Đến nội dung


Hình ảnh
* * * * * 1 Bình chọn

Chứng minh:$$\lim\frac{n^{2}}{2^{n}}= 0$$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 5 trả lời

#1 Manhleo

Manhleo

    Lính mới

  • Thành viên mới
  • 1 Bài viết

Đã gửi 13-10-2021 - 11:49

Bằng định nghĩa chứng minh:

$$\lim\frac{n^{2}}{2^{n}}= 0$$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi DOTOANNANG: 13-10-2021 - 12:21


#2 LTBN

LTBN

    Binh nhất

  • Thành viên mới
  • 35 Bài viết
  • Giới tính:Nữ

Đã gửi 14-10-2021 - 12:17

Không biết em làm có đúng không.

Xét dãy $u_n=\frac{n^2}{2^n},\forall n=3,4,...$.

Dễ thấy $u_n$ là dãy số thực dương.

Nhận thấy $\frac{u_{n+1}}{u_n}=\frac{(n+1)^2}{2n^2}\leq \frac{16}{9}.\frac{1}{2}=\frac{8}{9}\Rightarrow u_{n+1}\leq \frac{8}{9}u_n,\forall n=3,4,...$. Do đó $u_{n+1}\leq \left(\frac{8}{9}\right)^{n-2}u_3,\forall n=3,4,...$.

Từ đó ta cũng có $u_n$ là dãy giảm.

Với mọi số thực dương $\epsilon$: Vì $\frac{8}{9}<1$ nên $\exists n_0:u_{n_0}<\epsilon$. Do $u_n$ là dãy giảm nên $u_n<\epsilon,\forall n\geq n_0$.

Vậy $\lim_{n\to\infty}\frac{n^2}{2^n}=\lim_{n\to\infty}u_n=0$.



#3 Baoriven

Baoriven

    Thượng úy

  • Điều hành viên OLYMPIC
  • 1387 Bài viết
  • Giới tính:Nữ
  • Đến từ:$\boxed{\textrm{CTG}}$ $\boxed{\textrm{HCMUS}}$
  • Sở thích:analysis [ÒwÓ]

Đã gửi 14-10-2021 - 14:18

Có thể giải thích bằng tốc độ tiến đến vô cực của tử và mẫu.

Rõ ràng hàm luỹ thừa tiến đến vô cực nhanh hơn so với hàm đa thức.


$\mathfrak{LeHoangBao - CTG - HCMUS}$

#4 perfectstrong

perfectstrong

    $LOVE(x)|_{x =\alpha}^\Omega=+\infty$

  • Quản trị
  • 4386 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Sở thích:Đàn guitar, ngắm người mình yêu, học toán

Đã gửi 14-10-2021 - 20:34

Có thể giải thích bằng tốc độ tiến đến vô cực của tử và mẫu.

Rõ ràng hàm luỹ thừa tiến đến vô cực nhanh hơn so với hàm đa thức.

Ở đây sử dụng định nghĩa mà :D Chứ cái này là loại căn bản. Bạn LTBN lại sử dụng định lý kẹp, thế thì cũng không được nốt.

Ta nhắm trước là giới hạn này bằng 0. Nên theo định nghĩa thì phải chọn trước một $\varepsilon > 0$, ta sẽ tìm $N_{\varepsilon}$ sao cho $$\forall n \ge N_{\varepsilon}: \frac{n^2}{2^n} \le \varepsilon$$

Một cách tiếp cận là chứng minh bđt phụ (bằng quy nạp) rằng $2^n \ge n^3 \forall n \ge 10$. Như vậy, chọn $N_{\varepsilon} = \max \left\{ 10; \frac{1}{\varepsilon} \right\}$, ta sẽ có ngay:

$$\forall n \ge N_{\varepsilon}:\, \frac{n^2}{2^n} \le \frac{1}{n} \le \dfrac{1}{\frac{1}{\varepsilon}} = \varepsilon$$


Luôn yêu để sống, luôn sống để học toán, luôn học toán để yêu!!! :D

$$\text{LOVE}\left( x \right)|_{x = \alpha}^\Omega = + \infty $$




I'm still there everywhere.

#5 LTBN

LTBN

    Binh nhất

  • Thành viên mới
  • 35 Bài viết
  • Giới tính:Nữ

Đã gửi 14-10-2021 - 21:04

Ở đây sử dụng định nghĩa mà :D Chứ cái này là loại căn bản. Bạn LTBN lại sử dụng định lý kẹp, thế thì cũng không được nốt.

Ta nhắm trước là giới hạn này bằng 0. Nên theo định nghĩa thì phải chọn trước một $\varepsilon > 0$, ta sẽ tìm $N_{\varepsilon}$ sao cho $$\forall n \ge N_{\varepsilon}: \frac{n^2}{2^n} \le \varepsilon$$

Một cách tiếp cận là chứng minh bđt phụ (bằng quy nạp) rằng $2^n \ge n^3 \forall n \ge 10$. Như vậy, chọn $N_{\varepsilon} = \max \left\{ 10; \frac{1}{\varepsilon} \right\}$, ta sẽ có ngay:

$$\forall n \ge N_{\varepsilon}:\, \frac{n^2}{2^n} \le \frac{1}{n} \le \dfrac{1}{\frac{1}{\varepsilon}} = \varepsilon$$

Em nghĩ $|u_n-0|\leq \epsilon,\forall n\geq n_0$ thì dãy hội tụ về 0 chứ nhỉ :D



#6 perfectstrong

perfectstrong

    $LOVE(x)|_{x =\alpha}^\Omega=+\infty$

  • Quản trị
  • 4386 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Sở thích:Đàn guitar, ngắm người mình yêu, học toán

Đã gửi 14-10-2021 - 21:48

Em nghĩ $|u_n-0|\leq \epsilon,\forall n\geq n_0$ thì dãy hội tụ về 0 chứ nhỉ :D

Thì có chỗ nào mình nói là không phải đâu? Chỉ là phương pháp chứng minh của bạn sử dụng định lý kẹp chứ không phải định nghĩa của giới hạn.


Luôn yêu để sống, luôn sống để học toán, luôn học toán để yêu!!! :D

$$\text{LOVE}\left( x \right)|_{x = \alpha}^\Omega = + \infty $$




I'm still there everywhere.




0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh