Đến nội dung


Chú ý

Hệ thống gửi email của diễn đàn đang gặp vấn đề với một số tài khoản Gmail do chính sách bảo mật tăng cường của Google. Nếu bạn không nhận được email từ diễn đàn, xin hãy tạm thời dùng một địa chỉ email khác ngoài Gmail (trước hết bạn nên kiểm tra thùng rác hoặc thư mục spam của hộp thư, hoặc dùng chức năng tìm kiếm trong hộp thư với từ khoá "diendantoanhoc.org" để chắc chắn là email không nhận được).

BQT đang cố gắng khắc phục, mong các bạn thông cảm.


Hình ảnh

Chứng minh rằng với mỗi số nguyên dương $n$, đều tồn tại $n$ số nguyên dương liên tiếp sao cho không có số nào trong chúng là một luỹ thừa của một số

imo

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 2 trả lời

#1 tritanngo99

tritanngo99

    Đại úy

  • Điều hành viên THPT
  • 1643 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Đà Nẵng

Đã gửi 14-10-2021 - 22:01

[IMO 1989] Chứng minh rằng với mỗi số nguyên dương $n$, đều tồn tại $n$ số nguyên dương liên tiếp sao cho không có số nào trong chúng là một luỹ thừa của một số nguyên tố.



#2 LTBN

LTBN

    Binh nhất

  • Thành viên mới
  • 37 Bài viết
  • Giới tính:Nữ

Đã gửi 14-10-2021 - 22:29

[IMO 1989] Chứng minh rằng với mỗi số nguyên dương $n$, đều tồn tại $n$ số nguyên dương liên tiếp sao cho không có số nào trong chúng là một luỹ thừa của một số nguyên tố.

Chọn n số $(2n+2)!+2,(2n+2)!+3,...,(2n+2)!+(n+1)$.

Giả sử tồn tại $i\in\overline{2,n+1}$ sao cho $(2n+2)!+i$ là luỹ thừa của một số nguyên tố.

Nhận thấy nếu $i$ có nhiều hơn hai ước nguyên tố, chẳng hạn như $a,b$ thì $(2n+2)!+i\vdots a$ và $(2n+2)!+i\vdots b$, trái với giả sử.

Do đó i là luỹ thừa của một số nguyên tố. Đặt $i=p^k$ thì $(2n+2)!+i=p^k\left ( \frac{(2n+2)!}{i}+1 \right )$.

Vì tích trên là luỹ thừa của $p$ nên $\frac{(2n+2)!}{i}+1\vdots p$.

Mặt khác từ $1<2i\leq 2n+2$ nên $\frac{(2n+2)!}{i}\vdots 2i\Rightarrow 1\vdots p$. (vô lí)

Vậy trong n số tự nhiên liên tiếp trên không tồn tại số nào là luỹ thừa của một số nguyên tố.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi LTBN: 14-10-2021 - 22:30


#3 poset

poset

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 96 Bài viết
  • Giới tính:Nữ

Đã gửi 15-10-2021 - 14:25

[IMO 1989] Chứng minh rằng với mỗi số nguyên dương $n$, đều tồn tại $n$ số nguyên dương liên tiếp sao cho không có số nào trong chúng là một luỹ thừa của một số nguyên tố.

Lấy $N=nm$ đủ lớn
Số các số là $k$-phương không lớn hơn $N$ không lớn hơn $\sqrt[k]{N}$
Số các số là $i$-phương không lớn hơn $N$ với mọi $i\leq k$ không lớn hơn $\sum_{i=2}^{k}\sqrt[i]{N}\leq k\sqrt{N}$
Lấy $k=\left \lfloor log_2N \right \rfloor$, thì các số đó bao gồm tất cả các số không lớn hơn $N$ là lũy thừa của một số nguyên, số các số đó không lớn hơn: $\sqrt{N}log_2N$
Xét $m$ bộ $n$ số nguyên dương liên tiếp: $\left ( 1,2,...,n \right );(n+1,n+2,...,2n);...;((m-1)n+1,(m-1)n+2,...mn)$, chọn $N$ đủ lớn sao cho: $\frac{\sqrt{N}}{log_2N}>n\Rightarrow m=\frac{N}{n}>\sqrt{N}log_2N$ (chọn được vì $\lim_{N\rightarrow \infty }\frac{\sqrt{N}}{log_2N}=\infty$), khi đó theo nguyên lý Dirichlet, tồn tại một bộ $n$ số nguyên dương liên tiếp trong $m$ bộ sao cho không có số nào là một lũy thừa của một số nguyên.







0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh