Chủ đề này có 1 trả lời

[UserNguyenHaiMinh]

Cho $n,p$ là các số nguyên sao cho $n>1$ và $p$ là số nguyên tố. Chứng minh rằng nếu $(p-1)$ chia hết cho $n$ và $(n^{3}-1)$ chia hết cho $p$ thì $4p-3$ là 1 số chính phương 

[LTBN]

Ta có $p|n^3-1=(n-1)(n^2+n+1)$ nên $p|n-1$ hoặc $p|n^2+n+1$.

Dễ thấy $p-1\vdots n\Rightarrow p-1\geq n\Rightarrow n-1\leq p-2<p$.

Do đó $n-1$ không chia hết cho $p$.

Suy ra $n^2+n+1\vdots p$.

Do $p-1\vdots n$ nên đặt $p=nk+1$.

Ta có $n^2+n+1\vdots nk+1\Rightarrow n^2+n-nk\vdots nk+1\Rightarrow n+1-k\vdots nk+1$ (Do $(n,nk+1)=1$)

Xét 3 trường hợp:

+) $n+1-k>0$: Khi đó $n+1-k\geq nk+1\Rightarrow (n+1)(k-1)\leq -1$. (vô lí)
+) $n+1-k<0$: Khi đó $k-n-1\geq nk+1\Rightarrow (n-1)(k+1)\leq -3$. (vô lí)

+) $n+1-k=0$: Khi đó $p=n(n+1)+1$ nên $4p-3=(2n+1)^2$.

Vậy...

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi LTBN: 23-10-2021 - 13:59