Chủ đề này có 2 trả lời

[bimcaucau]

Cho 4 số $a,b,c,d$ nguyên dương thỏa mãn:

$\frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+d}+\frac{d}{d+a}$ nguyên dương

chứng minh rằng $a+b+c+d$ là hợp số

[LTBN]

Hình như thiếu giả thiết $a,b,c,d$ đôi một phân biệt?

Đặt A là biểu thức trên. Trước hết nhận thấy:

$A> \frac{a}{a+b+c+d}+\frac{b}{a+b+c+d}+\frac{c}{a+b+c+d}+\frac{d}{a+b+c+d}=1$.

Lại có $A<\sum\frac{a+c+d}{a+b+c+d}=3$.

Do đó $\sum\frac{a}{a+b}=2\Leftrightarrow \frac{b}{b+c}-\frac{b}{a+b}-\frac{d}{c+d}+\frac{d}{d+a}=0\Leftrightarrow \frac{b(a-c)}{(a+b)(b+c)}+\frac{d(c-a)}{(c+d)(d+a)}=0\Leftrightarrow \frac{(a-c)(b-d)(ac-bd)}{(a+b)(b+c)(c+d)(d+a)}=0\Leftrightarrow ac=bd$.

Giả sử $a+b+c+d=p$ là số nguyên tố.

Ta có $dp=d(a+b+c+d)=da+ac+dc+d^2=(a+d)(c+d)$.

Do đó $a+d$ hoặc $c+d$ chia hết cho p. Mà $0<a+d;c+d<p$ nên ta có điều vô lí.

Vậy...

[bimcaucau]

Hình như thiếu giả thiết $a,b,c,d$ đôi một phân biệt?

Đặt A là biểu thức trên. Trước hết nhận thấy:

$A> \frac{a}{a+b+c+d}+\frac{b}{a+b+c+d}+\frac{c}{a+b+c+d}+\frac{d}{a+b+c+d}=1$.

Lại có $A<\sum\frac{a+c+d}{a+b+c+d}=3$.

Do đó $\sum\frac{a}{a+b}=2\Leftrightarrow \frac{b}{b+c}-\frac{b}{a+b}-\frac{d}{c+d}+\frac{d}{d+a}=0\Leftrightarrow \frac{b(a-c)}{(a+b)(b+c)}+\frac{d(c-a)}{(c+d)(d+a)}=0\Leftrightarrow \frac{(a-c)(b-d)(ac-bd)}{(a+b)(b+c)(c+d)(d+a)}=0\Leftrightarrow ac=bd$.

Giả sử $a+b+c+d=p$ là số nguyên tố.

Ta có $dp=d(a+b+c+d)=da+ac+dc+d^2=(a+d)(c+d)$.

Do đó $a+d$ hoặc $c+d$ chia hết cho p. Mà $0<a+d;c+d<p$ nên ta có điều vô lí.

Vậy...

có thiếu đôi một khác nhau thật bác ạ, hihi em nhầm