Cho $S$ là tập số thực thỏa:
i/ $1 \in S$
ii/ $\forall a,b \in S, a-b \in S$
iii/ $a \in S, a \ne 0$ thì $\frac{1}{a} \in S$
Chứng minh rằng $\forall a,b \in S$ thì $ab \in S$.
- Giúp với ạ, em cảm ơn
Với mọi $a\in S$ ta có:
$1-a\in S$ nên $1-a-1\in S$, suy ra $-a\in S$.
Do đó với mọi $a,b\in S$ ta có $a-b\in S\Rightarrow a-b-a-a\in S\Rightarrow -(a+b)\in S\Rightarrow a+b\in S$.
Với $a\neq \pm 1$ thì $\frac{1}{a+1}\in S;\frac{1}{a-1}\in S\Rightarrow \frac{1}{a-1}-\frac{1}{a+1}\in S\Rightarrow \frac{2}{a^2-1}\in S\Rightarrow \frac{a^2-1}{2}\in S\Rightarrow \frac{a^2-1}{2}+\frac{a^2-1}{2}\in S\Rightarrow a^2-1 \in S\Rightarrow a^2\in S$.
Do đó: $a,b\in S(a,b\neq 0)\Rightarrow a^2,b^2,(a-b)^2\in S\Rightarrow 2ab\in S\Rightarrow \frac{1}{2ab}\in S\Rightarrow \frac{1}{ab}\in S\Rightarrow ab\in S(đpcm)$.