,\,1$ là tất cả nghiệm của phương trình
Em nghĩ có thể sử dụng bất đẳng thức Bernoulli $2^x=(1+1)^x\geq 1+x$ nhưng không biết dấu bằng xảy ra khi nào ạ.
Được gắn nhãn với một hoặc nhiều trong số những từ khóa sau: phuongtrinh
Toán Trung học Phổ thông và Thi Đại học →
Đại số →
Phương trình - hệ phương trình - bất phương trình →
$\log_{3}{\frac{x^2+x+1}{x}}=2-2x-x^2$Bắt đầu bởi NAT, 19-11-2022 pt, phuongtrinh |
|
|||
Toán Trung học Cơ sở →
Phương trình, hệ phương trình và bất phương trình →
$x^{3}+3x^{2}-6x+4=0$Bắt đầu bởi MaiTraqTonNu, 16-12-2018 phuongtrinh, toan9 |
|
|||
Toán Trung học Phổ thông và Thi Đại học →
Đại số →
Phương trình - hệ phương trình - bất phương trình →
giúp e bài này vớiBắt đầu bởi happhi12, 16-11-2017 phuongtrinh |
|
|||
Toán Trung học Phổ thông và Thi Đại học →
Đại số →
Phương trình - hệ phương trình - bất phương trình →
$2^{x}-2x-1=0$Bắt đầu bởi mnguyen99, 01-11-2015 phuongtrinh |
|
|||
Toán Trung học Phổ thông và Thi Đại học →
Đại số →
Phương trình - hệ phương trình - bất phương trình →
3/$\frac{3x^{4}+9x^{3}+17x^{2}+11x+8}{3x^{2}+4x+5}=(x+1)\sqrt{x^{2}+3}$Bắt đầu bởi vanhanqct, 13-02-2014 phuongtrinh |
|
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh