Chủ đề này có 2 trả lời

[tritanngo99]

[IMO 1989] Chứng minh rằng với mỗi số nguyên dương $n$, đều tồn tại $n$ số nguyên dương liên tiếp sao cho không có số nào trong chúng là một luỹ thừa của một số nguyên tố.

[LTBN]

[IMO 1989] Chứng minh rằng với mỗi số nguyên dương $n$, đều tồn tại $n$ số nguyên dương liên tiếp sao cho không có số nào trong chúng là một luỹ thừa của một số nguyên tố.

Chọn n số $(2n+2)!+2,(2n+2)!+3,...,(2n+2)!+(n+1)$.

Giả sử tồn tại $i\in\overline{2,n+1}$ sao cho $(2n+2)!+i$ là luỹ thừa của một số nguyên tố.

Nhận thấy nếu $i$ có nhiều hơn hai ước nguyên tố, chẳng hạn như $a,b$ thì $(2n+2)!+i\vdots a$ và $(2n+2)!+i\vdots b$, trái với giả sử.

Do đó i là luỹ thừa của một số nguyên tố. Đặt $i=p^k$ thì $(2n+2)!+i=p^k\left ( \frac{(2n+2)!}{i}+1 \right )$.

Vì tích trên là luỹ thừa của $p$ nên $\frac{(2n+2)!}{i}+1\vdots p$.

Mặt khác từ $1<2i\leq 2n+2$ nên $\frac{(2n+2)!}{i}\vdots 2i\Rightarrow 1\vdots p$. (vô lí)

Vậy trong n số tự nhiên liên tiếp trên không tồn tại số nào là luỹ thừa của một số nguyên tố.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi LTBN: 14-10-2021 - 22:30

[poset]

[IMO 1989] Chứng minh rằng với mỗi số nguyên dương $n$, đều tồn tại $n$ số nguyên dương liên tiếp sao cho không có số nào trong chúng là một luỹ thừa của một số nguyên tố.

Lấy $N=nm$ đủ lớn
Số các số là $k$-phương không lớn hơn $N$ không lớn hơn $\sqrt[k]{N}$
Số các số là $i$-phương không lớn hơn $N$ với mọi $i\leq k$ không lớn hơn $\sum_{i=2}^{k}\sqrt[i]{N}\leq k\sqrt{N}$
Lấy $k=\left \lfloor log_2N \right \rfloor$, thì các số đó bao gồm tất cả các số không lớn hơn $N$ là lũy thừa của một số nguyên, số các số đó không lớn hơn: $\sqrt{N}log_2N$
Xét $m$ bộ $n$ số nguyên dương liên tiếp: $\left ( 1,2,...,n \right );(n+1,n+2,...,2n);...;((m-1)n+1,(m-1)n+2,...mn)$, chọn $N$ đủ lớn sao cho: $\frac{\sqrt{N}}{log_2N}>n\Rightarrow m=\frac{N}{n}>\sqrt{N}log_2N$ (chọn được vì $\lim_{N\rightarrow \infty }\frac{\sqrt{N}}{log_2N}=\infty$), khi đó theo nguyên lý Dirichlet, tồn tại một bộ $n$ số nguyên dương liên tiếp trong $m$ bộ sao cho không có số nào là một lũy thừa của một số nguyên.