Chủ đề này có 4 trả lời

[nothingtosay]

Với các số thực a, b, c thỏa mãn $1 \leq a, b, c \leq 2$, chứng minh rằng $(a + b + c)(\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c})^2 \leq 27$.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nothingtosay: 16-10-2021 - 10:13

[LTBN]

Giả sử $a\leq b\leq c$.

Ta có $\frac{(b-a)(b-c)}{ab}\Rightarrow \frac{b}{a}+\frac{c}{b}\leq 1+\frac{c}{a}$.

Tương tự $\frac{(b-a)(b-c)}{bc}\leq 0\Rightarrow \frac{b}{c}+\frac{a}{b}\leq 1+\frac{a}{c}$.

Do đó $\left ( \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c} \right )(a+b+c)\leq 5+2\frac{a}{c}+2\frac{c}{a}$.

Suy ra $VT\leq \left(\frac{2a}{c}+\frac{2c}{a}+5\right)\left(1+\frac{1}{a}+\frac{1}{c}\right)=7\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{c}\right)+\frac{2a}{c^2}+\frac{2c}{a^2}+\frac{2a}{c}+\frac{2c}{a}+5\leq 7\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{c}\right)+\frac{2a}{c^2}+\frac{2c}{a^2}+2(a+c)+5=A+5$.

Ta lại có $\frac{(a-1)(a-2)}{a}\leq 0\Rightarrow a\leq 3-\frac{2}{a}$. Tương tự $c\leq 3-\frac{2}{c}$ nên $A\leq 12+3\left(\frac{1}{c}+\frac{1}{a}\right)+\frac{2c}{a^2}+\frac{2a}{c^2}$.

Ta chứng minh: $3\left ( \frac{1}{c}+\frac{1}{a} \right )+\frac{2c}{a^2}+\frac{2a}{c^2}\leq 3+\frac{3}{c}+\frac{2}{c^2}+2c$. (*)

$(*)\Leftrightarrow 2c\left ( 1-\frac{1}{a^2} \right )+3\left ( 1-\frac{1}{a} \right )\geq \frac{2}{c^2}(a-1)$

$\Leftrightarrow \left ( a-1 \right )\left ( \frac{2c(a+1)}{a^2}+\frac{3}{a}-\frac{2}{c^2} \right )\geq 0$. (luôn đúng do $a-1\geq 0$ và $\frac{2c(a+1)}{a^2}+\frac{3}{a}-\frac{2}{c^2}=2c\left ( \frac{1}{a}+\frac{1}{a^2} \right )+\frac{3}{a}-\frac{2}{c^2}\geq \frac{3c}{2}+\frac{3}{2}-\frac{2}{c^2}>0$).

Suy ra ta chỉ cần chứng minh $3+\frac{3}{c}+\frac{2}{c^2}+2c\leq 10\Leftrightarrow \frac{(c-1)(2c^2-5c-2)}{c^2}\leq 0$. (luôn đúng)

Do đó $A\leq 12+10=22\Rightarrow VT\leq 27$.

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $a=b=c=1$.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi LTBN: 17-10-2021 - 20:51

[phuc_90]

Giả sử $a\leq b\leq c$.

Ta có $\frac{(b-a)(b-c)}{ab}\Rightarrow \frac{b}{a}+\frac{c}{b}\leq 1+\frac{c}{a}$.

Tương tự $\frac{(b-a)(b-c)}{bc}\leq 0\Rightarrow \frac{b}{c}+\frac{a}{b}\leq 1+\frac{a}{c}$.

Do đó $\left ( \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c} \right )(a+b+c)\leq 5+2\frac{a}{c}+2\frac{c}{a}$.

Suy ra $VT\leq \left(\frac{2a}{c}+\frac{2c}{a}+5\right)\left(1+\frac{1}{a}+\frac{1}{c}\right)=7\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{c}\right)+\frac{2a}{c^2}+\frac{2c}{a^2}+\frac{2a}{c}+\frac{2c}{a}+5\leq 7\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{c}\right)+\frac{2a}{c^2}+\frac{2c}{a^2}+2(a+c)+5=A+5$.

Ta lại có $\frac{(a-1)(a-2)}{a}\leq 0\Rightarrow a\leq 3-\frac{2}{a}$. Tương tự $c\leq 3-\frac{2}{c}$ nên $A\leq 12+3\left(\frac{a}{c}+\frac{c}{a}\right)+\frac{2c}{a^2}+\frac{2a}{c^2}$.

Ta chứng minh: $3\left ( \frac{a}{c}+\frac{c}{a} \right )+\frac{2c}{a^2}+\frac{2a}{c^2}\leq 3+\frac{3}{c}+\frac{2}{c^2}+2c$. (*)

$(*)\Leftrightarrow 2c\left ( 1-\frac{1}{a^2} \right )+3\left ( 1-\frac{1}{a} \right )\geq \frac{2}{c^2}(a-1)$

$\Leftrightarrow \left ( a-1 \right )\left ( \frac{2c(a+1)}{a^2}+\frac{3}{a}-\frac{2}{c^2} \right )\geq 0$. (luôn đúng do $a-1\geq 0$ và $\frac{2c(a+1)}{a^2}+\frac{3}{a}-\frac{2}{c^2}=2c\left ( \frac{1}{a}+\frac{1}{a^2} \right )+\frac{3}{a}-\frac{2}{c^2}\geq \frac{3c}{2}+\frac{3}{2}-\frac{2}{c^2}>0$).

Suy ra ta chỉ cần chứng minh $3+\frac{3}{c}+\frac{2}{c^2}+2c\leq 10\Leftrightarrow \frac{(c-1)(2c^2-5c-2)}{c^2}\leq 0$. (luôn đúng)

Do đó $A\leq 12+10=22\Rightarrow VT\leq 27$.

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $a=b=c=1$.

 

Chỗ chữ màu xanh hình như có vấn đề ?

 

Ta luôn có $\frac{a}{c}+\frac{c}{a}\geq \frac{1}{a}+\frac{1}{c}$

[LTBN]

Chỗ chữ màu xanh hình như có vấn đề ?

 

Ta luôn có $\frac{a}{c}+\frac{c}{a}\geq \frac{1}{a}+\frac{1}{c}$

Hình như em gõ nhầm vài đoạn, em đã sửa lại ạ

[PDF]

Với các số thực a, b, c thỏa mãn $1 \leq a, b, c \leq 2$, chứng minh rằng $(a + b + c)(\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c})^2 \leq 27$.

Vế trái là hàm lồi theo cả ba biến $a,b,c$. Do đó ta chỉ cần xét cực trị tại các điểm cực.