Tìm các đa thức P(x) thỏa mãn đk:
$P(x)P(y)=P^2(\frac{x+y}{2})-P^2(\frac{x-y}{2})$
với mọi x,y$\epsilon R$
P.S: cho mik hỏi $P^2(x)$ với $(P(x))^2$ có giống nhau ko v
Tìm các đa thức P(x) thỏa mãn đk:
$P(x)P(y)=P^2(\frac{x+y}{2})-P^2(\frac{x-y}{2})$
với mọi x,y$\epsilon R$
P.S: cho mik hỏi $P^2(x)$ với $(P(x))^2$ có giống nhau ko v
P.S: cho mik hỏi $P^2(x)$ với $(P(x))^2$ có giống nhau ko v
Tùy theo ký hiệu. Có sách dùng $P^2(x)$ tương đương với $P(x)^2$, có sách lại dùng là $P(P(x))$. Nên chú ý mục ký hiệu của sách.
Tìm các đa thức P(x) thỏa mãn đk:
$P(x)P(y)=P^2(\frac{x+y}{2})-P^2(\frac{x-y}{2})$
với mọi x,y$\epsilon R$
P.S: cho mik hỏi $P^2(x)$ với $(P(x))^2$ có giống nhau ko v
Với đa thức hằng thì $P(x)=0$ thỏa
Với đa thức không hằng, đặt $P(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+...+a_1x+a_0$
Gọi $n=deg P(x), n\geq 1$
Xét số hạng của bậc lớn nhất thì ta thấy $VT=a_n^2x^ny^n$, $VP=a_n^2(\frac{x+y}{2})^{2n}-a_n^2(\frac{x-y}{2})^{2n}$
Đồng nhất hệ số ta được $x^ny^n=\frac{1}{2^{2n}} xy(C_{2n}^1 x^{2n-2}+C_{2n}^3 x^{2n-4}y^2+...+C_{2n}^{2n-3} x^2y^{2n-4}+ C_{2n}^{2n-1} y^{2n-2})$
Dễ dàng thấy chỉ có $n=1$ thỏa do đó $P(x)=ax$
Thay lại vào phương trình đa thức thì $a=2$, do đó $P(x)=2x$.
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi pcoVietnam02: 20-10-2021 - 23:30
Với đa thức hằng thì $P(x)=0$ thỏa
Với đa thức không hằng, đặt $P(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+...+a_1x+a_0$
Gọi $n=deg P(x), n\geq 1$
Xét số hạng của bậc lớn nhất thì ta thấy $VT=a_n^2x^ny^n$, $VP=a_n^2(\frac{x+y}{2})^{2n}-a_n^2(\frac{x-y}{2})^{2n}$
Đồng nhất hệ số ta được $x^ny^n=\frac{1}{2^{2n}} xy(C_{2n}^1 x^{2n-2}+C_{2n}^3 x^{2n-4}y^2+...+C_{2n}^{2n-3} x^2y^{2n-4}+ C_{2n}^{2n-1} y^{2n-2})$
Dễ dàng thấy chỉ có $n=1$ thỏa do đó $P(x)=ax$
Thay lại vào phương trình đa thức thì $a=2$, do đó $P(x)=2x$.
nhưng em thử thì có vẻ P(x)=ax với mọi $a\epsilon R$
n=1 thì $xy=(\frac{x+y}{2})^2-(\frac{x-y}{2})^2$ luôn đúng mà ạ
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Hunghcd: 21-10-2021 - 08:53
Có sách dùng $P^2(x)$ tương đương với $P(x)^2$, có sách lại dùng là $P(P(x))$.
$P(P(x))$ đâu có bằng $P^2(x)$?
Tìm các đa thức P(x) thỏa mãn đk:
$P(x)P(y)=P^2(\frac{x+y}{2})-P^2(\frac{x-y}{2})$ (1)
với mọi x,y$\epsilon R$
P.S: cho mik hỏi $P^2(x)$ với $(P(x))^2$ có giống nhau ko v
Nhận thấy $P(x)\equiv 0$ thoả mãn đk bài toán.
Ta xét trường hợp $P(x)\neq 0$.
Thay $x=0,y=0$ vào (1) ta được $P(0)=0$.
Với y = 3x thì $P(x).P(3x)=P^2(2x)-P^2(-x)$.
Hay $P(x).P(3x)+P^2(-x)=P^2(2x),\forall x\in\mathbb R$. (2)
+) Nếu $P(x)=c(c\neq 0)$ thì không thoả mãn.
+) Nếu $\deg P(x)=n\geq 1$:
Gọi hệ số cao nhất của $P(x)$ là $a_0\neq 0$. Từ (2) ta có $a_0(3^na_0)+a_0^2=()2^na_0)^2\Leftrightarrow 3^n+1=4^n\Leftrightarrow n=1$.
Do đó $P(x)=a_0x,a_0\in\mathbb R;a_0\neq 0$.
Thử lại đa thức này thoả mãn.
Vậy...
$P(P(x))$ đâu có bằng $P^2(x)$?
$P(P(x)) \not \equiv P(x)^2$. Hồi mình học cấp 3 thì có sách dùng $P^n(x)$ và $f^n(x)$ để ký hiệu hàm lồng $n$ lần. Bởi thế mình mới nhắc là phải coi theo quy ước ký hiệu của sách.
$$f^{2}\left ( x \right )\text{P.S: cho mik hỏi $P^2(x)$ với $(P(x))^2$ có giống nhau ko v
$$f^{2}\left ( x \right )\text{
vs }\left ( f\left ( x \right ) \right )^{2}=f\left ( x \right )^{2}
$$
Như mình được học lóm thì:
$f^{2}\left ( x \right )=\left ( f\circ f \right )\left ( x \right )=f\left ( f\left ( x \right ) \right )$
trong khi đó :
$f\left ( x \right )^{2}=\left ( f\left ( x \right ) \right )^{2}=f\left ( x \right )\cdot f\left ( x \right )$
Thí dụ :
Nếu $f\left ( x \right )=2x$ thi :
$f^{2}\left ( x \right )=f\left ( f\left ( x \right ) \right )=2\cdot 2x=4x$ và :
$f\left ( x \right )^{2}=\left ( f\left ( x \right ) \right )^{2}=f\left ( x \right )\cdot f\left ( x \right )=2x\cdot 2x=4x^{2}$
Thực ra tùy nguồn thôi:
Ở Việt Nam, phần lớn file hồi xưa coi $f^2(x)=[f(x)]^2=f(x)f(x)$ còn $f(f(x))$ được giữ nguyên, cũng vì khá là ít bài liên qua đến hàm hợp bậc cao.
Còn ở nước ngoài, họ chế phần lớn những bài về hàm nên họ có thống nhất khá là chung là $f^n(x)=f(f^{n-1}(x))$ còn $f(x)^2=[f(x)]^2=f(x)f(x)$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi pcoVietnam02: 23-10-2021 - 20:47
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh