Chủ đề này có 1 trả lời

[nothingtosay]

Cho các số thực dương thỏa mãn $a + b, ab$ là các số nguyên dương và $[a^2 + ab] + [b^2 + ab]$ là số chính phương với $[x]$ là phần nguyên của số thực $x$. Chứng minh rằng $a, b$ là các số nguyên.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nothingtosay: 21-10-2021 - 20:49

[LTBN]

Cho các số thực dương thỏa mãn $a + b, ab$ là các số nguyên dương và $[a^2 + ab] + [b^2 + ab]$ là số chính phương với $[x]$ là phần nguyên của số thực $x$. Chứng minh rằng $a, b$ là các số nguyên.

Có $(a+b)^2\leq a^2+ab+b^2+ab\leq [a^2+ab]+[b^2+ab]< a^2+ab+1+b^2+ab+1=(a+b)^2+2$.

Do $(a+b)^2$ là số nguyên và $(a+b+1)^2>(a+b)^2+2$ nên $a^2+ab;b^2+ab$ là các số nguyên hay $a(a+b)\in mathbb Z;b(a+b)\in\mathbb Z$.

Do đó $a,b$ là các số hữu tỉ.

Đặt $a+b=m;ab=n(m,n\in \mathbb Z)$ thì $a,b$ là nghiệm hữu tỉ của đa thức $x^2-mx+n$.

Mặt khác hệ số cao nhất là 1 nên nếu đa thức trên có nghiệm hữu tỉ thì nghiệm đó cũng nguyên.

Vậy $a,b\in\mathbb Z$.