Cho tam giác $ABC$, đường cao $AH$, $K$ là trung điểm $AH$. Đường tròn $(I)$ nội tiếp tam giác $ABC$ tiếp xúc với $BC$ tại $D$. $DK$ cắt $(I)$ tại $T$. Chứng minh $(TBC)$ tiếp xúc $(I)$.
Chứng minh $(TBC)$ tiếp xúc $(I)$
Bắt đầu bởi Dennis Nguyen, 26-10-2021 - 16:05
#1
Đã gửi 26-10-2021 - 16:05
#2
Đã gửi 26-10-2021 - 22:11
EF cắt BC tại G.
Gọi J là trung điểm của GD.
Kẻ đường kính DD' của (I).
DA cắt lại (I) tại N.
Ta có tứ giác DENF điều hoà nên $I(BC,GD)=-1=D(DN,FE)=D(FE,AH)$.
Mà $IB\perp DF;IC\perp DE;ID\perp DH$ nên $IG\perp DA$.
Suy ra $\Delta IDG\perp DHA(g.g)$ nên $IJ\perp DK$.
Ta có $\angle GD'D=\angle JID=90^o-\angle TDD'=\angle TD'D\Rightarrow$ G, T, D' thẳng hàng.
Từ đó $\Delta GTD$ vuông tại T nên $JT=JD$.
Do đó $JT$ là tiếp tuyến của $(I)$.
Mặt khác do $(GD,BC)=-1$ nên theo hệ thức Newton: $JT^2=JD^2=JB.JC$.
Từ đó $JT$ tiếp xúc với $(BTC)$ hay $(BTC)$ tiếp xúc với $(I)$.
- KietLW9, 12DecMath, Serine và 1 người khác yêu thích
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh