Đến nội dung


Hình ảnh

${{x}^{2002}}+{{y}^{2002}}={{2003}^{2011}}({{x}^{4}}+{{y}^{4}}).$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 2 trả lời

#1 MiTiBAM

MiTiBAM

    Binh nhì

  • Thành viên mới
  • 15 Bài viết

Đã gửi 11-10-2021 - 19:43

Tìm tất cả các cặp số nguyên $(x;y)$ thỏa mãn 
${{x}^{2002}}+{{y}^{2002}}={{2003}^{2011}}({{x}^{4}}+{{y}^{4}}).$


#2 LTBN

LTBN

    Binh nhất

  • Thành viên mới
  • 36 Bài viết
  • Giới tính:Nữ

Đã gửi 12-10-2021 - 15:53

Không mất tính tổng quát giả sử $x,y\geq 0$.

Từ giả thiết ta có $x^{2002}+y^{2002}\vdots 2003$. Mà $2003$ là số nguyên tố dạng $4k+3$ nên $x^{1001};y^{1001}\vdots 2003\Rightarrow x=2003x_1;y=2003y_1(x_1,y_1\in\mathbb N)$.

Khi đó $2003^{9}(x_1^4+y_1^4)=x_1^{2002}+y_1^{2002}$.

Tương tự suy ra $x_1=2003x_2;y_1=2003y_2(x_2,y_2\in\mathbb N)$

$\Rightarrow 2003^{1993}(x_2^{2002}+y_2^{2002})=x_2^4+y_2^4$.

Dễ thấy $x_2=y_2=0$.

Vậy $x=y=0$.

 

 



#3 MiTiBAM

MiTiBAM

    Binh nhì

  • Thành viên mới
  • 15 Bài viết

Đã gửi 12-10-2021 - 17:31

Không mất tính tổng quát giả sử $x,y\geq 0$.

Từ giả thiết ta có $x^{2002}+y^{2002}\vdots 2003$. Mà $2003$ là số nguyên tố dạng $4k+3$ nên $x^{1001};y^{1001}\vdots 2003\Rightarrow x=2003x_1;y=2003y_1(x_1,y_1\in\mathbb N)$.

Khi đó $2003^{9}(x_1^4+y_1^4)=x_1^{2002}+y_1^{2002}$.

Tương tự suy ra $x_1=2003x_2;y_1=2003y_2(x_2,y_2\in\mathbb N)$

$\Rightarrow 2003^{1993}(x_2^{2002}+y_2^{2002})=x_2^4+y_2^4$.

Dễ thấy $x_2=y_2=0$.

Vậy $x=y=0$.

Mình thấy phải là $2003^{13}(x_1^4+y_1^4)=x_1^{2002}+y_1^{2002}$ và $2003^{1985}(x_2^{2002}+y_2^{2002})=x_2^4+y_2^4$ chứ nhỉ  :lol:


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi MiTiBAM: 12-10-2021 - 17:32





1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh