${{x}^{2002}}+{{y}^{2002}}={{2003}^{2011}}({{x}^{4}}+{{y}^{4}}).$
#1
Đã gửi 11-10-2021 - 19:43
#2
Đã gửi 12-10-2021 - 15:53
Không mất tính tổng quát giả sử $x,y\geq 0$.
Từ giả thiết ta có $x^{2002}+y^{2002}\vdots 2003$. Mà $2003$ là số nguyên tố dạng $4k+3$ nên $x^{1001};y^{1001}\vdots 2003\Rightarrow x=2003x_1;y=2003y_1(x_1,y_1\in\mathbb N)$.
Khi đó $2003^{9}(x_1^4+y_1^4)=x_1^{2002}+y_1^{2002}$.
Tương tự suy ra $x_1=2003x_2;y_1=2003y_2(x_2,y_2\in\mathbb N)$
$\Rightarrow 2003^{1993}(x_2^{2002}+y_2^{2002})=x_2^4+y_2^4$.
Dễ thấy $x_2=y_2=0$.
Vậy $x=y=0$.
- MiTiBAM yêu thích
#3
Đã gửi 12-10-2021 - 17:31
Không mất tính tổng quát giả sử $x,y\geq 0$.
Từ giả thiết ta có $x^{2002}+y^{2002}\vdots 2003$. Mà $2003$ là số nguyên tố dạng $4k+3$ nên $x^{1001};y^{1001}\vdots 2003\Rightarrow x=2003x_1;y=2003y_1(x_1,y_1\in\mathbb N)$.
Khi đó $2003^{9}(x_1^4+y_1^4)=x_1^{2002}+y_1^{2002}$.
Tương tự suy ra $x_1=2003x_2;y_1=2003y_2(x_2,y_2\in\mathbb N)$
$\Rightarrow 2003^{1993}(x_2^{2002}+y_2^{2002})=x_2^4+y_2^4$.
Dễ thấy $x_2=y_2=0$.
Vậy $x=y=0$.
Mình thấy phải là $2003^{13}(x_1^4+y_1^4)=x_1^{2002}+y_1^{2002}$ và $2003^{1985}(x_2^{2002}+y_2^{2002})=x_2^4+y_2^4$ chứ nhỉ
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi MiTiBAM: 12-10-2021 - 17:32
0 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh