Đến nội dung

Hình ảnh

Chứng minh $d_a,d_b,d_c$ đồng quy.

- - - - -

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 1 trả lời

#1
MiTiBAM

MiTiBAM

    Binh nhì

  • Thành viên mới
  • 15 Bài viết
Trong mặt phẳng, cho tam giác $ABC$ có $I$ là tâm đường tròn nội tiếp. Đường thẳng $AI$ cắt $BC$ tại điểm $M$ và cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác $BIC$ tại điểm $D,$ đường thẳng $BI$ cắt $CA$ tại điểm $N$ và cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác $CIA$ tại điểm $E,$ đường thẳng $CI$ cắt $AB$ tại điểm $P$ và cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác $AIB$ tại điểm $F$ (các điểm $D,E,F$ đều khác điểm $I$).
 
a) Chứng minh $I$ là trực tâm tam giác $DEF$. 
 
b) Gọi ${{d}_{a}}$ là đường thẳng đi qua $D$ và vuông góc $NP,$ ${{d}_{b}}$ là đường thẳng đi qua $E$ và vuông góc $MP,$ ${{d}_{c}}$ là đường thẳng đi qua $F$ và vuông góc $MN$. Chứng minh các đường thẳng ${{d}_{a}},{{d}_{b}},{{d}_{c}}$ đồng quy.


#2
LTBN

LTBN

    Binh nhất

  • Thành viên mới
  • 37 Bài viết

a) Theo kết quả quen thuộc thì D, E, F lần lượt là tâm bàng tiếp góc A, B, C của tam giác ABC. Do đó I là trực tâm tam giác DEF.

b) Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.

Khi đó O là tâm Euler của $\Delta DEF$.

Gọi T đối xứng với D qua O thì T là tâm của $(IEF)$.

Có $PF.PI=PA.PB$ nên P nằm trên trục đẳng phương của (T) và (O).

Tương tự N nằm trên trục đẳng phương của (T) và (O) $\Rightarrow NP\perp TO\Rightarrow O\in d_a$.

CM tương tự ta có $O\in d_b,O\in d_c$.

Vậy $d_a,d_b,d_c$ đồng quy.






1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh